Тороидальные и полоидальные координаты

Система координат относительно тора

Диаграмма, изображающая полоидальное ( θ ) направление, представленное красной стрелкой, и тороидальное ( ζ или φ ) направление, представленное синей стрелкой.

Термины тороидальный и полоидальный относятся к направлениям относительно тора отсчета. Они описывают трехмерную систему координат , в которой полоидальное направление следует небольшому круговому кольцу вокруг поверхности, в то время как тороидальное направление следует большому круговому кольцу вокруг тора, окружая центральную пустоту.

Самое раннее использование этих терминов, упомянутое в Оксфордском словаре английского языка, принадлежит Уолтеру М. Эльзассеру (1946) в контексте генерации магнитного поля Земли токами в ядре, при этом «тороидальный» означает параллельный линиям постоянной широты , а «полоидальный» — направленный в направлении магнитного поля (т. е. к полюсам ).

В OED также зафиксировано более позднее использование этих терминов в контексте тороидально ограниченной плазмы, как это встречается в термоядерном синтезе с магнитным удержанием . В контексте плазмы тороидальное направление — это длинный путь вокруг тора, соответствующая координата обозначается как z в приближении пластины или как ζ или φ в магнитных координатах; полоидальное направление — это короткий путь вокруг тора, соответствующая координата обозначается как y в приближении пластины или как θ в магнитных координатах. (Третье направление, нормальное к магнитным поверхностям, часто называют «радиальным направлением», обозначаемым как x в приближении пластины и по-разному как ψ , χ , r , ρ или s в магнитных координатах.)

Пример

В качестве простого примера из физики магнитно-удерживаемой плазмы рассмотрим осесимметричную систему с круговыми концентрическими поверхностями магнитного потока радиуса (грубое приближение к геометрии магнитного поля в раннем токамаке , но топологически эквивалентное любой тороидальной системе магнитного удержания с вложенными поверхностями потока) и обозначим тороидальный угол как , а полоидальный угол как . Тогда тороидальная/полоидальная система координат соотносится со стандартными декартовыми координатами с помощью следующих правил преобразования: ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle x=(R_{0}+r\cos \theta )\cos \zeta }$

${\displaystyle y=s_{\zeta }(R_{0}+r\cos \theta )\sin \zeta }$

${\displaystyle z=s_{\theta }r\sin \theta .}$

где . ${\displaystyle s_{\theta }=\pm 1,s_{\zeta }=\pm 1}$

Геометрически естественным выбором является взятие , что дает тороидальное и полоидальное направления, показанные стрелками на рисунке выше, но это делает левостороннюю криволинейную систему координат. Поскольку обычно предполагается при настройке координат потока для описания магнитно-удерживаемой плазмы, что набор образует правостороннюю систему координат, , мы должны либо обратить полоидальное направление, взяв , либо обратить тороидальное направление, взяв . Оба варианта используются в литературе. ${\displaystyle s_{\theta }=s_{\zeta }=+1}$ ${\displaystyle r,\theta ,\zeta }$ ${\displaystyle r,\theta ,\zeta }$ ${\displaystyle \nabla r\cdot \nabla \theta \times \nabla \zeta >0}$ ${\displaystyle s_{\theta }=-1,s_{\zeta }=+1}$ ${\displaystyle s_{\theta }=+1,s_{\zeta }=-1}$

Кинематика

Для изучения движения отдельных частиц в тороидально ограниченных плазменных устройствах необходимо знать векторы скорости и ускорения. Учитывая естественный выбор , единичные векторы тороидальной и полоидальной систем координат можно выразить как: ${\displaystyle s_{\theta }=s_{\zeta }=+1}$ ${\displaystyle \left(r,\theta ,\zeta \right)}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{r}={\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \zeta \\\cos \theta \sin \zeta \\\sin \theta \end{pmatrix}}\quad \mathbf {e} _{\theta }={\begin{pmatrix}-\sin \theta \cos \zeta \\-\sin \theta \sin \zeta \\\cos \theta \end{pmatrix}}\quad \mathbf {e} _{\zeta }={\begin{pmatrix}-\sin \zeta \\\cos \zeta \\0\end{pmatrix}}}$

Согласно декартовым координатам. Вектор положения выражается как:

${\displaystyle \mathbf {r} =\left(r+R_{0}\cos \theta \right)\mathbf {e} _{r}-R_{0}\sin \theta \mathbf {e} _{\theta }}$

Вектор скорости тогда определяется по формуле:

${\displaystyle \mathbf {\dot {r}} ={\dot {r}}\mathbf {e} _{r}+r{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{\theta }+{\dot {\zeta }}\left(R_{0}+r\cos \theta \right)\mathbf {e} _{\zeta }}$

а вектор ускорения равен:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\ddot {r}} ={}&\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}-r{\dot {\zeta }}^{2}\cos ^{2}\theta -R_{0}{\dot {\zeta }}^{2}\cos \theta \right)\mathbf {e} _{r}\\[5pt]&{}+\left(2{\dot {r}}{\dot {\theta }}+r{\ddot {\theta }}+r{\dot {\zeta }}^{2}\cos \theta \sin \theta +R_{0}{\dot {\zeta }}^{2}\sin \theta \right)\mathbf {e} _{\theta }\\[5pt]&{}+\left(2{\dot {r}}{\dot {\zeta }}\cos \theta -2r{\dot {\theta }}{\dot {\zeta }}\sin \theta +{\ddot {\zeta }}\left(R_{0}+r\cos \theta \right)\right)\mathbf {e} _{\zeta }\end{aligned}}}$

Смотрите также

• Тороидальные координаты
• Тор
• Зональный и полоидальный
• Полоидально-тороидальное разложение
• Зональный поток (плазма)

Ссылки

• "Oxford English Dictionary Online". poloidal . Oxford University Press . Получено 10 августа 2007 г.
• Elsasser, WM (1946). "Эффекты индукции в земном магнетизме, часть I. Теория". Phys. Rev. 69 ( 3–4): 106–116. doi :10.1103/PhysRev.69.106 . Получено 10 августа 2007 г.