Уравнения Эйлера (динамика твердого тела)

Квазилинейное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка

В классической механике уравнения вращения Эйлера представляют собой векторное квазилинейное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка , описывающее вращение твердого тела с использованием вращающейся системы отсчета с угловой скоростью ω, оси которой неподвижны к телу. Их общая векторная форма:

${\displaystyle \mathbf {I} {\dot {\boldsymbol {\omega }}}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }}\right)=\mathbf {M} .}$

где M — приложенные крутящие моменты , а I — матрица инерции . Вектор — это угловое ускорение . Еще раз обратите внимание, что все величины определяются во вращающейся системе отсчета. ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\omega }}}}$

В ортогональных главных осях координат инерции уравнения принимают вид

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}\,{\dot {\omega }}_{1}+(I_{3}-I_{2})\,\omega _{2}\,\omega _{3}&=M_{1}\\I_{2}\,{\dot {\omega }}_{2}+(I_{1}-I_{3})\,\omega _{3}\,\omega _{1}&=M_{2}\\I_{3}\,{\dot {\omega }}_{3}+(I_{2}-I_{1})\,\omega _{1}\,\omega _{2}&=M_{3}\end{aligned}}}$

где M _k — компоненты приложенных моментов, I _k — главные моменты инерции и ω _k — компоненты угловой скорости.

В отсутствие приложенных моментов получается волчок Эйлера . Когда крутящие моменты возникают под действием силы тяжести , существуют особые случаи, когда движение волчка интегрируемо .

Вывод

В инерциальной системе отсчета (с индексом «in») второй закон Эйлера гласит, что производная по времени углового момента L равна приложенному крутящему моменту :

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} _{\text{in}}}{dt}}=\mathbf {M} _{\text{in}}}$

Для точечных частиц, у которых внутренние силы являются центральными , это можно вывести с помощью второго закона Ньютона . Для твердого тела связь между угловым моментом и моментом инерции I _{определяется} как

${\displaystyle \mathbf {L} _{\text{in}}=\mathbf {I} _{\text{in}}{\boldsymbol {\omega }}}$

В инерциальной системе дифференциальное уравнение не всегда помогает при решении задачи движения обычного вращающегося твердого тела, поскольку и I _in , и ω могут меняться во время движения. Вместо этого можно перейти к системе координат, закрепленной во вращающемся теле, в которой тензор момента инерции постоянен. При использовании такой системы отсчета, как система в центре масс, положение системы выпадает из уравнений. В любой вращающейся системе отсчета производную по времени необходимо заменить так, чтобы уравнение приняло вид

${\displaystyle \left({\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\right)_{\mathrm {rot} }+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {L} =\mathbf {M} }$

и таким образом возникает векторное произведение, см. производную по времени во вращающейся системе отсчета . Векторные компоненты крутящего момента в инерциальной и вращающейся системах отсчета связаны соотношением где – тензор вращения (не матрица вращения ), ортогональный тензор , связанный с вектором угловой скорости соотношением для любого вектора u . Теперь подставляем и принимаем производные по времени во вращающейся системе отсчета, при этом понимая, что положения частиц и тензор инерции не зависят от времени. Это приводит к общей векторной форме уравнений Эйлера, которые справедливы в такой системе отсчета. ${\displaystyle \mathbf {M} _{\text{in}}=\mathbf {Q} \mathbf {M} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {u}}={\dot {\mathbf {Q} }}\mathbf {Q} ^{-1}{\boldsymbol {u}}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }}}$

${\displaystyle \mathbf {I} {\dot {\boldsymbol {\omega }}}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }}\right)=\mathbf {M} .}$

Уравнения также получены из законов Ньютона при обсуждении результирующего крутящего момента .

