корень n-й степени

В математике корень степени n $из$ числа x $—$ это число $r$ (корень), которое при возведении в степень положительного целого числа $n$ дает $x$ : $r^{n}=\underbrace {r\times r\times \dotsb \times r} _{n{\text{ факторы}}}=x.$

Целое число $n$ называется индексом или степенью , а число $x$ , из которого берется корень, — подкоренным выражением. Корень степени 2 называется квадратным корнем , а корень степени 3 — кубическим корнем . Корни более высокой степени обозначаются с помощью порядковых чисел , например, корень четвертой степени , корень двадцатой степени и т. д. Вычисление корня $n-$ й степени называется извлечением корня .

Например, $3$ является квадратным корнем из $9$ , так как $3 \cdot2 = 9$ , и $-3$ также является квадратным корнем из $9$ , так как $(-3) \cdot2 = 9$ .

Корень $n-й$ степени из $x$ записывается как с использованием символа радикала или radix . Квадратный корень обычно записывается без $n$ как просто ⁠ ⁠ . Извлечение корня n- й степени из числа является обратной операцией возведения в степень , ^[1] и может быть записано как дробная экспонента: ${\sqrt[{n}]{x}}$ ${\sqrt {\phantom {x}}}$ ${\sqrt {x}}$

${\sqrt[{n}]{x}}=x^{1/n}.$

Для положительного действительного числа $x$ , обозначает положительный квадратный корень из $x$ , а обозначает положительный действительный корень степени $n$ . Отрицательное действительное число $-$ $x$ не имеет действительных квадратных корней, но когда $x$ рассматривается как комплексное число, оно имеет два мнимых квадратных корня, ⁠ ⁠ и ⁠ ⁠ , где $i$ — мнимая единица . ${\sqrt {x}}$ ${\sqrt[{n}]{x}}$ $+i{\sqrt {x}}$ $-i{\sqrt {x}}$

В общем случае любое ненулевое комплексное число имеет $n$ различных комплексных корней $n-$ й степени, равномерно распределенных по комплексной окружности постоянного абсолютного значения . ( Корень $n$ -й степени из $0$ равен нулю с кратностью $n$ , и эта окружность вырождается в точку.) Таким образом, извлечение корней $n-$ й степени из комплексного числа $x$ можно считать многозначной функцией . По соглашению главное значение этой функции, называемое главным корнем и обозначаемое ⁠ ⁠ ${\sqrt[{n}]{x}}$ , принимается равным корню $n-$ й степени с наибольшей действительной частью, а в особом случае, когда $x$ — отрицательное действительное число, корню с положительной мнимой частью . Главный корень положительного действительного числа, таким образом, также является положительным действительным числом. Как функция , главный корень непрерывен во всей комплексной плоскости , за исключением отрицательной действительной оси.

Неразрешенный корень, особенно тот, который использует символ радикала, иногда называют сурдом [ ^2] или радикалом . ^[3] Любое выражение, содержащее радикал, будь то квадратный корень, кубический корень или корень более высокого порядка, называется радикальным выражением , а если оно не содержит трансцендентных функций или трансцендентных чисел, то оно называется алгебраическим выражением .

Корни используются для определения радиуса сходимости степенного ряда с помощью теста на наличие корня . Корни $n-й$ степени из 1 называются корнями из единицы и играют фундаментальную роль в различных областях математики, таких как теория чисел , теория уравнений и преобразование Фурье .

История

Архаичный термин для операции извлечения n- ных корней — радикализация . ^[4]^[5]

Определение и обозначения

Четыре корня четвертой степени из −1,
ни один из которых не является действительным

Три корня третьей степени из −1,
один из которых является отрицательным действительным числом

Корень $n-й$ степени из числа x , где n — положительное целое число, — это любое из n действительных или комплексных чисел r, степень n которого равна x :

$r^{n}=x.$

Каждое положительное действительное число x имеет один положительный корень степени n , называемый главным корнем степени n , который записывается как . Для n, равного 2, это называется главным квадратным корнем, а n опускается. Корень степени n также может быть представлен с помощью возведения в степень как x ^1/n . ${\sqrt[{n}]{x}}$

Для четных значений n положительные числа также имеют отрицательный корень n- й степени, в то время как отрицательные числа не имеют действительного корня n- й степени. Для нечетных значений n каждое отрицательное число x имеет действительный отрицательный корень n -й степени. Например, −2 имеет действительный корень 5-й степени, но −2 не имеет действительных корней 6-й степени. ${\sqrt[{5}]{-2}}=-1.148698354\ldots$

Каждое ненулевое число x , действительное или комплексное , имеет n различных комплексных корней степени n . (В случае, если x действительно, это число включает все действительные корни степени n .) Единственный комплексный корень из 0 — это 0.

