Управляемость

Динамическое свойство системы

Управляемость является важным свойством системы управления и играет решающую роль во многих задачах управления, таких как стабилизация нестабильных систем с помощью обратной связи или оптимальное управление.

Управляемость и наблюдаемость — это два аспекта одной и той же проблемы.

Грубо говоря, понятие управляемости означает способность перемещать систему во всем ее конфигурационном пространстве, используя только определенные допустимые манипуляции. Точное определение немного варьируется в зависимости от структуры или типа применяемых моделей.

Ниже приведены примеры вариаций понятий управляемости, которые были введены в литературе по системам и управлению:

• Управляемость государства
• Управляемость выходного сигнала
• Управляемость в поведенческой структуре

Управляемость государства

Состояние детерминированной системы , которое является набором значений всех переменных состояния системы (переменных , характеризуемых динамическими уравнениями), полностью описывает систему в любой момент времени. В частности, для прогнозирования будущего не требуется никакой информации о прошлом системы, если известны состояния в настоящее время и известны все текущие и будущие значения управляющих переменных (те, значения которых можно выбрать).

Полная управляемость состояния (или просто управляемость, если не указан другой контекст) описывает способность внешнего входа (вектора управляющих переменных) перемещать внутреннее состояние системы из любого начального состояния в любое конечное состояние за конечный интервал времени. ^{[1] : 737}

То есть, мы можем неформально определить управляемость следующим образом: если для любого начального состояния и любого конечного состояния существует входная последовательность для перевода состояния системы из в за конечный интервал времени, то система, моделируемая представлением пространства состояний, является управляемой. Для простейшего примера непрерывной системы LTI размерность строки выражения пространства состояний определяет интервал; каждая строка вносит вектор в пространство состояний системы. Если таких векторов недостаточно, чтобы охватить пространство состояний , то система не может достичь управляемости. Может потребоваться изменить и лучше аппроксимировать базовые дифференциальные соотношения, которые она оценивает, чтобы достичь управляемости. ${\displaystyle \mathbf {x_{0}} }$ ${\displaystyle \mathbf {x_{f}} }$ ${\displaystyle \mathbf {x_{0}} }$ ${\displaystyle \mathbf {x_{f}} }$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

Управляемость не означает, что достигнутое состояние может быть сохранено, а лишь то, что любое состояние может быть достигнуто.

Управляемость не означает, что в пространстве состояний можно прокладывать произвольные пути, а лишь то, что существует путь в пределах заданного конечного интервала времени.

Непрерывные линейные системы

Рассмотрим непрерывную линейную систему ^{[примечание 1]}

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t).}$

Существует управление из состояния в момент времени в состояние в момент времени тогда и только тогда, когда находится в пространстве столбцов ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle t_{1}>t_{0}}$ ${\displaystyle x_{1}-\phi (t_{0},t_{1})x_{0}}$

${\displaystyle W(t_{0},t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\phi (t_{0},t)B(t)B(t)^{T}\phi (t_{0},t)^{T}dt}$

где — матрица переходов состояний , а — грамиан управляемости . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle W(t_{0},t_{1})}$

Фактически, если является решением, то заданное управление осуществит желаемый переход. ${\displaystyle \eta _{0}}$ ${\displaystyle W(t_{0},t_{1})\eta =x_{1}-\phi (t_{0},t_{1})x_{0}}$ ${\displaystyle u(t)=-B(t)^{T}\phi (t_{0},t)^{T}\eta _{0}}$

Обратите внимание, что матрица, определенная выше, имеет следующие свойства: ${\displaystyle W}$

• ${\displaystyle W(t_{0},t_{1})}$симметричен​
• ${\displaystyle W(t_{0},t_{1})}$положительно полуопределен для ${\displaystyle t_{1}\geq t_{0}}$
• ${\displaystyle W(t_{0},t_{1})}$удовлетворяет линейному матричному дифференциальному уравнению

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}W(t,t_{1})=A(t)W(t,t_{1})+W(t,t_{1})A(t)^{T}-B(t)B(t)^{T},\;W(t_{1},t_{1})=0}$

• ${\displaystyle W(t_{0},t_{1})}$удовлетворяет уравнению

${\displaystyle W(t_{0},t_{1})=W(t_{0},t)+\phi (t_{0},t)W(t,t_{1})\phi (t_{0},t)^{T}}$^[2]

Ранговое условие управляемости

Управляемость Gramian включает интеграцию матрицы перехода состояний системы. Более простое условие управляемости — это ранговое условие, аналогичное ранговому условию Калмана для систем, инвариантных во времени.

