Уравнение Толмена–Оппенгеймера–Волкова

Уравнение, объясняющее структуру сферического тела из изотропного материала

В астрофизике уравнение Толмена -Оппенгеймера-Волкова ( TOV ) ограничивает структуру сферически симметричного тела изотропного материала, находящегося в статическом гравитационном равновесии, как моделируется общей теорией относительности . Уравнение ^[1] имеет вид

${\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-{\frac {Gm}{r^{2}}}\rho \left(1+{\frac {P}{\rho c^{2}}}\right)\left(1+{\frac {4\pi r^{3}P}{mc^{2}}}\right)\left(1-{\frac {2Gm}{rc^{2}}}\right)^{-1}}$

Здесь — радиальная координата, а и — плотность и давление соответственно материала в радиусе . Величина , полная масса в пределах , обсуждается ниже. ${\textstyle r}$ ${\textstyle \rho (r)}$ ${\textstyle P(r)}$ ${\textstyle r}$ ${\textstyle m(r)}$ ${\textstyle r}$

Уравнение выводится путем решения уравнений Эйнштейна для общей инвариантной во времени сферически симметричной метрики. Для решения уравнения Толмена–Оппенгеймера–Волкова эта метрика примет вид ^[1]

${\displaystyle ds^{2}=e^{\nu }c^{2}\,dt^{2}-\left(1-{\frac {2Gm}{rc^{2}}}\right)^{-1}\,dr^{2}-r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right)}$

где определяется ограничением ^[1] ${\textstyle \nu (r)}$

${\displaystyle {\frac {d\nu }{dr}}=-\left({\frac {2}{P+\rho c^{2}}}\right){\frac {dP}{dr}}}$

При дополнении уравнением состояния , , связывающим плотность с давлением, уравнение Толмена–Оппенгеймера–Волкова полностью определяет структуру сферически симметричного тела изотропного материала в равновесии. Если пренебречь членами порядка, уравнение Толмена–Оппенгеймера–Волкова становится ньютоновским гидростатическим уравнением , используемым для нахождения равновесной структуры сферически симметричного тела изотропного материала, когда поправки общей теории относительности не важны. ${\textstyle F(\rho ,P)=0}$ ${\textstyle 1/c^{2}}$

Если уравнение используется для моделирования ограниченной сферы материала в вакууме, то на границе должны быть наложены условие нулевого давления и условие . Второе граничное условие накладывается так, чтобы метрика на границе была непрерывной с единственным статическим сферически симметричным решением уравнений вакуумного поля , метрикой Шварцшильда : ${\textstyle P(r)=0}$ ${\textstyle e^{\nu }=1-2Gm/c^{2}r}$

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)c^{2}\,dt^{2}-\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)^{-1}\,dr^{2}-r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2})}$

Общая масса

${\textstyle m(r)}$это общая масса, содержащаяся внутри радиуса , измеренная гравитационным полем, ощущаемым удаленным наблюдателем. Она удовлетворяет . ^[1] ${\textstyle r}$ ${\textstyle m(0)=0}$

${\displaystyle {\frac {dm}{dr}}=4\pi r^{2}\rho }$

Здесь, — полная масса объекта, опять же, измеренная гравитационным полем, ощущаемым удаленным наблюдателем. Если граница находится в , непрерывность метрики и определение требуют, чтобы ${\textstyle M}$ ${\textstyle r=R}$ ${\textstyle m(r)}$

${\displaystyle M=m(R)=\int _{0}^{R}4\pi r^{2}\rho \,dr}$

С другой стороны, вычисление массы путем интегрирования плотности объекта по его объему даст большее значение.

