Треугольник Безье

Треугольник Безье — это особый тип поверхности Безье , который создается путем ( линейной , квадратичной , кубической или более высокой степени) интерполяции контрольных точек.

Треугольник Безье n -го порядка

Общий треугольник Безье n -го порядка имеет ( n  +1)( n  + 2)/2 контрольные точки α ⁱ β ^j γ ^k , где i ,  j ,  k — неотрицательные целые числа такие, что i  +  j  +  k  =  n . ^[1] Тогда поверхность определяется как

${\displaystyle (\alpha s+\beta t+\gamma u)^{n}=\sum _{\begin{smallmatrix}i+j+k\,=\,n\\i,j,k\,\geq \,0\end{smallmatrix}}{n \choose i\ j\ k}s^{i}t^{j}u^{k}\alpha ^{i}\beta ^{j}\gamma ^{k}=\sum _{\begin{smallmatrix}i+j+k\,=\,n\\i,j,k\,\geq \,0\end{smallmatrix}}{\frac {n!}{i!j!k!}}s^{i}t^{j}u^{k}\alpha ^{i}\beta ^{j}\gamma ^{k}}$

для всех неотрицательных действительных чисел s  +  t  +  u  = 1.

При линейном порядке ( ) результирующий треугольник Безье фактически представляет собой правильный плоский треугольник с вершинами треугольника, равными трем контрольным точкам. Квадратичный ( ) треугольник Безье имеет 6 контрольных точек , все из которых расположены на краях. Кубический ( ) треугольник Безье определяется 10 контрольными точками и представляет собой треугольник Безье низшего порядка, имеющий внутреннюю контрольную точку, не расположенную на краях . Во всех случаях края треугольника будут кривыми Безье одной и той же степени. ${\textstyle n=1}$ ${\textstyle n=2}$ ${\textstyle n=3}$

Кубический треугольник Безье

Пример треугольника Безье с отмеченными контрольными точками

Кубический треугольник Безье — это поверхность с уравнением

${\displaystyle {\begin{aligned}p(s,t,u)=(\alpha s+\beta t+\gamma u)^{3}=\;&\beta ^{3}\,t^{3}+3\,\alpha \beta ^{2}\,st^{2}+3\,\beta ^{2}\gamma \,t^{2}u\;+\\&3\,\alpha ^{2}\beta \,s^{2}t+6\,\alpha \beta \gamma \,stu+3\,\beta \gamma ^{2}\,tu^{2}\,+\\&\alpha ^{3}\,s^{3}+3\,\alpha ^{2}\gamma \,s^{2}u+3\,\alpha \gamma ^{2}\,su^{2}+\gamma ^{3}\,u^{3}\end{aligned}}}$

где α ³ , β ³ , γ ³ , α ² β, αβ ² , β ² γ, βγ ² , αγ ² , α ² γ и αβγ — контрольные точки треугольника, а s , t , u (при 0 ≤ s , t , u ≤ 1 и s + t + u = 1) — барицентрические координаты внутри треугольника. ^{[2] [1]}

В качестве альтернативы кубический треугольник Безье можно выразить в более обобщенной формулировке как

${\displaystyle {\begin{aligned}p(s,t,u)&=\sum _{\begin{smallmatrix}i+j+k\,=\,3\\i,j,k\,\geq \,0\end{smallmatrix}}{3 \choose i\ j\ k}s^{i}t^{j}u^{k}\alpha ^{i}\beta ^{j}\gamma ^{k}=\sum _{\begin{smallmatrix}i+j+k\,=\,3\\i,j,k\,\geq \,0\end{smallmatrix}}{\frac {6}{i!j!k!}}s^{i}t^{j}u^{k}\alpha ^{i}\beta ^{j}\gamma ^{k}\end{aligned}}}$

в соответствии с формулировкой треугольника Безье § n-го порядка.

Углами треугольника являются точки ^α3 , ^β3 и ^γ3 . Края треугольника сами по себе являются кривыми Безье с теми же контрольными точками, что и треугольник Безье.

Удаление члена γ u приводит к регулярной кривой Безье. Кроме того, хотя это и не очень полезно для отображения на физическом экране компьютера, добавление дополнительных членов приводит к тетраэдру Безье или многограннику Безье .