Корни n- й степени почти всех чисел (все целые числа, кроме n -й степени, и все рациональные числа, кроме частных двух n -й степени) являются иррациональными . Например,

${\sqrt {2}}=1.414213562\ldots$

Все корни степени n из рациональных чисел являются алгебраическими числами , и все корни степени n из целых чисел являются алгебраическими целыми числами .

Термин «сурд» восходит к Аль-Хорезми ( ок. 825 г. ), который называл рациональные и иррациональные числа слышимыми и неслышимыми соответственно. Это позже привело к тому, что арабское слово أصم ( asamm , что означает «глухой» или «немой») для иррационального числа было переведено на латынь как surdus (что означает «глухой» или «немой»). Герард Кремонский ( ок. 1150 г. ), Фибоначчи (1202 г.), а затем Роберт Рекорде (1551 г.) использовали этот термин для обозначения неразрешенных иррациональных корней , то есть выражений вида , в которых и являются целыми числами, а все выражение обозначает иррациональное число. ^[6] Иррациональные числа вида , где является рациональным, называются чистыми квадратными сурдами ; иррациональные числа вида , где и являются рациональными, называются смешанными квадратными сурдами . ^[7] ${\sqrt[{n}]{r}}$ $n$ $r$ $\pm {\sqrt {a}},$ $a$ $a\pm {\sqrt {b}}$ $a$ $b$

Квадратные корни

Квадратный корень числа x — это число r , которое при возведении в квадрат становится равным x :

$r^{2}=x.$

Каждое положительное действительное число имеет два квадратных корня, один положительный и один отрицательный. Например, два квадратных корня числа 25 — это 5 и −5. Положительный квадратный корень также известен как главный квадратный корень и обозначается знаком радикала:

${\sqrt {25}}=5.$

Поскольку квадрат каждого действительного числа неотрицателен, отрицательные числа не имеют действительных квадратных корней. Однако для каждого отрицательного действительного числа есть два мнимых квадратных корня. Например, квадратные корни числа −25 равны 5 i и −5 i , где i представляет собой число, квадрат которого равен $-1$ .

Кубические корни

Кубический корень числа x — это число r , куб которого равен x :

$r^{3}=x.$

Каждое действительное число x имеет ровно один действительный кубический корень, записанный . Например, ${\sqrt[{3}]{x}}$

${\begin{aligned}{\sqrt[{3}]{8}}&=2\\{\sqrt[{3}]{-8}}&=-2.\end{aligned}}$

Каждое действительное число имеет два дополнительных комплексных кубических корня.

Идентичность и свойства

Выражение степени корня n- го порядка в экспоненциальной форме, как в , упрощает манипуляции степенями и корнями. Если — неотрицательное действительное число , $x^{1/n}$ $a$

${\sqrt[{n}]{a^{m}}}=(a^{m})^{1/n}=a^{m/n}=(a^{1/n})^{m}=({\sqrt[{n}]{a}})^{m}.$

Каждое неотрицательное число имеет ровно один неотрицательный действительный корень степени n , поэтому правила операций с иррациональными числами, включающими неотрицательные подкоренные выражения , просты в пределах действительных чисел: $a$ $b$

${\begin{aligned}{\sqrt[{n}]{ab}}&={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}\\{\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}&={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}\end{aligned}}$

Тонкости могут возникнуть при извлечении корней n-й степени из отрицательных или комплексных чисел . Например:

${\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}\neq {\sqrt {-1\times -1}}=1,\quad$

но, скорее,

$\quad {\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}=i\times i=i^{2}=-1.$

Поскольку правило строго выполняется только для неотрицательных действительных подкоренных выражений, его применение приводит к неравенству на первом шаге выше. ${\sqrt[{n}]{a}}\times {\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{ab}}$

Упрощенная форма радикального выражения

Говорят, что невложенное радикальное выражение находится в упрощенной форме , если ни один множитель подкоренного выражения не может быть записан в виде степени, большей или равной индексу; внутри знака радикала нет дробей; и в знаменателе нет радикалов. ^[8]

