Линейность

Свойства математических отношений

В математике термин «линейный» используется в двух разных смыслах для двух разных свойств:

• линейность функции ( или отображения );
• линейность многочлена .

Примером линейной функции является функция, которая отображает действительную линию на линию в евклидовой плоскости R2 ^, которая проходит через начало координат. Пример линейного полинома от переменных и : ${\displaystyle f(x)=(ax,bx)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle aX+bY+cZ+d.}$

Линейность отображения тесно связана с пропорциональностью . Примеры в физике включают линейную зависимость напряжения и тока в электрическом проводнике ( закон Ома ), а также зависимость массы и веса . Напротив, более сложные отношения, такие как между скоростью и кинетической энергией , являются нелинейными .

В обобщенном виде для функций в более чем одном измерении линейность означает свойство функции быть совместимой со сложением и масштабированием , также известное как принцип суперпозиции .

Линейность многочлена означает, что его степень меньше двух. Использование термина для полиномов связано с тем фактом, что график многочлена от одной переменной представляет собой прямую линию . В термине « линейное уравнение » это слово относится к линейности участвующих многочленов.

Поскольку функция, например, определяется линейным полиномом в своем аргументе, ее иногда также называют «линейной функцией», а связь между аргументом и значением функции можно назвать «линейной связью». Это потенциально может сбить с толку, но обычно предполагаемое значение будет ясно из контекста. ${\displaystyle f(x)=ax+b}$

Слово «линейный» происходит от латинского «linearis» , что означает «относящийся к линии или напоминающий ее».

По математике

Линейные карты

В математике линейная карта или линейная функция f ( x ) — это функция, которая удовлетворяет двум свойствам: ^[1]

• Аддитивность : ж ( Икс + y ) знак равно ж ( Икс ) + ж ( y ) .
• Однородность степени 1: f (α x ) = α f ( x ) для всех α.

Эти свойства известны как принцип суперпозиции . В этом определении x не обязательно является действительным числом , но вообще может быть элементом любого векторного пространства . В элементарной математике используется более специальное определение линейной функции , не совпадающее с определением линейного отображения (см. ниже).

Сама по себе аддитивность подразумевает однородность для рационального α, поскольку для любого натурального числа n по математической индукции подразумевает , а затем подразумевает . Плотность рациональных чисел в действительных числах означает, что любая аддитивная непрерывная функция однородна для любого действительного числа α и, следовательно, линейна. ${\displaystyle f(x+x)=f(x)+f(x)}$ ${\displaystyle f(nx)=nf(x)}$ ${\displaystyle nf(x)=f(nx)=f(m{\tfrac {n}{m}}x)=mf({\tfrac {n}{m}}x)}$ ${\displaystyle f({\tfrac {n}{m}}x)={\tfrac {n}{m}}f(x)}$

Понятие линейности можно распространить на линейные операторы . Важные примеры линейных операторов включают производную , рассматриваемую как дифференциальный оператор , и другие операторы, построенные на ее основе, такие как del и лапласиан . Когда дифференциальное уравнение можно выразить в линейной форме, его обычно можно решить, разбив уравнение на более мелкие части, решая каждую из этих частей и суммируя решения.

Линейные полиномы

В другом использовании по сравнению с приведенным выше определением полином степени 1 называется линейным, потому что график функции такого вида представляет собой прямую линию. ^[2]

В действительных числах простой пример линейного уравнения имеет вид:

${\displaystyle y=mx+b\ }$

где m часто называют наклоном или градиентом , а b - точкой пересечения оси y , которая дает точку пересечения графика функции и оси y .

Обратите внимание, что использование термина «линейный» отличается от использования в разделе выше, поскольку линейные полиномы над действительными числами, как правило, не удовлетворяют ни аддитивности, ни однородности. Фактически, они делают это тогда и только тогда, когда постоянный член – b в примере – равен 0. Если b ≠ 0 , функция называется аффинной функцией (см. в более общем виде аффинное преобразование ).

Линейная алгебра — это раздел математики, изучающий системы линейных уравнений.

Булевы функции

Диаграмма Хассе линейной булевой функции

В булевой алгебре линейная функция — это функция , для которой существуют такие, что ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}\in \{0,1\}}$

${\displaystyle f(b_{1},\ldots ,b_{n})=a_{0}\oplus (a_{1}\land b_{1})\oplus \cdots \oplus (a_{n}\land b_{n})}$, где ${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}\in \{0,1\}.}$

Обратите внимание, что если , указанная выше функция считается аффинной в линейной алгебре (т.е. не линейной). ${\displaystyle a_{0}=1}$

Булева функция является линейной, если для таблицы истинности функции выполняется одно из следующих условий :

1. В каждой строке, в которой истинностное значение функции равно T , аргументам присвоено нечетное количество T, а в каждой строке, в которой функция равна F , аргументам присвоено четное количество T. В частности, f (F, F, ..., F) = F , и эти функции соответствуют линейным отображениям в булевом векторном пространстве.
2. В каждой строке, в которой значением функции является T, аргументам функции присвоено четное количество T; и в каждой строке, в которой истинное значение функции равно F, аргументам присвоено нечетное число T. В этом случае f (F, F, ..., F) = T .

