Треугольник Безье

Треугольник Безье — это особый тип поверхности Безье , которая создается путем интерполяции ( линейной , квадратичной , кубической или более высокой степени) контрольных точек.

нТреугольник Безье th-го порядка

Общий треугольник Безье n -го порядка имеет ( n  +1)( n  + 2)/2 контрольных точек α ⁱ β ^j γ ^k, где i ,  j ,  k — неотрицательные целые числа , такие что i  +  j  +  k  =  n . ^[1] Поверхность тогда определяется как

${\displaystyle (\alpha s+\beta t+\gamma u)^{n}=\sum _{\begin{smallmatrix}i+j+k\,=\,n\\i,j,k\,\geq \,0\end{smallmatrix}}{n \choose i\ j\ k}s^{i}t^{j}u^{k}\alpha ^{i}\beta ^{j}\gamma ^{k}=\sum _{\begin{smallmatrix}i+j+k\,=\,n\\i,j,k\,\geq \,0\end{smallmatrix}}{\frac {n!}{i!j!k!}}s^{i}t^{j}u^{k}\alpha ^{i}\beta ^{j}\gamma ^{k}}$

для всех неотрицательных действительных чисел s  +  t  +  u  = 1.

При линейном порядке ( ) полученный треугольник Безье на самом деле является обычным плоским треугольником , вершины которого равны трем контрольным точкам. Квадратичный ( ) треугольник Безье имеет 6 контрольных точек, которые все расположены на ребрах. Кубический ( ) треугольник Безье определяется 10 контрольными точками и является треугольником Безье самого низкого порядка, который имеет внутреннюю контрольную точку, не расположенную на ребрах. Во всех случаях ребра треугольника будут кривыми Безье одинаковой степени. ${\textstyle n=1}$ ${\textstyle n=2}$ ${\textstyle n=3}$

Кубический треугольник Безье

Пример треугольника Безье с отмеченными контрольными точками

Кубический треугольник Безье — это поверхность с уравнением

${\displaystyle {\begin{aligned}p(s,t,u)=(\alpha s+\beta t+\gamma u)^{3}=\;&\beta ^{3}\,t^{3}+3\,\alpha \beta ^{2}\,st^{2}+3\,\beta ^{2}\gamma \,t^{2}u\;+\\&3\,\alpha ^{2}\beta \,s^{2}t+6\,\alpha \beta \gamma \,stu+3\,\beta \gamma ^{2}\,tu^{2}\,+\\&\alpha ^{3}\,s^{3}+3\,\alpha ^{2}\gamma \,s^{2}u+3\,\alpha \gamma ^{2}\,su^{2}+\gamma ^{3}\,u^{3}\end{aligned}}}$

где α ³ , β ³ , γ ³ , α ² β, αβ ² , β ² γ, βγ ² , αγ ² , α ² γ и αβγ — контрольные точки треугольника, а s , t , u (при 0 ≤ s , t , u ≤ 1 и s + t + u = 1) — барицентрические координаты внутри треугольника. ^{[2] [1]}

Альтернативно, кубический треугольник Безье можно выразить в более обобщенной формуле:

${\displaystyle {\begin{aligned}p(s,t,u)&=\sum _{\begin{smallmatrix}i+j+k\,=\,3\\i,j,k\,\geq \,0\end{smallmatrix}}{3 \choose i\ j\ k}s^{i}t^{j}u^{k}\alpha ^{i}\beta ^{j}\gamma ^{k}=\sum _{\begin{smallmatrix}i+j+k\,=\,3\\i,j,k\,\geq \,0\end{smallmatrix}}{\frac {6}{i!j!k!}}s^{i}t^{j}u^{k}\alpha ^{i}\beta ^{j}\gamma ^{k}\end{aligned}}}$

в соответствии с формулировкой треугольника Безье n-го порядка.

Углы треугольника — это точки α ³ , β ³ и γ ³ . Края треугольника сами по себе являются кривыми Безье с теми же контрольными точками, что и у треугольника Безье.

Удалив член γ u , получаем обычную кривую Безье. Также, хотя это не очень полезно для отображения на физическом экране компьютера, при добавлении дополнительных членов получается тетраэдр Безье или многогранник Безье .

В силу природы уравнения весь треугольник будет заключен в объеме, окруженном контрольными точками, и аффинные преобразования контрольных точек будут корректно преобразовывать весь треугольник таким же образом.

Деление пополам кубического треугольника Безье

Преимущество треугольников Безье в компьютерной графике заключается в том, что для деления треугольника Безье на два отдельных треугольника Безье требуется только сложение и деление на два, а не арифметика с плавающей точкой . Это означает, что хотя треугольники Безье гладкие, их можно легко аппроксимировать с помощью обычных треугольников, рекурсивно разделив треугольник на два, пока полученные треугольники не будут считаться достаточно малыми.

