Они представляют собой подмножество анизотропных материалов , поскольку их свойства изменяются при измерении с разных направлений.
Знакомый пример ортотропного материала — дерево . В древесине можно определить три взаимно перпендикулярных направления в каждой точке, в которых свойства различны. Он наиболее жесткий (и прочный) вдоль волокон (в осевом направлении), потому что большинство фибрилл целлюлозы ориентированы таким образом. Обычно он наименее жесткий в радиальном направлении (между годичными кольцами) и является промежуточным в окружном направлении. Эта анизотропия возникла в результате эволюции, поскольку она лучше всего позволяет дереву оставаться в вертикальном положении.
Поскольку предпочтительной системой координат является цилиндрическо-полярная, этот тип ортотропии также называется полярной ортотропией .
Другим примером ортотропного материала является листовой металл , полученный путем сжатия толстых участков металла между тяжелыми роликами. Это сглаживает и растягивает его зернистую структуру . В результате материал становится анизотропным — его свойства различаются в зависимости от направления прокатки и каждого из двух поперечных направлений. Этот метод успешно используется при изготовлении балок из конструкционной стали и алюминиевой обшивки самолетов.
Если ортотропные свойства различаются между точками внутри объекта, он обладает как ортотропностью, так и неоднородностью . Это говорит о том, что ортотропия — это свойство точки внутри объекта, а не объекта в целом (если только объект не является однородным). Соответствующие плоскости симметрии также определяются для небольшой области вокруг точки и не обязательно должны быть идентичны плоскостям симметрии всего объекта.
Ортотропные материалы представляют собой подмножество анизотропных материалов ; их свойства зависят от направления, в котором они измерены. Ортотропные материалы имеют три плоскости/оси симметрии. Изотропный материал, напротив, имеет одинаковые свойства во всех направлениях . Можно доказать, что материал, имеющий две плоскости симметрии, должен иметь и третью. Изотропные материалы имеют бесконечное количество плоскостей симметрии.
Трансверсально-изотропные материалы — это специальные ортотропные материалы, имеющие одну ось симметрии (любая другая пара осей, перпендикулярная основной и ортогональная между собой, также является осями симметрии). Одним из распространенных примеров трансверсально-изотропного материала с одной осью симметрии является полимер, армированный параллельными волокнами стекла или графита. Прочность и жесткость такого композиционного материала обычно будут выше в направлении, параллельном волокнам, чем в поперечном направлении, а направление толщины обычно имеет свойства, аналогичные поперечному направлению. Другим примером может служить биологическая мембрана, свойства которой в плоскости мембраны будут отличаться от свойств в перпендикулярном направлении. Было показано, что свойства ортотропного материала обеспечивают более точное представление упругой симметрии кости, а также могут дать информацию о трехмерной направленности свойств материала кости на уровне ткани. [1]
Важно помнить, что материал, который является анизотропным в одном масштабе длины, может быть изотропным в другом (обычно большем) масштабе длины. Например, большинство металлов являются поликристаллическими с очень мелкими зернами . Каждое из отдельных зерен может быть анизотропным, но если материал в целом содержит множество случайно ориентированных зерен, то его измеренные механические свойства будут средними из свойств по всем возможным ориентациям отдельных зерен.
Ортотропия в физике
Анизотропные материальные отношения
Материальное поведение представлено в физических теориях определяющими отношениями . Большой класс физического поведения может быть представлен линейными моделями материала, которые принимают форму тензора второго порядка . Тензор материала обеспечивает связь между двумя векторами и может быть записан как
где – два вектора, представляющие физические величины, – тензор материала второго порядка. Если мы выразим приведенное выше уравнение через компоненты относительно ортонормированной системы координат , мы можем написать
Примеры физических проблем, соответствующих приведенному выше шаблону, перечислены в таблице ниже. [2]
Условие симметрии материала
Матрица материала имеет симметрию относительно данного ортогонального преобразования ( ), если она не изменяется при воздействии этого преобразования. Для инвариантности свойств материала при таком преобразовании потребуем
Следовательно, условие симметрии материала (используя определение ортогонального преобразования)
Ортогональные преобразования могут быть представлены в декартовых координатах матрицей, заданной формулой
Следовательно, условие симметрии можно записать в матричной форме как
Свойства ортотропного материала
Ортотропный материал имеет три ортогональные плоскости симметрии . Если мы выберем ортонормированную систему координат так, чтобы оси совпадали с нормалями к трем плоскостям симметрии, матрицы преобразования будут иметь вид
Можно показать, что если матрица материала инвариантна при отражении от двух ортогональных плоскостей, то она инвариантна и при отражении от третьей ортогональной плоскости.