Из-за характера уравнения весь треугольник будет содержаться в объеме, окруженном контрольными точками, а аффинные преобразования контрольных точек будут правильно преобразовывать весь треугольник таким же образом.

Разделение кубического треугольника Безье пополам

Преимущество треугольников Безье в компьютерной графике заключается в том, что для разделения треугольника Безье на два отдельных треугольника Безье требуется только сложение и деление на два, а не арифметика с плавающей запятой . Это означает, что, хотя треугольники Безье гладкие, их можно легко аппроксимировать с помощью правильных треугольников, рекурсивно разделив треугольник на две части, пока полученные треугольники не будут считаться достаточно маленькими.

Следующее вычисляет новые контрольные точки для половины полного треугольника Безье с углом α ³ , углом на полпути вдоль кривой Безье между α ³ и β ³ и третьим углом γ ³ .

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\alpha ^{3}}}{'}\\{\boldsymbol {\alpha ^{2}\beta }}{'}\\{\boldsymbol {\alpha \beta ^{2}}}{'}\\{\boldsymbol {\beta ^{3}}}{'}\\{\boldsymbol {\alpha ^{2}\gamma }}{'}\\{\boldsymbol {\alpha \beta \gamma }}{'}\\{\boldsymbol {\beta ^{2}\gamma }}{'}\\{\boldsymbol {\alpha \gamma ^{2}}}{'}\\{\boldsymbol {\beta \gamma ^{2}}}{'}\\{\boldsymbol {\gamma ^{3}}}{'}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\{1 \over 2}&{1 \over 2}&0&0&0&0&0&0&0&0\\{1 \over 4}&{2 \over 4}&{1 \over 4}&0&0&0&0&0&0&0\\{1 \over 8}&{3 \over 8}&{3 \over 8}&{1 \over 8}&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&{1 \over 2}&{1 \over 2}&0&0&0&0\\0&0&0&0&{1 \over 4}&{2 \over 4}&{1 \over 4}&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&{1 \over 2}&{1 \over 2}&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\alpha ^{3}}}\\{\boldsymbol {\alpha ^{2}\beta }}\\{\boldsymbol {\alpha \beta ^{2}}}\\{\boldsymbol {\beta ^{3}}}\\{\boldsymbol {\alpha ^{2}\gamma }}\\{\boldsymbol {\alpha \beta \gamma }}\\{\boldsymbol {\beta ^{2}\gamma }}\\{\boldsymbol {\alpha \gamma ^{2}}}\\{\boldsymbol {\beta \gamma ^{2}}}\\{\boldsymbol {\gamma ^{3}}}\end{pmatrix}}}$

эквивалентно, используя только сложение и деление на два,

где := означает замену вектора слева вектором справа.

Обратите внимание, что разделение треугольника Безье пополам аналогично делению пополам кривых Безье всех порядков, вплоть до порядка треугольника Безье.

Смотрите также

• Кривая Безье
• Поверхность Безье (биквадратные участки представляют собой прямоугольники Безье)
• Поверхность

Рекомендации

1. Фарин, Джеральд (2002), Кривые и поверхности для компьютерного геометрического проектирования (5-е изд.), Academic Press Science & Technology Books, ISBN 978-1-55860-737-8
2. 3D-рендеринг поверхности в Postscript

Внешние ссылки

• Квадратичные треугольники Безье как примитивы рисования. Содержит дополнительную информацию о плоских и квадратичных треугольниках Безье.
• Статья об использовании кубических патчей Безье в трассировке лучей (немецкий)
• «Трассировка лучей треугольных участков Безье». CiteSeerX  10.1.1.18.5646 . {{cite web}}: Отсутствует или пусто |url=( помощь )
• «Треугольная вырезка Безье». CiteSeerX  10.1.1.62.8062 . {{cite web}}: Отсутствует или пусто |url=( помощь )
• Изогнутые треугольники PN (особый вид кубических треугольников Безье)
• Нормальная интерполяция с учетом формы для затенения изогнутой поверхности на основе многогранной аппроксимации
• Криволинейные треугольники на основе пиксельных шейдеров
• «Построение поверхности с ускорением, близким к наименьшему квадрату, на основе нормалей вершин на треугольных сетках». CiteSeerX  10.1.1.6.2521 . {{cite web}}: Отсутствует или пусто |url=( помощь )