Например, чтобы записать радикальное выражение в упрощенном виде, мы можем поступить следующим образом. Сначала найдем полный квадрат под знаком квадратного корня и удалим его: $\textstyle {\sqrt {32/5}}$

${\sqrt {\frac {32}{5}}}={\sqrt {\frac {16\cdot 2}{5}}}={\sqrt {16}}\cdot {\sqrt {\frac {2}{5}}}=4{\sqrt {\frac {2}{5}}}$

Далее следует дробь под знаком корня, которую мы изменяем следующим образом:

$4{\sqrt {\frac {2}{5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}$

Наконец, убираем радикал из знаменателя следующим образом:

${\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}\cdot {\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {10}}}{5}}={\frac {4}{5}}{\sqrt {10}}$

Когда в знаменателе есть иррациональные дроби, всегда можно найти множитель, на который нужно умножить и числитель, и знаменатель, чтобы упростить выражение. ^[9]^[10] Например, используя разложение суммы двух кубов :

${\frac {1}{{\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{\left({\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}\right)\left({\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}\right)}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{a+b}}.$

Упрощение радикальных выражений, включающих вложенные радикалы, может быть довольно сложным. В частности, денестинг не всегда возможен, а когда он возможен, он может включать расширенную теорию Галуа . Более того, когда полный денестинг невозможен, не существует общей канонической формы, такой, что равенство двух чисел можно проверить, просто посмотрев на их канонические выражения.

Например, не очевидно, что

${\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}=1+{\sqrt {2}}.$

Вышеизложенное можно вывести посредством:

${\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}={\sqrt {1+2{\sqrt {2}}+2}}={\sqrt {1^{2}+2{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}^{2}}}={\sqrt {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2}}}=1+{\sqrt {2}}$

Пусть , где $p$ и $q$ — взаимно простые и положительные целые числа. Тогда является рациональным тогда и только тогда, когда оба числа и являются целыми числами, что означает, что оба числа $p$ и $q$ являются n -ными степенями некоторого целого числа. $r=p/q$ ${\sqrt[{n}]{r}}={\sqrt[{n}]{p}}/{\sqrt[{n}]{q}}$ ${\sqrt[{n}]{p}}$ ${\sqrt[{n}]{q}}$

Бесконечный ряд

Радикал или корень можно представить бесконечным рядом :

$(1+x)^{\frac {s}{t}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\prod _{k=0}^{n-1}(s-kt)}{n!t^{n}}}x^{n}$

с . Это выражение можно вывести из биномиального ряда . $|x|<1$

Вычисление главных корней

Используя метод Ньютона

Корень $n-й$ степени числа $A$ можно вычислить с помощью метода Ньютона , который начинается с начального приближения $x 0$ , а затем повторяется с использованием рекуррентного соотношения

$x_{k+1}=x_{k}-{\frac {x_{k}^{n}-A}{nx_{k}^{n-1}}}$

пока не будет достигнута желаемая точность. Для эффективности вычислений рекуррентное соотношение обычно переписывается

$x_{k+1}={\frac {n-1}{n}}\,x_{k}+{\frac {A}{n}}\,{\frac {1}{x_{k}^{n-1}}}.$

Это позволяет иметь только одно возведение в степень и вычислять один раз для всех первый множитель каждого члена.

Например, чтобы найти пятый корень из 34, мы подставляем $n = 5, A = 34$ и $x 0 = 2$ (начальное предположение). Первые 5 итераций приблизительно таковы:

х 0 = 2

х 1 = 2,025

х 2 = 2,02439 7...

х 3 = 2,02439 7458...

х 4 = 2,02439 74584 99885 04251 08172...

х 5 = 2,02439 74584 99885 04251 08172 45541 93741 91146 21701 07311 8...

(Показаны все правильные цифры.)

Приближение $x 4$ дает точность до 25 знаков после запятой, а $x 5$ — до 51 знака после запятой.