Рассмотрим отражение о самолете. Тогда у нас есть
Из приведенного выше соотношения следует, что . Далее рассмотрим размышление о самолете. Тогда у нас есть
Это подразумевает, что . Следовательно, свойства ортотропного материала описываются матрицей
Ортотропия в линейной упругости
Анизотропная эластичность
В линейной упругости соотношение между напряжением и деформацией зависит от типа рассматриваемого материала. Это соотношение известно как закон Гука . Для анизотропных материалов закон Гука можно записать в виде [3]
где – тензор напряжений , – тензор деформаций, – тензор упругой жесткости . Если тензоры в приведенном выше выражении описываются через компоненты относительно ортонормированной системы координат, мы можем написать
где суммирование предполагалось по повторяющимся индексам. Поскольку тензоры напряжений и деформаций симметричны и поскольку соотношение «напряжение-деформация» в линейной упругости может быть получено из функции плотности энергии деформации , для линейных упругих материалов справедливы следующие симметрии:
Из-за вышеуказанной симметрии зависимость напряжения от деформации для линейно упругих материалов может быть выражена в матричной форме как
Матрица жесткости удовлетворяет заданному условию симметрии, если она не изменяется при соответствующем ортогональном преобразовании . Ортогональное преобразование может представлять симметрию относительно точки , оси или плоскости . Ортогональные преобразования в линейной упругости включают вращения и отражения, но не преобразования, изменяющие форму, и могут быть представлены в ортонормированных координатах матрицей, заданной выражением
В обозначениях Фойгта матрица преобразования тензора напряжений может быть выражена в виде матрицы [ 4]
Преобразование тензора деформаций имеет несколько иной вид из-за выбора обозначений. Эта матрица преобразования
Это можно показать .
Упругие свойства континуума инвариантны относительно ортогонального преобразования тогда и только тогда, когда [4]
Матрицы жесткости и податливости в ортотропной упругости
Ортотропный упругий материал имеет три ортогональные плоскости симметрии . Если мы выберем ортонормированную систему координат так, чтобы оси совпадали с нормалями к трем плоскостям симметрии, матрицы преобразования будут иметь вид
Можно показать, что если матрица линейно-упругого материала инвариантна при отражении от двух ортогональных плоскостей, то она инвариантна и при отражении от третьей ортогональной плоскости.
Если рассматривать отражение относительно плоскости, то имеем
Тогда из требования следует, что [4]
Вышеупомянутое требование может быть удовлетворено только в том случае, если
Теперь рассмотрим отражение относительно плоскости. В таком случае
Снова используя условие инвариантности, мы получаем дополнительное требование, что
Никакой дополнительной информации получить невозможно, поскольку отражение о третьей плоскости симметрии не является независимым от отражений о плоскостях, которые мы уже рассмотрели. Следовательно, матрицу жесткости ортотропного линейно-упругого материала можно записать в виде
Обратная матрица обычно записывается как [5]
где модуль Юнга вдоль оси , модуль сдвига в направлении на плоскости, нормаль которой находится в направлении , и коэффициент Пуассона , который соответствует сжатию в направлении , когда растяжение применяется в направлении .
Границы модулей ортотропных упругих материалов
Зависимость деформации от напряжения для ортотропных линейно-упругих материалов можно записать в обозначениях Фойгта как
^ Geraldes DM et al, 2014, Сравнительное исследование ортотропной и изотропной адаптации костей бедренной кости , Международный журнал численных методов в биомедицинской инженерии, том 30, выпуск 9, страницы 873–889, DOI: 10.1002/cnm.2633, http ://onlinelibrary.wiley.com/wol1/doi/10.1002/cnm.2633/full
^ Милтон, Г.В., 2002, Теория композитов , Издательство Кембриджского университета.
^ Лехницкий, С.Г., 1963, Теория упругости анизотропного упругого тела , Holden-Day Inc.
^ abcd Славински, Массачусетс, 2010, Волны и лучи в упругих средах: 2-е изд. , Всемирный научный. [1]
^ Борези, А.П., Шмидт, Р.Дж. и Сайдботтом, О.М., 1993, Передовая механика материалов , Wiley.
^ ab Ting, TCT и Chen, T., 2005, Коэффициент Пуассона для анизотропных упругих материалов не может иметь границ, QJ Mech. Прил. Математика, 58(1), стр. 73–82.