Рассмотрим линейную систему с непрерывным временем, плавно изменяющуюся в интервале : ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle [t_{0},t]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t).}$

Матрица перехода состояний также гладкая. Введем функцию матрицы nxm и определим ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle M_{0}(t)=\phi (t_{0},t)B(t)}$

${\displaystyle M_{k}(t)}$= . ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d^{k}} M_{0}}{\mathrm {d} t^{k}}}(t),k\geqslant 1}$

Рассмотрим матрицу матричнозначных функций, полученную перечислением всех столбцов , : ${\displaystyle M_{i}}$ ${\displaystyle i=0,1,\ldots ,k}$

${\displaystyle M^{(k)}(t):=\left[M_{0}(t),\ldots ,M_{k}(t)\right]}$.

Если существует a и неотрицательное целое число k, такое что , то является управляемым. ^[3] ${\displaystyle {\bar {t}}\in [t_{0},t]}$ ${\displaystyle \operatorname {rank} M^{(k)}({\bar {t}})=n}$ ${\displaystyle \Sigma }$

Если также аналитически изменяется в интервале , то является управляемой на каждом нетривиальном подинтервале тогда и только тогда, когда существуют и неотрицательное целое число k такие, что . ^[3] ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle [t_{0},t]}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle [t_{0},t]}$ ${\displaystyle {\bar {t}}\in [t_{0},t]}$ ${\displaystyle \operatorname {rank} M^{(k)}(t_{i})=n}$

Вышеуказанные методы все еще могут быть сложными для проверки, поскольку они включают вычисление матрицы перехода состояний . Другое эквивалентное условие определяется следующим образом. Пусть , и для каждого , определяют ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle B_{0}(t)=B(t)}$ ${\displaystyle i\geq 0}$

${\displaystyle B_{i+1}(t)}$= ${\displaystyle A(t)B_{i}(t)-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}B_{i}(t).}$

В этом случае каждый из них получается непосредственно из данных Система управляема, если существует и неотрицательное целое число, такое что . ^[3] ${\displaystyle B_{i}}$ ${\displaystyle (A(t),B(t)).}$ ${\displaystyle {\bar {t}}\in [t_{0},t]}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\textrm {rank}}(\left[B_{0}({\bar {t}}),B_{1}({\bar {t}}),\ldots ,B_{k}({\bar {t}})\right])=n}$

Пример

Рассмотрим систему, аналитически изменяющуюся по матрицам и ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$

${\displaystyle A(t)={\begin{bmatrix}t&1&0\\0&t^{3}&0\\0&0&t^{2}\end{bmatrix}}}$, Тогда и поскольку эта матрица имеет ранг 3, система управляема на каждом нетривиальном интервале . ${\displaystyle B(t)={\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}}.}$ ${\displaystyle [B_{0}(0),B_{1}(0),B_{2}(0),B_{3}(0)]={\begin{bmatrix}0&1&0&-1\\1&0&0&0\\1&0&0&2\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Непрерывные линейные системы, инвариантные во времени (LTI)

Рассмотрим непрерывную линейную стационарную систему

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+D\mathbf {u} (t)}$

где

${\displaystyle \mathbf {x} }$это «вектор состояния», ${\displaystyle n\times 1}$

${\displaystyle \mathbf {y} }$это «выходной вектор», ${\displaystyle m\times 1}$

${\displaystyle \mathbf {u} }$это «входной (или управляющий) вектор», ${\displaystyle r\times 1}$

