Точка схода — это точка на плоскости изображения перспективной визуализации , где двумерные перспективные проекции взаимно параллельных линий в трехмерном пространстве кажутся сходящимися. Когда набор параллельных линий перпендикулярен плоскости изображения , построение известно как одноточечная перспектива, а их точка схода соответствует окулусу , или «точке зрения», из которой следует рассматривать изображение для правильной геометрии перспективы. [1] Традиционные линейные рисунки используют объекты с одним-тремя наборами параллелей, определяющими от одного до трех точек схода.
Итальянский гуманист, полимат и архитектор Леон Баттиста Альберти впервые ввел эту концепцию в своем трактате о перспективе в искусстве « De pictura» , написанном в 1435 году. [2] Прямые железнодорожные пути являются известным современным примером. [3]
Точка схода может также называться «точкой направления», поскольку линии, имеющие один и тот же вектор направления, скажем, D , будут иметь одну и ту же точку схода. Математически, пусть q ≡ ( x , y , f ) будет точкой, лежащей на плоскости изображения, где f — фокусное расстояние (камеры, связанной с изображением), и пусть v q ≡ ( х/час , у/час , ф/час ) будет единичным вектором, связанным с q , где h = √ x 2 + y 2 + f 2 . Если мы рассмотрим прямую линию в пространстве S с единичным вектором n s ≡ ( n x , n y , n z ) и ее точкой схода v s , единичный вектор, связанный с v s , равен n s , предполагая, что оба направлены к плоскости изображения. [4]
Когда плоскость изображения параллельна двум мировым осям координат, линии, параллельные оси, которая пересекается этой плоскостью изображения, будут иметь изображения, которые встречаются в одной точке схода. Линии, параллельные двум другим осям, не будут образовывать точки схода, поскольку они параллельны плоскости изображения. Это одноточечная перспектива. Аналогично, когда плоскость изображения пересекает две мировые оси координат, линии, параллельные этим плоскостям, встретятся и образуют две точки схода в плоскости изображения. Это называется двухточечной перспективой. В трехточечной перспективе плоскость изображения пересекает оси x , y и z , и поэтому линии, параллельные этим осям, пересекаются, что приводит к трем различным точкам схода.
Теорема о точке схода является основной теоремой в науке о перспективе. Она гласит, что изображение на картинной плоскости π прямой L в пространстве, не параллельной картине, определяется ее пересечением с π и ее точкой схода. Некоторые авторы использовали фразу: «изображение прямой включает ее точку схода». Гвидобальдо дель Монте дал несколько подтверждений, а Хамфри Диттон назвал результат «главным и великим предложением». [5] Брук Тейлор написал первую книгу на английском языке о перспективе в 1714 году, в которой был введен термин «точка схода», и была первой, кто полностью объяснил геометрию многоточечной перспективы, а историк Кирсти Андерсен собрала эти наблюдения. [1] : 244–6 Она отмечает, что в терминах проективной геометрии точка схода является изображением точки на бесконечности, связанной с L , поскольку линия визирования из O через точку схода параллельна L .
Как точка схода возникает на прямой, так и линия схода возникает на плоскости α , которая не параллельна картинке π . Если задана точка зрения O , а β — плоскость, параллельная α и лежащая на O , то линия схода α — это β ∩ π . Например, если α — это плоскость земли, а β — это плоскость горизонта, то линия схода α — это линия горизонта β ∩ π .
Проще говоря, линия схода некоторой плоскости, скажем, α , получается пересечением плоскости изображения с другой плоскостью, скажем, β , параллельной интересующей плоскости ( α ), проходящей через центр камеры. Для различных наборов линий, параллельных этой плоскости α , их соответствующие точки схода будут лежать на этой линии схода. Линия горизонта — это теоретическая линия, которая представляет уровень глаз наблюдателя. Если объект находится ниже линии горизонта, его линии наклонены вверх к линии горизонта. Если объект находится выше, они наклонены вниз.
