Элемент (математика)

Любой из отдельных объектов, составляющих множество в теории множеств.

В математике элементом (или членом ) множества является любой из отдельных объектов , принадлежащих этому множеству.

Наборы

Запись означает, что элементами множества A являются числа 1, 2 , 3 и 4. Наборы элементов A , например , являются подмножествами A. ${\displaystyle A=\{1,2,3,4\}}$ ${\displaystyle \{1,2\}}$

Наборы сами по себе могут быть элементами. Например, рассмотрим набор . Элементами B не являются 1, 2, 3 и 4. Скорее, существует только три элемента B , а именно числа 1 и 2 и множество . ${\displaystyle B=\{1,2,\{3,4\}\}}$ ${\displaystyle \{3,4\}}$

Элементами множества может быть что угодно. Например, это набор, элементами которого являются красный , зеленый и синий цвета . ${\displaystyle C=\{\mathrm {\color {Red}red} ,\mathrm {\color {green}green} ,\mathrm {\color {blue}blue} \}}$

Говоря логическим языком, ( x ∈ y ) ↔ (∀ x [P _x = y ] : x ∈ 𝔇 y ). ^{[ нужны разъяснения ]}

Обозначения и терминология

Отношение «является элементом», также называемое членством в множестве , обозначается символом «ε» . Письмо

${\displaystyle x\in A}$

означает, что « x является элементом  A ». ^[1] Эквивалентными выражениями являются « x является членом  A », « x принадлежит  A », « x находится в  A » и « x лежит в  A ». Выражения « A включает x » и « A содержит x » также используются для обозначения членства во множестве, хотя некоторые авторы вместо этого используют их для обозначения « x является подмножеством A  » . ^[2] Логик Джордж Булос настоятельно рекомендовал использовать слово «содержит» только для обозначения членства, а слово «включает» только для отношения подмножества. ^[3]

Для отношения € обратное отношение € ^Т можно записать

${\displaystyle A\ni x}$

что означает « A содержит или включает x ».

Отрицание принадлежности множеству обозначается символом «∉». Письмо

${\displaystyle x\notin A}$

означает, что « x не является элементом  A ».

Символ £ впервые был использован Джузеппе Пеано в его работе 1889 года « Принципы арифметики, новый метод экспозита» . ^[4] Здесь он написал на странице X:

Signum ∈ означает est. Ita a ∈ b legitur a est quoddam b; …

что значит

Символ € означает . Таким образом, a ∈ b читается как a — некоторый b; …

Сам символ представляет собой стилизованную строчную греческую букву эпсилон («ϵ»), первую букву слова ἐστί , что означает «есть». ^[4]

Примеры

Используя наборы, определенные выше, а именно A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, {3, 4}} и C = {красный, зеленый, синий}, верны следующие утверждения:

• 2 ∈ А
• 5 ∉ А

• {3, 4} ∈ B
• 3 ∉ Б
• 4 ∉ Б
• желтый ∉ С

Мощность множеств

Число элементов в определенном наборе — это свойство, известное как мощность ; неофициально это размер набора. ^[5] В приведенных выше примерах мощность множества  A равна 4, а мощность множества B и множества C равна 3. Бесконечное множество — это множество с бесконечным числом элементов, а конечное множество — это множество с конечным числом элементов. Приведенные выше примеры являются примерами конечных множеств. Примером бесконечного множества является набор натуральных чисел {1, 2, 3, 4, ...}.

Формальные отношения

В качестве отношения членство в наборе должно иметь домен и диапазон. Условно эта область называется вселенной , обозначаемой U. Диапазон — это набор подмножеств U , называемый набором степеней U и обозначаемый P( U ). Таким образом, отношение является подмножеством U x P( U ). Обратное отношение является подмножеством P( U ) xU . ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \ni }$

Смотрите также

• Элемент идентификации
• Синглтон (математика)

Рекомендации

1. Вайсштейн, Эрик В. «Элемент». mathworld.wolfram.com . Проверено 10 августа 2020 г.
2. Эрик Шехтер (1997). Справочник по анализу и его основам . Академическая пресса . ISBN 0-12-622760-8.п. 12
3. Джордж Булос (4 февраля 1992 г.). 24.243 Классическая теория множеств (лекция) (Речь). Массачусетский Институт Технологий .
4. Кеннеди, ХК (июль 1973 г.). «Чему Рассел научился у Пеано». Журнал формальной логики Нотр-Дама . Издательство Университета Дьюка. 14 (3): 367–372. дои : 10.1305/ndjfl/1093891001 . МР  0319684.
5. "Наборы - Элементы | Блестящая вики по математике и естественным наукам" . блестящий.орг . Проверено 10 августа 2020 г.

дальнейшее чтение

• Халмос, Пол Р. (1974) [1960], Наивная теория множеств , Тексты для студентов по математике (изд. в твердом переплете), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90092-6- «Наивное» означает, что оно не полностью аксиоматизировано, а не то, что оно глупо или легко (трактовка Халмоша не является ни тем, ни другим).
• Джек, Томас (2002), «Теория множеств», Стэнфордская энциклопедия философии , Лаборатория метафизических исследований, Стэнфордский университет
• Суппес, Патрик (1972) [1960], Аксиоматическая теория множеств , Нью-Йорк: Dover Publications, Inc., ISBN 0-486-61630-4- И понятие множества (совокупности членов), принадлежности или элементарности, аксиома протяженности, аксиома разделения и аксиома объединения (Суппес называет ее аксиомой суммы) необходимы для более глубокого понимания " установить элемент».