${\displaystyle A}$это «матрица состояний», ${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle B}$это «входная матрица», ${\displaystyle n\times r}$

${\displaystyle C}$это «выходная матрица», ${\displaystyle m\times n}$

${\displaystyle D}$это «матрица прямой связи». ${\displaystyle m\times r}$

Матрица управляемости определяется как ${\displaystyle n\times nr}$

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}B&AB&A^{2}B&...&A^{n-1}B\end{bmatrix}}}$

Система управляема, если матрица управляемости имеет полный ранг строки (т.е. ). ${\displaystyle \operatorname {rank} (R)=n}$

Дискретные линейные стационарные системы (LTI)

Для дискретной по времени линейной системы состояний в пространстве (т.е. переменной времени ) уравнение состояния имеет вид ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle {\textbf {x}}(k+1)=A{\textbf {x}}(k)+B{\textbf {u}}(k)}$

где — матрица, а — матрица (т.е. входные данные собраны в вектор). Тест на управляемость заключается в том, что матрица ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle n\times r}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r\times 1}$ ${\displaystyle n\times nr}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}={\begin{bmatrix}B&AB&A^{2}B&\cdots &A^{n-1}B\end{bmatrix}}}$

имеет полный ранг строки (т.е. ). То есть, если система управляема, будет иметь столбцы, которые линейно независимы ; если столбцы линейно независимы , каждое из состояний достижимо путем подачи в систему соответствующих входных данных через переменную . ${\displaystyle \operatorname {rank} ({\mathcal {C}})=n}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle u(k)}$

Вывод

При заданном состоянии в начальный момент времени, произвольно обозначенном как k = 0, уравнение состояния дает и так далее с повторными обратными подстановками переменной состояния, в конечном итоге получая ${\displaystyle {\textbf {x}}(0)}$ ${\displaystyle {\textbf {x}}(1)=A{\textbf {x}}(0)+B{\textbf {u}}(0),}$ ${\displaystyle {\textbf {x}}(2)=A{\textbf {x}}(1)+B{\textbf {u}}(1)=A^{2}{\textbf {x}}(0)+AB{\textbf {u}}(0)+B{\textbf {u}}(1),}$

${\displaystyle {\textbf {x}}(n)=B{\textbf {u}}(n-1)+AB{\textbf {u}}(n-2)+\cdots +A^{n-1}B{\textbf {u}}(0)+A^{n}{\textbf {x}}(0)}$

или эквивалентно

${\displaystyle {\textbf {x}}(n)-A^{n}{\textbf {x}}(0)=[B\,\,AB\,\,\cdots \,\,A^{n-1}B][{\textbf {u}}^{T}(n-1)\,\,{\textbf {u}}^{T}(n-2)\,\,\cdots \,\,{\textbf {u}}^{T}(0)]^{T}.}$

Применяя любое желаемое значение вектора состояния с левой стороны, эту задачу всегда можно решить для сложенного вектора векторов управления тогда и только тогда, когда матрица матриц в начале правой стороны имеет полный ранг строки. ${\displaystyle {\textbf {x}}(n)}$

Пример

Например, рассмотрим случай, когда и (т.е. только один управляющий вход). Таким образом, и являются векторами. Если имеет ранг 2 (полный ранг), и поэтому и линейно независимы и охватывают всю плоскость. Если ранг равен 1, то и коллинеарны и не охватывают плоскость. ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle r=1}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle 2\times 1}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}B&AB\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle AB}$

Предположим, что начальное состояние равно нулю.

В то время : ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle x(1)=A{\textbf {x}}(0)+B{\textbf {u}}(0)=B{\textbf {u}}(0)}$

В то время : ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle x(2)=A{\textbf {x}}(1)+B{\textbf {u}}(1)=AB{\textbf {u}}(0)+B{\textbf {u}}(1)}$

В момент времени все достижимые состояния находятся на линии, образованной вектором . В момент времени все достижимые состояния являются линейными комбинациями и . Если система управляема, то эти два вектора могут охватывать всю плоскость и это можно сделать за время . Предположение, что начальное состояние равно нулю, сделано просто для удобства. Очевидно, что если все состояния могут быть достигнуты из начала координат, то любое состояние может быть достигнуто из другого состояния (просто сдвиг в координатах). ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle k=2}$

