Группа сиськи

Конечная простая группа; иногда классифицируется как спорадическая

В теории групп группа Титса ² F ₄ ( 2)′, названная в честь Жака Титса ( фр. [tits] ), представляет собой конечную простую группу порядка

   2 ¹¹  · 3 ³  · 5 ²  · 13 = 17 971 200.

Это единственная простая группа, которая является производной группы типа Ли , не являющейся группой типа Ли ни в одной серии из исключительных изоморфизмов. Иногда ее считают 27-й спорадической группой .

История и свойства

Группы Ри ² F ₄ (2 ^{2 n +1} ) были построены Ри (1961), который показал, что они просты, если n  ≥ 1. Первый член ² F ₄ (2) этого ряда не является простым. Он был изучен Жаком Титсом  (1964), который показал, что он почти прост , его производная подгруппа ² F ₄ (2)′ индекса 2 является новой простой группой, теперь называемой группой Титса. Группа ² F ₄ (2) является группой типа Ли и имеет пару BN , но сама группа Титса не имеет пары BN. Группа Титса является членом бесконечного семейства ² F ₄ (2 ^{2 n +1} )′ коммутационных групп групп Ри и, таким образом, по определению, не является спорадической. Но поскольку она также не является строго группой типа Ли, ее иногда рассматривают как 27-ю спорадическую группу . ^[1]

Множитель Шура группы Титса тривиален, а его внешняя группа автоморфизмов имеет порядок 2, при этом полная группа автоморфизмов представляет собой группу  ² F ₄ (2).

Группа Титса встречается как максимальная подгруппа группы Фишера Fi ₂₂ . Группа ² F ₄ (2) также встречается как максимальная подгруппа группы Рудвалиса как стабилизатор точки действия перестановки ранга 3 на 4060 = 1 + 1755 + 2304 точках.

Группа Титса является одной из простых N-групп и была упущена из виду в первом объявлении Джона Г. Томпсона о классификации простых N -групп, поскольку в то время она не была открыта. Она также является одной из тонких конечных групп .

Группа Титсов была охарактеризована по-разному Парротом (1972, 1973) и Стротом (1980).

Максимальные подгруппы

Уилсон (1984) и Чакерян (1986) независимо друг от друга нашли 8 классов максимальных подгрупп группы Титса:

• L ₃ (3):2 Два класса, объединенные внешним автоморфизмом. Эти подгруппы фиксируют точки перестановочных представлений ранга 4.
• 2.[2 ⁸ ].5.4 Централизатор инволюции.
• Л ₂ (25)
• 2 ² .[2 ⁸ ].С ₃
• A ₆ .2 ² (Два класса, объединенные внешним автоморфизмом)
• 5 ² :4А ₄

Презентация

Группа Титса может быть определена в терминах генераторов и отношений следующим образом:

${\displaystyle a^{2}=b^{3}=(ab)^{13}=[a,b]^{5}=[a,bab]^{4}=((ab)^{4}ab^{-1})^{6}=1,\,}$

где [ a ,  b ] — коммутатор a ⁻¹ b ⁻¹ ab . Он имеет внешний автоморфизм , полученный путем отправки ( a ,  b ) в ( a ,  b ( ba ) ⁵ b ( ba ) ⁵ ).

Примечания

1. Например, с помощью АТЛАСА конечных групп и его веб-версии

Ссылки

• Паррот, Дэвид (1972), «Характеристика простой группы Титса», Canadian Journal of Mathematics , 24 (4): 672–685, doi : 10.4153/cjm-1972-063-0 , ISSN  0008-414X, MR  0325757
• Паррот, Дэвид (1973), «Характеристика групп Ри ² F ₄ (q)», Журнал алгебры , 27 (2): 341–357, doi : 10.1016/0021-8693(73)90109-9 , ISSN  0021-8693, MR  0347965
• Ри, Римхак (1961), «Семейство простых групп, связанных с простой алгеброй Ли типа (F4)», Бюллетень Американского математического общества , 67 : 115–116, doi : 10.1090/S0002-9904-1961-10527-2 , ISSN  0002-9904, MR  0125155
• Строт, Гернот (1980), «Общая характеристика простой группы Титса», Журнал алгебры , 64 (1): 140–147, doi : 10.1016/0021-8693(80)90138-6 , ISSN  0021-8693, MR  0575787
• Чакерян, Кероп Б. (1986), «Максимальные подгруппы простой группы Титса», Pliska Studia Mathematica Bulgarica , 8 : 85–93, ISSN  0204-9805, MR  0866648
• Титс, Жак (1964), «Алгебраические и абстрактные простые группы», Annals of Mathematics , вторая серия, 80 (2): 313–329, doi :10.2307/1970394, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970394, MR  0164968
• Уилсон, Роберт А. (1984), «Геометрия и максимальные подгруппы простых групп А. Рудвалиса и Дж. Титса», Труды Лондонского математического общества , Третья серия, 48 (3): 533–563, doi :10.1112/plms/s3-48.3.533, ISSN  0024-6115, MR  0735227

Внешние ссылки

• АТЛАС групповых представлений — The Tits Group