Метод Ньютона можно модифицировать для получения различных обобщенных непрерывных дробей для корня n- й степени. Например,

${\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{x^{n}+y}}=x+{\cfrac {y}{nx^{n-1}+{\cfrac {(n-1)y}{2x+{\cfrac {(n+1)y}{3nx^{n-1}+{\cfrac {(2n-1)y}{2x+{\cfrac {(2n+1)y}{5nx^{n-1}+{\cfrac {(3n-1)y}{2x+\ddots }}}}}}}}}}}}.$

Поразрядное вычисление главных корней десятичных (основание 10) чисел

Треугольник Паскаля, показывающий . $P(4,1)=4$

Основываясь на вычислении квадратного корня по цифре , можно увидеть, что используемая там формула, или , следует шаблону, включающему треугольник Паскаля. Для корня n- го числа , определяемого как значение элемента в строке Треугольника Паскаля, такого что , мы можем переписать выражение как . Для удобства назовем результат этого выражения . Используя это более общее выражение, любой положительный главный корень может быть вычислен по цифре следующим образом. $x(20p+x)\leq c$ $x^{2}+20xp\leq c$ $P(n,i)$ $i$ $n$ $P(4,1)=4$ $\sum _{i=0}^{n-1}10^{i}P(n,i)p^{i}x^{n-i}$ $y$

Запишите исходное число в десятичной форме. Числа записываются аналогично алгоритму деления в столбик , и, как и при делении в столбик, корень будет записан на строке выше. Теперь разделите цифры на группы цифр, равные извлекаемому корню, начиная с десятичной точки и идя как влево, так и вправо. Десятичная точка корня будет находиться над десятичной точкой подкоренного числа. Одна цифра корня будет появляться над каждой группой цифр исходного числа.

Начиная с самой левой группы цифр, выполните следующую процедуру для каждой группы:

Начиная слева, снесите вниз самую значимую (самую левую) группу цифр, которая еще не использовалась (если все цифры были использованы, напишите "0" — количество раз, необходимое для создания группы) и запишите их справа от остатка от предыдущего шага (на первом шаге остатка не будет). Другими словами, умножьте остаток на и добавьте цифры из следующей группы. Это будет текущее значение c . $10^{n}$
Найдите p и x следующим образом:
- Пусть будет частью корня, найденной на данный момент , игнорируя любые десятичную точку. (Для первого шага и ). $p$ $p=0$ $0^{0}=1$
- Определите наибольшую цифру, такую что . $x$ $y\leq c$
- Поместите цифру как следующую цифру корня, т. е. над группой цифр, которые вы только что свели. Таким образом, следующее p будет старым p умноженным на 10 плюс x . $x$
Вычтите из , чтобы получить новый остаток. $y$ $c$
Если остаток равен нулю и больше нет цифр для снесения, то алгоритм завершается. В противном случае возвращаемся к шагу 1 для еще одной итерации.

Примеры

Найдите квадратный корень из 152,2756.

  1 2. 3 4   / \/ 01 52.27 56 (Результаты) (Пояснения)   01 x = 1 10 ⁰ ·1·0 ⁰ · 1 ² + 10 ¹ ·2·0 ¹ · 1 ¹ ≤ 1 < 10 ⁰ ·1·0 ⁰ ·2 ² + 10 ¹ ·2·0 ¹ ·2 ¹ 01 y = 1 y = 10 ⁰ ·1·0 ⁰ ·1 ² + 10 ¹ ·2·0 ¹ ·1 ¹ = 1 + 0 = 1 00 52 x = 2 10 ⁰ ·1·1 ⁰ · 2 ² + 10 ¹ ·2·1 ¹ · 2 ¹ ≤ 52 < 10 ⁰ ·1·1 ⁰ ·3 ² + 10 ¹ ·2·1 ¹ ·3 ¹ 00 44 y = 44 y = 10 ⁰ ·1·1 ⁰ ·2 ² + 10 ¹ ·2·1 ¹ ·2 ¹ = 4 + 40 = 44 08 27 x = 3 10 ⁰ ·1·12 ⁰ · 3 ² + 10 ¹ ·2 · 12 ¹ · 3 ¹ ≤ 827 < 10 ⁰ ·1 · 12 ⁰ ·4 ² + 10 ¹ ·2 · 12 ¹ ·4 ¹ 07 29 y = 729 y = 10 ⁰ ·1·12 ⁰ ·3 ² + 10 ¹ ·2·12 ¹ ·3 ¹ = 9 + 720 = 729 98 56 x = 4 10 ⁰ ·1 · 123 ⁰ · 4 ² + 10 ¹ ·2 · 123 ¹ · 4 ¹ ≤ 9856 < 10 ⁰ ·1 · 123 ⁰ ·5 ² + 10 ¹ ·2·123 ¹ ·5 ¹ 98 56 y = 9856 y = 10 ⁰ ·1 · 123 ⁰ ·4 ² + 10 ¹ ·2 · 123 ¹ ·4 ¹ = 16 + 9840 = 9856 00 00

Алгоритм завершается: ответ 12,34

Найдите кубический корень числа 4192, округленный до тысячных.