Этот пример справедлив для всех положительных чисел , но случай проще представить. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=2}$

Аналогия, например,н= 2

Рассмотрим аналогию с предыдущей системой-примером. Вы сидите в машине на бесконечной плоской плоскости и смотрите на север. Цель состоит в том, чтобы достичь любой точки плоскости, проехав расстояние по прямой, полностью остановиться, повернуть и проехать еще одно расстояние, снова по прямой. Если у вашей машины нет рулевого управления, то вы можете ехать только прямо, что означает, что вы можете ехать только по прямой (в данном случае по линии север-юг, поскольку вы начали движение лицом на север). Случай отсутствия рулевого управления будет аналогичен случаю, когда ранг равен 1 (два пройденных вами расстояния находятся на одной прямой). ${\displaystyle C}$

Теперь, если бы у вашего автомобиля было рулевое управление, вы могли бы легко доехать до любой точки плоскости, и это было бы аналогично случаю, когда ранг равен 2. ${\displaystyle C}$

Если изменить этот пример на то аналогия будет полетом в космосе для достижения любой точки в трехмерном пространстве (игнорируя ориентацию самолета ) . Вам разрешено: ${\displaystyle n=3}$

• лететь по прямой
• повернуть влево или вправо на любую величину ( рыскание )
• направить самолет вверх или вниз на любую величину ( тангаж )

Хотя трехмерный случай сложнее визуализировать, концепция управляемости по-прежнему аналогична.

Нелинейные системы

Нелинейные системы в форме аффинного управления

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {f(x)} +\sum _{i=1}^{m}\mathbf {g} _{i}(\mathbf {x} )u_{i}}$

локально доступны, если распределение доступности охватывает пространство, когда равно рангу и R определяется как: ^[4] ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}\mathbf {g} _{1}&\cdots &\mathbf {g} _{m}&[\mathrm {ad} _{\mathbf {g} _{i}}^{k}\mathbf {\mathbf {g} _{j}} ]&\cdots &[\mathrm {ad} _{\mathbf {f} }^{k}\mathbf {\mathbf {g} _{i}} ]\end{bmatrix}}.}$

Здесь — это повторная операция скобок Ли, определяемая формулой ${\displaystyle [\mathrm {ad} _{\mathbf {f} }^{k}\mathbf {\mathbf {g} } ]}$

${\displaystyle [\mathrm {ad} _{\mathbf {f} }^{k}\mathbf {\mathbf {g} } ]={\begin{bmatrix}\mathbf {f} &\cdots &j&\cdots &\mathbf {[\mathbf {f} ,\mathbf {g} ]} \end{bmatrix}}.}$

Матрица управляемости для линейных систем в предыдущем разделе фактически может быть выведена из этого уравнения.

Нулевая управляемость

Если дискретная система управления является нуль-управляемой, это означает, что существует управляемая система такая, что для некоторого начального состояния . Другими словами, это эквивалентно условию, что существует матрица такая, что является нильпотентной. ${\displaystyle u(k)}$ ${\displaystyle x(k_{0})=0}$ ${\displaystyle x(0)=x_{0}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A+BF}$

Это можно легко показать с помощью контролируемо-неконтролируемой декомпозиции.

Управляемость выходного сигнала

Выходная управляемость — это связанное понятие для выхода системы (обозначенное y в предыдущих уравнениях); выходная управляемость описывает способность внешнего входа перемещать выход из любого начального состояния в любое конечное состояние за конечный промежуток времени. Не обязательно, чтобы была какая-либо связь между управляемостью состояния и выходной управляемостью. В частности:

• Управляемая система не обязательно является управляемой по выходу. Например, если матрица D  = 0, а матрица C не имеет полного ранга строки, то некоторые позиции выхода замаскированы ограничивающей структурой выходной матрицы и, следовательно, недостижимы. Более того, даже если система может быть переведена в любое состояние за конечное время, могут быть некоторые выходы, которые недоступны для всех состояний. Тривиальный числовой пример использует D = 0 и матрицу C с по крайней мере одной строкой нулей; таким образом, система не способна производить ненулевой выход по этому измерению.
• Система, контролируемая выходом, не обязательно контролируема состоянием. Например, если размерность пространства состояний больше размерности выхода, то будет набор возможных конфигураций состояний для каждого отдельного выхода. То есть, система может иметь существенную нулевую динамику , которая является траекториями системы, которые не наблюдаются из выхода. Следовательно, возможность приводить выход в определенное положение за конечное время ничего не говорит о конфигурации состояния системы.

Для линейной непрерывной системы, подобной приведенному выше примеру, описываемой матрицами , , , и , матрица управляемости выходного сигнала ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle m\times (n+1)r}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}CB&CAB&CA^{2}B&\cdots &CA^{n-1}B&D\end{bmatrix}}}$

имеет полный ранг строки (т.е. ранг ) тогда и только тогда, когда система управляема по выходу. ^{[1] : 742} ${\displaystyle m}$

Управляемость при входных ограничениях

В системах с ограниченными полномочиями управления часто больше невозможно переместить любое начальное состояние в любое конечное состояние внутри контролируемого подпространства. Это явление вызвано ограничениями на вход, которые могут быть присущи системе (например, из-за насыщения исполнительного механизма) или наложены на систему по другим причинам (например, из-за проблем, связанных с безопасностью). Управляемость систем с ограничениями на вход и состояние изучается в контексте достижимости ^[5] и теории жизнеспособности . ^[6]

Управляемость в поведенческой структуре

В так называемом поведенческом системном теоретическом подходе Виллемса (см. люди в системах и управление ), рассматриваемые модели не определяют напрямую структуру ввода-вывода. В этой структуре системы описываются допустимыми траекториями набора переменных, некоторые из которых могут быть интерпретированы как вводы или выводы.

Система затем определяется как управляемая в этой обстановке, если любая прошлая часть поведения (траектория внешних переменных) может быть связана с любой будущей траекторией поведения таким образом, что связь содержится в поведении, т.е. является частью допустимого поведения системы. ^{[7] : 151}

Стабилизируемость

Немного более слабым понятием, чем управляемость, является понятие стабилизируемости . Система считается стабилизируемой , когда все неконтролируемые переменные состояния могут быть сделаны имеющими стабильную динамику . Таким образом, даже если некоторые переменные состояния не могут контролироваться (как определено тестом управляемости выше), все переменные состояния все равно останутся ограниченными во время поведения системы. ^[8]

Достижимый набор

Пусть T ∈ Т и x ∈ X (где X — множество всех возможных состояний, а Т — интервал времени). Достижимое множество из x за время T определяется как: ^[3]

${\displaystyle R^{T}{(x)}=\left\{z\in X:x{\overset {T}{\rightarrow }}z\right\}}$, где хТ→z обозначает, что существует переход состояния из x в z за время T.

Для автономных систем достижимое множество определяется по формуле:

${\displaystyle \mathrm {Im} (R)=\mathrm {Im} (B)+\mathrm {Im} (AB)+....+\mathrm {Im} (A^{n-1}B)}$,

где R — матрица управляемости.

С точки зрения достижимого множества система управляема тогда и только тогда, когда . ${\displaystyle \mathrm {Im} (R)=\mathbb {R} ^{n}}$

Доказательство Имеем следующие равенства:

${\displaystyle R=[B\ AB....A^{n-1}B]}$

${\displaystyle \mathrm {Im} (R)=\mathrm {Im} ([B\ AB....A^{n-1}B])}$

${\displaystyle \mathrm {dim(Im} (R))=\mathrm {rank} (R)}$

Учитывая, что система управляема, столбцы R должны быть линейно независимы . Итак:

${\displaystyle \mathrm {dim(Im} (R))=n}$

${\displaystyle \mathrm {rank} (R)=n}$

${\displaystyle \mathrm {Im} (R)=\mathbb {R} ^{n}\quad \blacksquare }$

Связанным с достижимым множеством является управляемое множество, определяемое следующим образом:

${\displaystyle C^{T}{(x)}=\left\{z\in X:z{\overset {T}{\rightarrow }}x\right\}}$.

