Трансверсально -изотропный материал — это материал, физические свойства которого симметричны относительно оси, перпендикулярной плоскости изотропии . Эта поперечная плоскость имеет бесконечное количество плоскостей симметрии, и поэтому внутри этой плоскости свойства материала одинаковы во всех направлениях. Следовательно, такие материалы также известны как «полярные анизотропные» материалы. В геофизике вертикально-поперечная изотропия (VTI) также известна как радиальная анизотропия.
Этот тип материала обладает гексагональной симметрией (хотя технически это перестает быть справедливым для тензоров ранга 6 и выше), поэтому количество независимых констант в тензоре упругости (четвертого ранга) сокращается до 5 (из 21 независимого). константы в случае полностью анизотропного твердого тела ). Тензоры (второго ранга) электросопротивления, проницаемости и т. д. имеют две независимые константы.
Пример трансверсально-изотропных материалов
Примером трансверсально-изотропного материала является так называемая композитная пластина с однонаправленным волокном на оси, где волокна имеют круглое поперечное сечение. В однонаправленном композите плоскость, нормальная к направлению волокна, можно рассматривать как изотропную плоскость при длинных волнах (низких частотах) возбуждения. На рисунке справа волокна будут выровнены по оси, перпендикулярной плоскости изотропии.
С точки зрения эффективных свойств геологические слои горных пород часто интерпретируются как трансверсально-изотропные. Для расчета эффективных упругих свойств таких слоев в петрологии был придуман апскейлинг Бэкуса , который описан ниже.
Матрица симметрии материала
Матрица материала имеет симметрию относительно данного ортогонального преобразования ( ), если она не изменяется при воздействии этого преобразования. Для инвариантности свойств материала при таком преобразовании потребуем
Следовательно, условие симметрии материала (используя определение ортогонального преобразования)
Ортогональные преобразования могут быть представлены в декартовых координатах матрицей, заданной формулой
Следовательно, условие симметрии можно записать в матричной форме как
Для трансверсально-изотропного материала матрица имеет вид
где -ось - ось симметрии . Матрица материала остается инвариантной при вращении на любой угол вокруг оси -.
где — два вектора, представляющие физические величины, — тензор материала второго порядка. В матричной форме
Примеры физических проблем, соответствующих приведенному выше шаблону, перечислены в таблице ниже. [1]
Использование в матрице означает, что . Использование приводит к и . Энергетические ограничения обычно требуют , и, следовательно, мы должны их иметь . Следовательно, свойства материала трансверсально-изотропного материала описываются матрицей
Условие симметрии материала в линейно упругих материалах таково. [2]
где
Тензор упругости
Используя конкретные значения в матрице , [3] можно показать, что тензор упругой жесткости четвертого ранга может быть записан в 2-индексной записи Фойгта как матрица
Матрица упругой жесткости имеет 5 независимых констант, которые связаны с известными техническими модулями упругости следующим образом. Эти инженерные модули определяются экспериментально.
Матрица податливости (обратная матрице упругой жесткости) имеет вид
где . В инженерных обозначениях
Сравнение этих двух форм матрицы податливости показывает нам, что продольный модуль Юнга определяется выражением
Здесь L представляет продольное (полярное) направление, а T представляет поперечное направление.
В геофизике
В геофизике распространено предположение, что горные образования земной коры локально полярно-анизотропны (трансверсально-изотропны); это простейший случай, представляющий геофизический интерес. Апскейлинг Бэкуса [4] часто используется для определения эффективных поперечно-изотропных упругих постоянных слоистых сред для длинноволновых сейсмических волн.
В приближении Бэкуса сделаны следующие предположения:
Все материалы линейно эластичны.
Отсутствие источников собственной диссипации энергии (например, трения)
Действительно в пределе бесконечной длины волны, поэтому хорошие результаты только в том случае, если толщина слоя намного меньше длины волны.
Статистика распределения упругих свойств слоя стационарна, т.е. коррелированного тренда этих свойств нет.
Для более коротких волн поведение сейсмических волн описывается с помощью суперпозиции плоских волн . Трансверсально-изотропные среды поддерживают три типа упругих плоских волн:
квази- P-волна ( направление поляризации почти равно направлению распространения)
S-волна (поляризованная, ортогональная квазиS-волне, оси симметрии и направлению распространения).