  1 6. 1 2 4  3 / \/ 004 192.000 000 000 (Результаты) (Пояснения)   004 x = 1 10 ⁰ ·1·0 ⁰ · 1 ³ + 10 ¹ ·3·0 ¹ · 1 ² + 10 ² ·3·0 ² · 1 ¹ ≤ 4 < 10 ⁰ ·1·0 ⁰ ·2 ³ + 10 ¹ ·3·0 ¹ ·2 ² + 10 ² ·3·0 ² ·2 ¹ 001 y = 1 y = 10 ⁰ ·1·0 ⁰ ·1 ³ + 10 ¹ ·3·0 ¹ ·1 ² + 10 ² ·3·0 ² ·1 ¹ = 1 + 0 + 0 = 1 003 192 x = 6 10 ⁰ ·1 · 1 ⁰ · 6 ³ + 10 ¹ ·3 · 1 ¹ · 6 ² + 10 ² ·3 · 1 ² · 6 ¹ ≤ 3192 < 10 ⁰ ·1 · 1 ⁰ ·7 ³ + 10 ¹ ·3· 1 ¹ ·7 ² + 10 ² ·3 · 1 ² ·7 ¹ 003 096 y = 3096 y = 10 ⁰ ·1 · 1 ⁰ ·6 ³ + 10 ¹ ·3 · 1 ¹ ·6 ² + 10 ² ·3· 1 ² ·6 ¹ = 216 + 1080 + 1800 = 3096 096 000 x = 1 10 ⁰ ·1 · 16 ⁰ · 1 ³ + 10 ¹ · ³ · 16 1 · 1 ² + 10 ² ·3 · 16 ² · 1 ¹ ≤ 96000 < 10 ⁰ ·1 · 16 ⁰ ·2 ³ + 10 ¹ ·3·16 ¹ ·2 ² + 10 ² ·3·16 ² ·2 ¹ 077 281 y = 77281 y = 10 ⁰ ·1 · 16 ⁰ ·1 ³ + 10 ¹·3·16 ¹ ·1 ² + 10 ² ·3·16 ² ·1 ¹ = 1 + 480 + 76 800 = 77 281 018 719 000 x = 2 10 ⁰ ·1·161 ⁰ · 2 ³ + 10 ¹ ·3·161 ¹ · 2 ² + 10 ² ·3·161 ² · 2 ¹ ≤ 18719000 < 10 ⁰ ·1·161 ⁰ ·3 ³ + 10 ¹ ·3·161 ¹ ·3 ² + 10 ² ·3·161 ² ·3 ¹ 015 571 928 y = 15571928 y = 10 ⁰ ·1·161 ⁰ ·2 ³ + 10 ¹ ·3·161 ¹ ·2 ² + 10 ² ·3·161 ² ·2 ¹ = 8 + 19 320 + 15 552 600 = 15 571 928 003 147 072 000 x = 4 10 ^{0 ·}1 · 1612 ⁰ · 4 ³ + 10 ¹ ·3 · 1612 ¹ · 4 ² + 10 ² ·3 · 1612 ² · 4 ¹ ≤ 3147072000 < 10 ⁰ ·1 · 1612 ⁰ ·5 ³ + 10 ¹ ·3·1612 ¹ ·5 ² + 10 ² ·3·1612 ² ·5 ¹

Требуемая точность достигнута. Кубический корень из 4192 равен 16,124...

Логарифмический расчет

Главный корень n-й степени положительного числа можно вычислить с помощью логарифмов . Начиная с уравнения, которое определяет r как корень n-й степени из x , а именно, с положительным x и, следовательно, его главный корень r также положительный, логарифмируем обе стороны ( подойдет любое основание логарифма ), чтобы получить $r^{n}=x,$

$n\log _{b}r=\log _{b}x\quad \quad {\text{hence}}\quad \quad \log _{b}r={\frac {\log _{b}x}{n}}.$

Корень r восстанавливается из этого путем взятия антилогарифма :

$r=b^{{\frac {1}{n}}\log _{b}x}.$

(Примечание: эта формула показывает b, возведенное в степень результата деления, а не b, умноженное на результат деления.)