Связь между достижимостью и управляемостью представлена ​​Зонтаг: ^[3]

(а) n-мерная дискретная линейная система управляема тогда и только тогда, когда:

${\displaystyle R(0)=R^{k}{(0)=X}}$ (Где X — набор всех возможных значений или состояний x, а k — временной шаг).

(б) Непрерывная линейная система управляема тогда и только тогда, когда:

${\displaystyle R(0)=R^{e}{(0)=X}}$для всех е>0.

тогда и только тогда, когда для всех e>0. ${\displaystyle C(0)=C^{e}{(0)=X}}$

Пример Пусть система представляет собой n-мерную дискретно-инвариантную во времени систему из формулы:

${\displaystyle \phi (n,0,0,w)=\sum \limits _{i=1}^{n}A^{i-1}Bw(n-1)}$ (Где (конечное время, начальное время, переменная состояния, ограничения) определяется как матрица перехода переменной состояния x от начального времени 0 до конечного времени n с некоторыми ограничениями w). ${\displaystyle \phi }$

Отсюда следует, что будущее состояние находится в тогда и только тогда, когда оно находится в , образе линейного отображения , определяемом как: ${\displaystyle R^{k}{(0)}}$ ${\displaystyle \mathrm {Im} (R)}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle R(A,B)\triangleq [B\ AB....A^{n-1}B]}$,

какие карты,

${\displaystyle u^{n}\mapsto X}$

Когда и мы отождествляем себя с матрицей, столбцы которой расположены в этом порядке. Если система управляема, то ранг равен . Если это так, то изображение линейной карты — это все . Исходя из этого, мы имеем: ${\displaystyle u=K^{m}}$ ${\displaystyle X=K^{n}}$ ${\displaystyle R(A,B)}$ ${\displaystyle n\times nm}$ ${\displaystyle B,\ AB,....,A^{n-1}B}$ ${\displaystyle [B\ AB....A^{n-1}B]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle R(0)=R^{k}{(0)=X}}$с . ${\displaystyle X\in \mathbb {R} ^{n}}$

Смотрите также

• Наблюдаемость
• лемма Хаутуса

Примечания

1. Линейная стационарная система ведет себя так же, но коэффициенты ее постоянны во времени.

Ссылки

1. Кацухико Огата (1997). Современная техника управления (3-е изд.). Верхняя Сэддл-Ривер, Нью-Джерси: Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-227307-7.
2. Брокетт, Роджер В. (1970). Конечномерные линейные системы . John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-10585-5.
3. Эдуардо Д. Зонтаг, Математическая теория управления: детерминированные конечномерные системы.
4. Исидори, Альберто (1989). Нелинейные системы управления , с. 92–3. Спрингер-Верлаг, Лондон. ISBN 3-540-19916-0 . 
5. Клэр Дж. Томлин; Иэн Митчелл; Александр М. Байен; Мико Оиши (2003). «Вычислительные методы проверки гибридных систем» (PDF) . Труды IEEE . 91 (7): 986–1001. CiteSeerX 10.1.1.70.4296 . doi :10.1109/jproc.2003.814621 . Получено 04.03.2012 . 
6. Жан-Пьер Обен (1991). Теория жизнеспособности . Биркхаузер. ISBN 978-0-8176-3571-8.
7. Ян Полдерман; Ян Виллемс (1998). Введение в теорию математических систем: поведенческий подход (1-е изд.). Нью-Йорк: Springer Verlag. ISBN 978-0-387-98266-3.
8. Брайан ДО Андерсон; Джон Б. Мур (1990). Оптимальное управление: линейно-квадратичные методы . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-638560-8.

Внешние ссылки

• Функция MATLAB для проверки управляемости системы Архивировано 10.02.2012 на Wayback Machine
• Функция Mathematica для проверки управляемости системы