Решения проблем распространения волн в таких средах могут быть построены на основе этих плоских волн с использованием синтеза Фурье .
Масштабирование по Бэкусу (длинноволновое приближение)
Слоистая модель однородного и изотропного материала может быть масштабирована до поперечно-изотропной среды, предложенной Бэкусом. [4]
Бэкус представил эквивалентную теорию среды, согласно которой гетерогенная среда может быть заменена однородной, что предсказывает распространение волн в реальной среде. [5] Бэкус показал, что наложение слоев в масштабе, гораздо меньшем, чем длина волны, оказывает влияние и что ряд изотропных слоев может быть заменен однородной трансверсально-изотропной средой, которая ведет себя точно так же, как реальная среда при статической нагрузке в бесконечный предел длины волны.
Если каждый слой описывается 5 трансверсально-изотропными параметрами , задающими матрицу
Модули упругости эффективной среды будут
где
обозначает средневзвешенное значение объема по всем слоям.
Сюда входят изотропные слои, поскольку слой является изотропным, если , и .
Приближение коротких и средних волн
Решения задач распространения волн в линейных упругих трансверсально-изотропных средах можно построить путем суперпозиции решений для квазиP-волны, квазиS-волны и поперечной волны, поляризованной ортогонально квазиS-волне. Однако уравнения углового изменения скорости алгебраически сложны, а скорости плоских волн являются функциями угла распространения . [6] Зависящие от направления скорости упругих волн в материале могут быть найдены с помощью уравнения Кристоффеля и определяются по формуле [7]
где – угол между осью симметрии и направлением распространения волны, – плотность массы, – элементы упругой матрицы жесткости . Параметры Томсена используются для упрощения этих выражений и облегчения их понимания.
Параметры Томсена
Параметры Томсена [8] представляют собой безразмерные комбинации модулей упругости , характеризующие трансверсально-изотропные материалы, встречающиеся, например, в геофизике . В терминах компонентов матрицы упругой жесткости эти параметры определяются как:
где индекс 3 обозначает ось симметрии ( ). Эти параметры в сочетании с соответствующими скоростями продольных и поперечных волн можно использовать для характеристики распространения волн через слабоанизотропные слоистые среды. Эмпирически параметры Томсена для большинства слоистых горных пород значительно ниже 1.
Название отсылает к Леону Томсену, профессору геофизики Хьюстонского университета , который предложил эти параметры в своей статье 1986 года «Слабая упругая анизотропия».
Упрощенные выражения для скоростей волн
В геофизике анизотропия упругих свойств обычно слаба, и в этом случае . Когда точные выражения для скоростей волн, приведенные выше, линеаризуются в этих малых величинах, они упрощаются до
где
– скорости продольных и поперечных волн в направлении оси симметрии ( ) (в геофизике это обычно, но не всегда, вертикальное направление). Заметим, что возможна дальнейшая линеаризация, но это не приводит к дальнейшему упрощению.
Приближенные выражения для скоростей волн достаточно просты, чтобы их можно было физически интерпретировать, и достаточно точны для большинства геофизических приложений. Эти выражения также полезны в некоторых контекстах, где анизотропия не является слабой.
^ Милтон, GW (2002). Теория композитов . Издательство Кембриджского университета.
^ Славински, Массачусетс (2010). Волны и лучи в упругих средах (PDF) . Всемирная научная. Архивировано из оригинала (PDF) 10 февраля 2009 г.
^ Мы можем использовать значения и для вывода матрицы жесткости для трансверсально-изотропных материалов. Конкретные значения выбраны для облегчения расчета.
^ ab Бэкус, GE (1962), Длинноволновая упругая анизотропия, создаваемая горизонтальным наслоением, J. Geophys. Рез., 67(11), 4427–4440.
^ Икеле, Люк Т. и Амундсен, Лассе (2005), Введение в нефтяную сейсмологию, Исследования SEG в геофизике № 12.
^ Най, Дж. Ф. (2000). Физические свойства кристаллов: их представление тензорами и матрицами . Издательство Оксфордского университета.
^ Г. Мавко , Т. Мукерджи, Дж. Дворкин. Справочник по физике горных пород . Издательство Кембриджского университета, 2003 г. (мягкая обложка). ISBN 0-521-54344-4