Другой способ выразить это состоит в том, что каждая переменная всегда влияет на истинное значение операции или никогда не имеет значения.

Отрицание , логическое двуусловие , исключающее или , тавтология и противоречие являются линейными функциями.

Физика

В физике линейность — это свойство дифференциальных уравнений , управляющих многими системами; например, уравнения Максвелла или уравнение диффузии . ^[3]

Линейность однородного дифференциального уравнения означает, что если две функции f и g являются решениями уравнения, то и любая линейная комбинация af + bg тоже.

В приборостроении линейность означает, что данное изменение входной переменной приводит к такому же изменению выходного сигнала измерительного устройства: это очень желательно в научной работе. В целом, инструменты близки к линейным в определенном диапазоне и наиболее полезны именно в этом диапазоне. Напротив, человеческие чувства очень нелинейны: например, мозг полностью игнорирует входящий свет, пока он не превысит определенное абсолютное пороговое количество фотонов.

Линейное движение следует по прямой траектории.

Электроника

В электронике линейная рабочая область устройства, например транзистора , — это то место, где переменная, зависящая от выходного сигнала (например, ток коллектора транзистора ), прямо пропорциональна переменной, зависящей от входа (например, току базы). Это гарантирует, что аналоговый выходной сигнал является точным представлением входного сигнала, обычно с более высокой амплитудой (усиленным). Типичным примером линейного оборудования является высококачественный аудиоусилитель , который должен усиливать сигнал без изменения его формы. Другие — линейные фильтры и линейные усилители в целом.

В большинстве научных и технологических приложений, в отличие от математических, что-то можно назвать линейным, если характеристика представляет собой приблизительно, но не совсем прямую линию; и линейность может быть допустимой только в определенной рабочей области - например, усилитель высокой точности может искажать небольшой сигнал, но достаточно небольшой, чтобы быть приемлемым (приемлемая, но несовершенная линейность); и может очень сильно исказиться, если входные данные превысят определенное значение. ^[4]

Интегральная линейность

Бертрам С. Колтс об электронном устройстве (или другом физическом устройстве), которое преобразует одно количество в другое: ^{[5] [6]}

Обычно используются три основных определения интегральной линейности: независимая линейность, линейность с нулевым отсчетом и конечная или конечная линейность. В каждом случае линейность определяет, насколько фактическая производительность устройства в заданном рабочем диапазоне приближается к прямой линии. Линейность обычно измеряется в терминах отклонения или нелинейности от идеальной прямой линии и обычно выражается в процентах от полной шкалы или в ppm (частях на миллион) от полной шкалы. Обычно прямая линия получается путем аппроксимации данных методом наименьших квадратов. Три определения различаются по способу расположения прямой линии относительно фактической производительности устройства. Кроме того, все три определения игнорируют любые ошибки усиления или смещения, которые могут присутствовать в характеристиках реального устройства.

Смотрите также

• Линейный привод
• Линейный элемент
• Линейная стопа
• Линейная система
• Линейное программирование
• Линейное дифференциальное уравнение
• Билинейный
• Многолинейный
• Линейный двигатель
• Линейная интерполяция

Рекомендации

1. Эдвардс, Гарольд М. (1995). Линейная алгебра. Спрингер. п. 78. ИСБН 9780817637316.
2. Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление: ранние трансцендентальные теории , 6-е изд., Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-495-01166-8 , раздел 1.2. 
3. Эванс, Лоуренс К. (2010) [1998], Уравнения в частных производных (PDF) , Аспирантура по математике , том. 19 (2-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , номер документа : 10.1090/gsm/019, ISBN. 978-0-8218-4974-3, MR  2597943, заархивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г.
4. Уитакер, Джерри К. (2002). Справочник по системам радиочастотной передачи. ЦРК Пресс. ISBN 978-0-8493-0973-1.
5. Кольтс, Бертрам С. (2005). «Понимание линейности и монотонности» (PDF) . аналогЗОНА. Архивировано из оригинала (PDF) 4 февраля 2012 года . Проверено 24 сентября 2014 г.
6. Кольтс, Бертрам С. (2005). «Понимание линейности и монотонности». Зарубежная электронная измерительная техника . 24 (5): 30–31 . Проверено 25 сентября 2014 г.

Внешние ссылки

• Словарное определение линейности в Викисловаре