1. Проекции двух наборов параллельных линий, лежащих в некоторой плоскости π A , по-видимому, сходятся, т. е. точка схода, связанная с этой парой, на линии горизонта или линии схода H, образованной пересечением плоскости изображения с плоскостью, параллельной π A и проходящей через отверстие. Доказательство: Рассмотрим плоскость основания π , так как y = c , которая для простоты ортогональна плоскости изображения. Также рассмотрим линию L , лежащую в плоскости π , которая определяется уравнением ax + bz = d . Используя перспективные проекции отверстия, точка на L , спроецированная на плоскость изображения, будет иметь координаты, определяемые как,
Это параметрическое представление изображения L′ линии L с z в качестве параметра. При z → −∞ оно останавливается в точке ( x′ , y′ ) = (− фб/а ,0) на оси x′ плоскости изображения. Это точка схода, соответствующая всем параллельным линиям с наклоном − б/а в плоскости π . Все точки схода, связанные с различными линиями с различными наклонами, принадлежащими плоскости π , будут лежать на оси x′ , которая в данном случае является линией горизонта.
2. Пусть A , B , и C будут тремя взаимно ортогональными прямыми линиями в пространстве и v A ≡ ( x A , y A , f ) , v B ≡ ( x B , y B , f ) , v C ≡ ( x C , y C , f ) будут тремя соответствующими точками схода соответственно. Если мы знаем координаты одной из этих точек, скажем v A , и направление прямой линии на плоскости изображения, которая проходит через вторую точку, скажем v B , мы можем вычислить координаты как v B , так и v C [4]
3. Пусть A , B , и C будут тремя взаимно ортогональными прямыми линиями в пространстве и v A ≡ ( x A , y A , f ) , v B ≡ ( x B , y B , f ) , v C ≡ ( x C , y C , f ) будут тремя соответствующими точками схода соответственно. Ортоцентр треугольника с вершинами в трех точках схода является пересечением оптической оси и плоскости изображения. [4]
Криволинейная перспектива — это рисунок с 4 или 5 точками схода. В 5-точечной перспективе точки схода отображаются в окружности с 4 точками схода по сторонам света N, W, S, E и одной в начале окружности.
Обратная перспектива — это рисунок с точками схода, которые расположены за пределами картины, создавая иллюзию, что они находятся «перед» картиной.
Несколько методов обнаружения точки схода используют сегменты линий, обнаруженные на изображениях. Другие методы предполагают непосредственное рассмотрение градиентов интенсивности пикселей изображения.
На изображении присутствует значительное количество точек схода. Поэтому целью является обнаружение точек схода, соответствующих основным направлениям сцены. Обычно это достигается в два этапа. Первый этап, называемый этапом накопления, как следует из названия, кластеризует сегменты линий с предположением, что кластер будет иметь общую точку схода. Следующий этап находит основные кластеры, присутствующие на сцене, и поэтому он называется этапом поиска.
На этапе накопления изображение отображается на ограниченное пространство, называемое пространством накопителя. Пространство накопителя разделено на единицы, называемые ячейками. Барнард [6] предположил, что это пространство является гауссовой сферой с центром в оптическом центре камеры в качестве пространства накопителя. Отрезок линии на изображении соответствует большому кругу на этой сфере, а точка схода на изображении отображается в точку. Гауссова сфера имеет ячейки накопителя, которые увеличиваются, когда через них проходит большой круг, т. е. на изображении отрезок линии пересекает точку схода. С тех пор было сделано несколько модификаций, но одним из самых эффективных методов было использование преобразования Хафа , отображающего параметры отрезка линии на ограниченное пространство. Каскадные преобразования Хафа применялись для нескольких точек схода.
Процесс преобразования изображения в ограниченные пространства приводит к потере фактических расстояний между отрезками линий и точками.
На этапе поиска находится ячейка аккумулятора с максимальным числом проходящих через нее отрезков. Затем эти отрезки удаляются, и этап поиска повторяется до тех пор, пока это число не станет ниже определенного порога. Поскольку теперь доступно больше вычислительной мощности, можно найти точки, соответствующие двум или трем взаимно ортогональным направлениям.
.jpg/1280px-Entrega_de_las_llaves_a_San_Pedro_(Perugino).jpg)