Ниже вычисляются новые контрольные точки для половины полного треугольника Безье с углом α ³ , углом на полпути вдоль кривой Безье между α ³ и β ³ и третьим углом γ ³ .

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\alpha ^{3}}}{'}\\{\boldsymbol {\alpha ^{2}\beta }}{'}\\{\boldsymbol {\alpha \beta ^{2}}}{'}\\{\boldsymbol {\beta ^{3}}}{'}\\{\boldsymbol {\alpha ^{2}\gamma }}{'}\\{\boldsymbol {\alpha \beta \gamma }}{'}\\{\boldsymbol {\beta ^{2}\gamma }}{'}\\{\boldsymbol {\alpha \gamma ^{2}}}{'}\\{\boldsymbol {\beta \gamma ^{2}}}{'}\\{\boldsymbol {\gamma ^{3}}}{'}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\{1 \over 2}&{1 \over 2}&0&0&0&0&0&0&0&0\\{1 \over 4}&{2 \over 4}&{1 \over 4}&0&0&0&0&0&0&0\\{1 \over 8}&{3 \over 8}&{3 \over 8}&{1 \over 8}&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&{1 \over 2}&{1 \over 2}&0&0&0&0\\0&0&0&0&{1 \over 4}&{2 \over 4}&{1 \over 4}&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&{1 \over 2}&{1 \over 2}&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\alpha ^{3}}}\\{\boldsymbol {\alpha ^{2}\beta }}\\{\boldsymbol {\alpha \beta ^{2}}}\\{\boldsymbol {\beta ^{3}}}\\{\boldsymbol {\alpha ^{2}\gamma }}\\{\boldsymbol {\alpha \beta \gamma }}\\{\boldsymbol {\beta ^{2}\gamma }}\\{\boldsymbol {\alpha \gamma ^{2}}}\\{\boldsymbol {\beta \gamma ^{2}}}\\{\boldsymbol {\gamma ^{3}}}\end{pmatrix}}}$

эквивалентно, используя только сложение и деление на два,

где := означает замену вектора слева вектором справа.

Обратите внимание, что деление треугольника Безье пополам аналогично делению пополам кривых Безье всех порядков вплоть до порядка треугольника Безье.

Смотрите также

• кривая Безье
• Поверхность Безье (биквадратные участки представляют собой прямоугольники Безье)
• Поверхность

Ссылки

1. Farin, Gerald (2002), Кривые и поверхности для компьютерного геометрического проектирования (5-е изд.), Academic Press Science & Technology Books, ISBN 978-1-55860-737-8
2. 3D-рендеринг поверхности в Postscript

Дальнейшее чтение

• Рот, С. Х. Мартин; Диези, Патрик; Гросс, Маркус Х. (сентябрь 2001 г.), «Трассировка лучей треугольными кривыми Безье», Computer Graphics Forum , 20 (3): 422–432, doi :10.1111/1467-8659.00535
• Рот, SHM; Диези, П.; Гросс, МХ (2000), "Треугольное отсечение Безье", Труды Восьмой Тихоокеанской конференции по компьютерной графике и приложениям (PCCGA-00) , IEEE Computer Society, doi : 10.1109/pccga.2000.883971, hdl : 20.500.11850/68729
• Ян, Сюньнянь; Чжэн, Цзяньминь (апрель 2012 г.), «Нормальная интерполяция с учетом формы для затенения криволинейной поверхности с помощью полиэдральной аппроксимации», The Visual Computer , 29 (3): 189–201, doi :10.1007/s00371-012-0715-y
• Шварц, Михаэль; Штаммингер, Марк (2006), «Изогнутые треугольники на основе пиксельных шейдеров», SIGGRAPH '06: Исследовательские плакаты ACM SIGGRAPH 2006 (PDF) , ACM Press, doi : 10.1145/1179622.1179680, архивировано из оригинала (PDF) 2011-01-03
• Баррера, Тони; Хаст, Андерс; Бенгтссон, Эверт, «Построение поверхности с ускорением, близким к наименьшему квадрату, на основе нормалей вершин на треугольных сетках» (PDF) , в Оллила, Марк (ред.), SIGRAD 2002 , стр. 43–48

Внешние ссылки

• Квадратичные треугольники Безье как примитивы для рисования Содержит дополнительную информацию о плоских и квадратных треугольниках Безье.
• Криволинейные треугольники PN (особый вид кубических треугольников Безье)