В более общем смысле, согласно правилам тензорного преобразования, любой тензор ранга 2 имеет такую ​​производную по времени , что для любого вектора она имеет . Это дает уравнения Эйлера путем подстановки ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \mathbf {\dot {T}} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {\dot {T}} \mathbf {u} ={\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {T} \mathbf {u} )-\mathbf {T} ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {u} )}$ ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }}\right)=\mathbf {M} .}$

Форма главных осей

При выборе рамки так, чтобы ее оси совпадали с главными осями тензора инерции, матрица ее компонентов является диагональной, что еще больше упрощает расчеты. Как описано в статье о моменте инерции , угловой момент L можно записать

${\displaystyle \mathbf {L} =L_{1}\mathbf {e} _{1}+L_{2}\mathbf {e} _{2}+L_{3}\mathbf {e} _{3}=\sum _{i=1}^{3}I_{i}\omega _{i}\mathbf {e} _{i}}$

Также в некоторых системах, не привязанных к телу, можно получить такие простые (диагональные тензорные) уравнения для скорости изменения момента импульса. Тогда ω должна быть угловой скоростью вращения осей этой системы, а не вращения тела. Однако по-прежнему требуется, чтобы выбранные оси оставались главными осями инерции. Полученная форма уравнений вращения Эйлера полезна для вращательно-симметричных объектов, которые позволяют свободно выбирать некоторые из главных осей вращения.

Решения для особых случаев

Прецессии без крутящего момента

Прецессии без крутящего момента являются нетривиальным решением ситуации, когда крутящий момент в правой части равен нулю. Когда I не является постоянным во внешней системе отсчета (т. е. тело движется и его тензор инерции не является постоянно диагональным), тогда меня нельзя протянуть через оператор производной , действующий на L . В этом случае I ( t ) и ω ( t ) изменяются вместе таким образом, что производная их произведения по-прежнему равна нулю. Это движение можно представить с помощью конструкции Пуансо .

Обобщенные уравнения Эйлера

Уравнения Эйлера можно обобщить на любую простую алгебру Ли . ^[1] Исходные уравнения Эйлера возникают в результате фиксации алгебры Ли как , с генераторами, удовлетворяющими соотношению . Тогда если (где — временная координата, не путать с базисными векторами ) — -значная функция времени и (относительно базиса алгебры Ли), то (незатянутые) исходные уравнения Эйлера можно записать ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle {t_{1},t_{2},t_{3}}}$ ${\displaystyle [t_{a},t_{b}]=\epsilon _{abc}t_{k}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}(t)=\sum _{a}\omega _{a}(t)t_{a}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t_{a}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle \mathbf {I} =\mathrm {diag} (I_{1},I_{2},I_{3})}$

$${\displaystyle \mathbf {I} {\dot {\boldsymbol {\omega }}}=[\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }},{\boldsymbol {\omega }}].}$$

инвариантной билинейной формы ${\displaystyle \mathbf {I} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Это также можно рассматривать как формулировку обобщенных уравнений Эйлера парами Лакса , что предполагает их интегрируемость.

Смотрите также

• углы Эйлера
• Эффект Джанибекова
• Момент инерции
• Эллипсоид Пуансо
• Жесткий ротор

Рекомендации

1. Хитчин, Найджел Дж.; Сигал, Грэм Б.; Уорд, Ричард С.; Сигал, Великобритания; Уорд, РС (2011). Интегрируемые системы: твисторы, группы петель и римановы поверхности; на основе лекций, прочитанных на конференции по интегрируемым системам, организованной Н. М. Дж. Вудхаусом и состоявшейся в Математическом институте Оксфордского университета в сентябре 1997 года . Оксфорд: Кларендон Пресс. п. 65. ИСБН 9780198504214.

• CA Truesdell, III (1991) Первый курс рациональной механики сплошной среды. Том. Т. 1: Общие понятия , 2-е изд., Академическое издательство. ISBN 0-12-701300-8 . Секты. И.8-10. 
• К. А. Трусделл, III и Р. А. Тупен (1960) Классические теории поля , в С. Флюгге (ред.) Энциклопедия физики. Том. III/1: Принципы классической механики и теории поля , Springer-Verlag. Секты. 166–168, 196–197 и 294.
• Ландау Л.Д. и Лифшиц Е.М. (1976) Механика , 3-е. изд., Пергамон Пресс. ISBN 0-08-021022-8 (твердый переплет) и ISBN 0-08-029141-4 (мягкий переплет).  
• Гольдштейн Х. (1980) Классическая механика , 2-е изд., Аддисон-Уэсли. ISBN 0-201-02918-9 
• Саймон КР. (1971) Механика , 3-я. изд., Аддисон-Уэсли. ISBN 0-201-07392-7