Упаковка кругов в равносторонний треугольник

Двумерная задача упаковки

Упаковка кругов в равносторонний треугольник — это задача упаковки в дискретной математике , где цель состоит в том, чтобы упаковать n единичных кругов в наименьший возможный равносторонний треугольник . Оптимальные решения известны для n < 13 и для любого треугольного числа кругов, а гипотезы доступны для n < 28. [ ^{1] [2] [3]}

Гипотеза Пола Эрдёша и Нормана Олера утверждает, что если n — треугольное число, то оптимальные упаковки из n − 1 и из n кругов имеют одинаковую длину стороны: то есть, согласно гипотезе, оптимальная упаковка для n − 1 кругов может быть найдена путем удаления любого одного круга из оптимальной шестиугольной упаковки из n кругов. ^[4] Теперь известно , что эта гипотеза верна для n ≤ 15. ^[5]

Минимальные решения для длины стороны треугольника: ^[1]

Близкая по смыслу задача — покрыть равносторонний треугольник фиксированным числом равных окружностей, имеющих как можно меньший радиус. ^[6]

Смотрите также

• Упаковка кругов в равнобедренном прямоугольном треугольнике
• Круги Малфатти , три круга, возможно, неравных размеров, упакованные в треугольник

Ссылки

1. Melissen, Hans (1993), «Плотнейшие упаковки конгруэнтных кругов в равностороннем треугольнике», The American Mathematical Monthly , 100 (10): 916–925, doi :10.2307/2324212, JSTOR  2324212, MR  1252928.
2. Мелиссен, Дж. Б. М.; Шур, П. К. (1995), «Упаковка 16, 17 или 18 кругов в равносторонний треугольник», Дискретная математика , 145 (1–3): 333–342, doi : 10.1016/0012-365X(95)90139-C , MR  1356610.
3. Грэм, Р. Л.; Любачевский, Б. Д. (1995), «Плотные упаковки равных дисков в равностороннем треугольнике: от 22 до 34 и далее», Electronic Journal of Combinatorics , 2 : Статья 1, около 39 стр. (электронная версия), MR  1309122.
4. Олер, Норман (1961), «Конечная задача упаковки», Канадский математический вестник , 4 (2): 153–155, doi : 10.4153/CMB-1961-018-7 , MR  0133065.
5. Паян, Чарльз (1997), «Empilement de cercles égaux dans un треугольник équilatéral. À propos d'une гипотеза д'Эрдёша-Олера», Discrete Mathematics (на французском языке), 165/166: 555–565, doi : 10.1016/С0012-365С(96)00201-4 , МР  1439300.
6. Нурмела, Кари Дж. (2000), «Предположительно оптимальные покрытия равностороннего треугольника с 36 равными кругами», Experimental Mathematics , 9 (2): 241–250, doi :10.1080/10586458.2000.10504649, MR  1780209, S2CID  45127090.