${\displaystyle M_{1}=\int _{0}^{R}{\frac {4\pi r^{2}\rho }{\sqrt {1-{\frac {2Gm}{rc^{2}}}}}}\,dr}$

Разница между этими двумя величинами,

${\displaystyle \delta M=\int _{0}^{R}4\pi r^{2}\rho \left(1-{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {2Gm}{rc^{2}}}}}}\right)\,dr}$

будет равна гравитационной энергии связи объекта, деленной на и она отрицательна. ${\textstyle c^{2}}$

Вывод из общей теории относительности

Предположим, что есть статическая, сферически симметричная идеальная жидкость. Метрические компоненты аналогичны компонентам метрики Шварцшильда : ^[2]

${\displaystyle c^{2}\,d\tau ^{2}=g_{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }=e^{\nu }c^{2}\,dt^{2}-e^{\lambda }\,dr^{2}-r^{2}\,d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}}$

В предположении идеальной жидкости тензор энергии-напряжения является диагональным (в центральной сферической системе координат) с собственными значениями плотности энергии и давления:

${\displaystyle T_{0}^{0}=\rho c^{2}}$

и

${\displaystyle T_{i}^{j}=-P\delta _{i}^{j}}$

Где - плотность жидкости, - давление жидкости. ${\textstyle \rho (r)}$ ${\textstyle P(r)}$

Для дальнейшего решения решим уравнения поля Эйнштейна:

${\displaystyle {\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }=G_{\mu \nu }}$

Давайте сначала рассмотрим компонент: ${\textstyle G_{00}}$

${\displaystyle {\frac {8\pi G}{c^{4}}}\rho c^{2}e^{\nu }={\frac {e^{\nu }}{r^{2}}}\left(1-{\frac {d}{dr}}[re^{-\lambda }]\right)}$

Интегрируя это выражение от 0 до , получаем ${\textstyle r}$

${\displaystyle e^{-\lambda }=1-{\frac {2Gm}{rc^{2}}}}$

где определено в предыдущем разделе. ${\textstyle m(r)}$

Далее рассмотрим компонент. Явно, мы имеем ${\textstyle G_{11}}$

${\displaystyle -{\frac {8\pi G}{c^{4}}}Pe^{\lambda }={\frac {-r\nu '+e^{\lambda }-1}{r^{2}}}}$

что мы можем упростить (используя наше выражение для ) до ${\textstyle e^{\lambda }}$

${\displaystyle {\frac {d\nu }{dr}}={\frac {1}{r}}\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)^{-1}\left({\frac {2Gm}{c^{2}r}}+{\frac {8\pi G}{c^{4}}}r^{2}P\right)}$

Мы получаем второе уравнение, требуя непрерывности тензора энергии-напряжения: . Замечая, что (поскольку конфигурация предполагается статической) и что (поскольку конфигурация также изотропна), мы получаем, в частности, ${\textstyle \nabla _{\mu }T_{\,\nu }^{\mu }=0}$ ${\textstyle \partial _{t}\rho =\partial _{t}P=0}$ ${\textstyle \partial _{\phi }P=\partial _{\theta }P=0}$

${\displaystyle 0=\nabla _{\mu }T_{1}^{\mu }=-{\frac {dP}{dr}}-{\frac {1}{2}}\left(P+\rho c^{2}\right){\frac {d\nu }{dr}}\;}$

Перестановка членов дает: ^[3]

${\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-\left({\frac {\rho c^{2}+P}{2}}\right){\frac {d\nu }{dr}}\;}$

Это дает нам два выражения, оба содержащие . Исключая , получаем: ${\textstyle d\nu /dr}$ ${\textstyle d\nu /dr}$

${\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-{\frac {1}{r}}\left({\frac {\rho c^{2}+P}{2}}\right)\left({\frac {2Gm}{c^{2}r}}+{\frac {8\pi G}{c^{4}}}r^{2}P\right)\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)^{-1}}$

Вытаскивая множитель и переставляя множители 2, получаем уравнение Толмена–Оппенгеймера–Волкова: ${\textstyle G/r}$ ${\textstyle c^{2}}$

История

Ричард К. Толман проанализировал сферически симметричные метрики в 1934 и 1939 годах. ^{[4] [5]} Форма уравнения, приведенная здесь, была выведена Дж. Робертом Оппенгеймером и Джорджем Волковым в их статье 1939 года «О массивных нейтронных ядрах». ^[1] В этой статье уравнение состояния для вырожденного ферми-газа нейтронов использовалось для расчета верхнего предела ~0,7  солнечных масс для гравитационной массы нейтронной звезды . Поскольку это уравнение состояния нереалистично для нейтронной звезды, эта предельная масса также неверна. Используя наблюдения гравитационных волн от слияний двойных нейтронных звезд (например, GW170817 ) и последующую информацию из электромагнитного излучения ( kilonova ), данные предполагают, что максимальный предел массы близок к 2,17 солнечных масс . ^{[6] [7] [8] [9] [10]} Более ранние оценки этого предела варьировались от 1,5 до 3,0 солнечных масс. ^[11]