Для случая, когда x отрицательно, а n нечетно, существует один действительный корень r , который также отрицателен. Его можно найти, сначала умножив обе стороны определяющего уравнения на −1, чтобы получить , затем действуя, как и прежде, чтобы найти | r |, и используя r = −| r | . $|r|^{n}=|x|,$

Геометрическая конструктивность

Древнегреческие математики знали, как использовать циркуль и линейку для построения длины, равной квадратному корню данной длины, когда дана вспомогательная линия единичной длины. В 1837 году Пьер Ванцель доказал, что корень n- й степени данной длины не может быть построен, если n не является степенью 2. ^[11]

Комплексные корни

Каждое комплексное число, отличное от 0, имеет n различных корней n- й степени.

Квадратные корни

Два квадратных корня комплексного числа всегда являются отрицательными друг другу. Например, квадратные корни из $-4$ равны $2 i$ и $-2 i$ , а квадратные корни из $i$ равны

${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1+i)\quad {\text{and}}\quad -{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1+i).$

Если выразить комплексное число в полярной форме , то квадратный корень можно получить, взяв квадратный корень из радиуса и разделив угол пополам:

${\sqrt {re^{i\theta }}}=\pm {\sqrt {r}}\cdot e^{i\theta /2}.$

Главный корень комплексного числа можно выбрать различными способами, например

${\sqrt {re^{i\theta }}}={\sqrt {r}}\cdot e^{i\theta /2}$

что вводит разрез ветви в комплексной плоскости вдоль положительной действительной оси с условием $0 \leq θ < 2 π$ или вдоль отрицательной действительной оси с условием $- π < θ \leq π$ .

Используя первую (последнюю) ветвь, разрезаем главный квадратный корень , отображаемый в полуплоскость с неотрицательной мнимой (действительной) частью. Последняя ветвь разреза предполагается в математическом программном обеспечении, таком как Matlab или Scilab . $\scriptstyle {\sqrt {z}}$ $\scriptstyle z$

Корни единства

Число 1 имеет n различных корней n-й степени в комплексной плоскости, а именно

$1,\;\omega ,\;\omega ^{2},\;\ldots ,\;\omega ^{n-1},$

где

$\omega =e^{\frac {2\pi i}{n}}=\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right).$

Эти корни равномерно распределены по единичной окружности в комплексной плоскости под углами, кратными . Например, квадратные корни из единицы равны 1 и −1, а четвертые корни из единицы равны 1, , −1 и . $2\pi /n$ $i$ $-i$

нкорни th

Каждое комплексное число имеет n различных корней n-й степени в комплексной плоскости. Это

$\eta ,\;\eta \omega ,\;\eta \omega ^{2},\;\ldots ,\;\eta \omega ^{n-1},$

где η — один корень n-й степени, а 1, ω , ω ² , ... ω ^{n −1} — корни n -й степени из единицы. Например, четыре различных корня четвертой степени из 2 равны

${\sqrt[{4}]{2}},\quad i{\sqrt[{4}]{2}},\quad -{\sqrt[{4}]{2}},\quad {\text{and}}\quad -i{\sqrt[{4}]{2}}.$

В полярной форме один корень степени n можно найти по формуле

${\sqrt[{n}]{re^{i\theta }}}={\sqrt[{n}]{r}}\cdot e^{i\theta /n}.$

Здесь r — величина (модуль, также называемый абсолютным значением ) числа, корень которого необходимо извлечь; если число можно записать как a+bi, то . Кроме того, — это угол, образованный при повороте относительно начала координат против часовой стрелки от положительной горизонтальной оси к лучу, идущему от начала координат к числу; он обладает следующими свойствами: и $r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ $\theta$ $\cos \theta =a/r,$ $\sin \theta =b/r,$ $\tan \theta =b/a.$

Таким образом, нахождение корней n-й степени в комплексной плоскости можно разбить на два этапа. Во-первых, величина всех корней n- й степени равна корню n- й степени величины исходного числа. Во-вторых, угол между положительной горизонтальной осью и лучом из начала координат к одному из корней n- й степени равен , где — угол, определяемый таким же образом для числа, корень которого извлекается. Кроме того, все n корней n-й степени находятся под одинаковым углом друг к другу. $\theta /n$ $\theta$

Если n четно, то корни комплексного числа степени n , из которых есть четное число, образуют аддитивные обратные пары, так что если число r ₁ является одним из корней степени n , то r ₂ = – r ₁ является другим. Это происходит потому, что возведение коэффициента последнего –1 в степень n для четного n дает 1: то есть, (– r ₁ ) ⁿ = (–1) ⁿ × r ₁ⁿ = r ₁ⁿ .