Постньютоновское приближение

В постньютоновском приближении , т.е. гравитационном поле, которое немного отклоняется от ньютоновского поля , уравнение можно разложить по степеням . Другими словами, имеем ${\textstyle 1/c^{2}}$

${\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-{\frac {Gm}{r^{2}}}\rho \left(1+{\frac {P}{\rho c^{2}}}+{\frac {4\pi r^{3}P}{mc^{2}}}+{\frac {2Gm}{rc^{2}}}\right)+O(c^{-4}).}$

Смотрите также

• Физический портал

• Уравнение белого карлика Чандрасекара
• Уравнение гидростатики
• Предел Толмана – Оппенгеймера – Волкова
• Решения уравнений поля Эйнштейна
• Статическая сферически симметричная идеальная жидкость

Ссылки

1. Оппенгеймер, Дж. Р.; Волков, Г. М. (1939). «О массивных нейтронных ядрах». Physical Review . 55 (4): 374–381. Bibcode :1939PhRv...55..374O. doi :10.1103/PhysRev.55.374.
2. Мизнер, Чарльз В.; Торн, Кип С.; Уилер, Джон Арчибальд (2017). «Координаты и метрика для статической сферической системы». Гравитация . Princeton University Press. стр. 594–595. ISBN 978-0-691-17779-3.
3. Толмен, Р. К. (1934). Относительная термодинамика и космология . Oxford Press. С. 243–244.
4. Толман, RC (1934). "Влияние неоднородности на космологические модели" (PDF) . Труды Национальной академии наук . 20 (3): 169–176. Bibcode :1934PNAS...20..169T. doi : 10.1073/pnas.20.3.169 . PMC 1076370 . PMID  16587869. 
5. Толман, RC (1939). "Статические решения уравнений поля Эйнштейна для сфер жидкости" (PDF) . Physical Review . 55 (4): 364–373. Bibcode : 1939PhRv...55..364T. doi : 10.1103/PhysRev.55.364.
6. Маргалит, Б.; Мецгер, Б.Д. (2017-12-01). «Ограничение максимальной массы нейтронных звезд по многоканальным наблюдениям GW170817». The Astrophysical Journal . 850 (2): L19. arXiv : 1710.05938 . Bibcode :2017ApJ...850L..19M. doi : 10.3847/2041-8213/aa991c . S2CID  119342447.
7. Шибата, М.; Фудзибаяси, С.; Хотокезака, К.; Киучи, К.; Кютоку, К.; Секигучи, Й.; Танака, М. (2017-12-22). "Моделирование GW170817 на основе численной теории относительности и его последствия". Physical Review D. 96 ( 12): 123012. arXiv : 1710.07579 . Bibcode : 2017PhRvD..96l3012S. doi : 10.1103/PhysRevD.96.123012. S2CID  119206732.
8. Руис, М.; Шапиро, С.Л.; Цокарос, А. (2018-01-11). "GW170817, общее релятивистское магнитогидродинамическое моделирование и максимальная масса нейтронной звезды". Physical Review D. 97 ( 2): 021501. arXiv : 1711.00473 . Bibcode : 2018PhRvD..97b1501R. doi : 10.1103/PhysRevD.97.021501. PMC 6036631. PMID 30003183  . 
9. Rezzolla, L.; Most, ER; Weih, LR (2018-01-09). «Использование наблюдений гравитационных волн и квазиуниверсальных отношений для ограничения максимальной массы нейтронных звезд». Astrophysical Journal . 852 (2): L25. arXiv : 1711.00314 . Bibcode :2018ApJ...852L..25R. doi : 10.3847/2041-8213/aaa401 . S2CID  119359694.
10. «Насколько массивной может быть нейтронная звезда?». Университет Гёте во Франкфурте . 15 января 2018 г. Получено 19 февраля 2018 г.
11. Бомбачи, И. (1996). «Максимальная масса нейтронной звезды». Астрономия и астрофизика . 305 : 871–877. Bibcode : 1996A&A...305..871B.