Как и в случае с квадратными корнями, приведенная выше формула не определяет непрерывную функцию на всей комплексной плоскости, а вместо этого имеет ветвь в точках, где θ / n имеет разрыв.

Решение многочленов

Когда-то было высказано предположение , что все полиномиальные уравнения могут быть решены алгебраически (то есть, что все корни полинома могут быть выражены в терминах конечного числа радикалов и элементарных операций ). Однако, хотя это верно для полиномов третьей степени ( кубиков ) и полиномов четвертой степени ( квартиков ), теорема Абеля–Руффини (1824) показывает, что это неверно в общем случае, когда степень равна 5 или больше. Например, решения уравнения

$x^{5}=x+1$

не может быть выражено через радикалы. ( ср. уравнение пятой степени )

Доказательство иррациональности для несовершенногонth мощностьх

Предположим, что рационально. То есть, его можно свести к дроби , где $a$ и $b$ — целые числа без общего множителя. ${\sqrt[{n}]{x}}$ ${\frac {a}{b}}$

Это означает, что . $x={\frac {a^{n}}{b^{n}}}$

Так как x — целое число, и должно иметь общий множитель, если . Это означает, что если , не находится в простейшей форме. Таким образом, b должно быть равно 1. $a^{n}$ $b^{n}$ $b\neq 1$ $b\neq 1$ ${\frac {a^{n}}{b^{n}}}$

Так как и , . $1^{n}=1$ ${\frac {n}{1}}=n$ ${\frac {a^{n}}{b^{n}}}=a^{n}$

Это означает, что и, таким образом, . Это подразумевает, что — целое число. Поскольку $x$ не является совершенной степенью $n$ , это невозможно. Таким образом, — иррационально. $x=a^{n}$ ${\sqrt[{n}]{x}}=a$ ${\sqrt[{n}]{x}}$ ${\sqrt[{n}]{x}}$

Смотрите также

Ссылки

^ "Lesson Explainer: nth Roots: Integers" . Получено 22 июля 2023 г. .
^ Бансал, РК (2006). Новый подход к математике CBSE IX. Laxmi Publications. стр. 25. ISBN 978-81-318-0013-3.
^ Сильвер, Говард А. (1986). Алгебра и тригонометрия . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-021270-2.
^ «Определение РАДИКАЦИИ». www.merriam-webster.com .
^ "радикация – Определение радикализации на английском языке по Оксфордским словарям". Оксфордские словари . Архивировано из оригинала 3 апреля 2018 г.
^ Миллер, Джефф. "Самые ранние известные применения некоторых слов математики". Страницы математики . Получено 2008-11-30 .
^ Харди, Г. Х. (1921). Курс чистой математики (3-е изд.). Кембридж. §1.13 «Квадратичные сурды» – §1.14, стр. 19–23.
^ Маккиг, Чарльз П. (2011). Элементарная алгебра. Cengage Learning. стр. 470. ISBN 978-0-8400-6421-9.
^ Кавинесс, Б. Ф.; Фейтман, Р. Дж. "Упрощение радикальных выражений" (PDF) . Труды симпозиума ACM 1976 года по символическим и алгебраическим вычислениям . стр. 329.
^ Ричард, Зиппель (1985). «Упрощение выражений, включающих радикалы». Журнал символических вычислений . 1 (189–210): 189–210. doi :10.1016/S0747-7171(85)80014-6.
^ Ванцель, ML (1837). «Исследования моих разведчиков и проблем геометрии могут быть найдены с правилами и компасами». Журнал Mathématiques Pures et Appliquées . 1 (2): 366–372.

Внешние ссылки

Найдите значение слова сурд в Викисловаре, бесплатном словаре.

Найдите значение слова «радикал» в Викисловаре, бесплатном словаре.