Стабильность БИБО

Когда выходы системы ограничены для каждого ограниченного входа

В обработке сигналов , в частности в теории управления , устойчивость с ограниченным входом и ограниченным выходом ( BIBO ) является формой устойчивости для сигналов и систем , которые принимают входные данные. Если система устойчива по BIBO, то выход будет ограничен для каждого входного сигнала в системе, который ограничен.

Сигнал ограничен, если существует конечное значение, такое, что величина сигнала никогда не превышает , то есть ${\displaystyle B>0}$ ${\displaystyle B}$

Для дискретных по времени сигналов: ${\displaystyle \exists B\forall n(\ |y[n]|\leq B)\quad n\in \mathbb {Z} }$

Для непрерывных по времени сигналов: ${\displaystyle \exists B\forall t(\ |y(t)|\leq B)\quad t\in \mathbb {R} }$

Условие временной области для линейных систем, инвариантных во времени

Необходимое и достаточное условие непрерывности во времени

Для непрерывной линейной во времени инвариантной во времени (LTI) системы условием устойчивости BIBO является то, что импульсная характеристика , , должна быть абсолютно интегрируемой , т.е. ее норма L 1 существует. ${\displaystyle h(t)}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)\right|\,{\mathord {\operatorname {d} }}t=\|h\|_{1}\in \mathbb {R} }$

Достаточное условие дискретного времени

Для дискретной по времени системы LTI условием устойчивости BIBO является то, что импульсная характеристика должна быть абсолютно суммируемой , т. е. ее норма должна существовать. ${\displaystyle \ell ^{1}}$

${\displaystyle \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }|h[n]|=\|h\|_{1}\in \mathbb {R} }$

Доказательство достаточности

Для дискретной по времени системы LTI с импульсной характеристикой соотношение между входом и выходом имеет вид ${\displaystyle \ h[n]}$ ${\displaystyle \ x[n]}$ ${\displaystyle \ y[n]}$

${\displaystyle \ y[n]=h[n]*x[n]}$

где обозначает свертку . Тогда по определению свертки следует ${\displaystyle *}$

${\displaystyle \ y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h[k]x[n-k]}$

Пусть будет максимальным значением , т.е. -нормой . ${\displaystyle \|x\|_{\infty }}$ ${\displaystyle \ |x[n]|}$ ${\displaystyle L_{\infty }}$

${\displaystyle \left|y[n]\right|=\left|\sum _{k=-\infty }^{\infty }h[n-k]x[k]\right|}$

${\displaystyle \leq \sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|h[n-k]\right|\left|x[k]\right|}$(по неравенству треугольника )

${\displaystyle {\begin{aligned}&\leq \sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|h[n-k]\right|\|x\|_{\infty }\\&=\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|h[n-k]\right|\\&=\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|h[k]\right|\end{aligned}}}$

Если абсолютно суммируемо, то и ${\displaystyle h[n]}$ ${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}=\|h\|_{1}\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|h[k]\right|=\|x\|_{\infty }\|h\|_{1}}$

Итак, если абсолютно суммируемо и ограничено, то также ограничено, поскольку . ${\displaystyle h[n]}$ ${\displaystyle \left|x[n]\right|}$ ${\displaystyle \left|y[n]\right|}$ ${\displaystyle \|x\|_{\infty }\|h\|_{1}\in \mathbb {R} }$

Доказательство для непрерывного времени следует тем же аргументам.

Условие частотной области для линейных систем, инвариантных во времени

Непрерывные сигналы

Для рациональной и непрерывной во времени системы условием устойчивости является то, что область сходимости (ROC) преобразования Лапласа включает мнимую ось . Когда система является причинной , ROC представляет собой открытую область справа от вертикальной линии, абсцисса которой является действительной частью «наибольшего полюса» или полюса , который имеет наибольшую действительную часть любого полюса в системе. Действительная часть наибольшего полюса, определяющая ROC, называется абсциссой сходимости . Следовательно, все полюса системы должны находиться в строго левой половине s-плоскости для устойчивости BIBO.

Это условие устойчивости можно вывести из приведенного выше условия временной области следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)\right|\,dt&=\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)\right|\left|e^{-j\omega t}\right|\,dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)(1\cdot e)^{-j\omega t}\right|\,dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)(e^{\sigma +j\omega })^{-t}\right|\,dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)e^{-st}\right|\,dt\end{aligned}}}$

где и ${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)=\sigma =0.}$

Следовательно, область сходимости должна включать мнимую ось .

Дискретные сигналы времени

Для рациональной и дискретной системы времени условием устойчивости является то, что область сходимости (ROC) z-преобразования включает единичную окружность . Когда система является причинной , ROC является открытой областью вне окружности, радиус которой равен величине полюса с наибольшей величиной. Следовательно, все полюса системы должны находиться внутри единичной окружности в z-плоскости для устойчивости BIBO.

Это условие устойчивости можно вывести аналогично выводу для непрерывного времени:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[n]\right|&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[n]\right|\left|e^{-j\omega n}\right|\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[n](1\cdot e)^{-j\omega n}\right|\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[n](re^{j\omega })^{-n}\right|\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[n]z^{-n}\right|\end{aligned}}}$

где и . ${\displaystyle z=re^{j\omega }}$ ${\displaystyle r=|z|=1}$

Следовательно, область сходимости должна включать единичную окружность .

Смотрите также

• Теория системы LTI
• Фильтр с конечной импульсной характеристикой (КИХ)
• Фильтр с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ)
• График Найквиста
• Критерий устойчивости Рауса-Гурвица
• Участок Боде
• Запас по фазе
• Метод корневого локуса
• Стабильность входного состояния

Дальнейшее чтение

• Гордон Э. Карлсон Анализ сигналов и линейных систем с помощью Matlab, второе издание, Wiley, 1998, ISBN  0-471-12465-6
• Джон Г. Проакис и Димитрис Г. Манолакис Принципы цифровой обработки сигналов, алгоритмы и приложения , третье издание, Prentice Hall, 1996, ISBN 0-13-373762-4 
• Д. Рональд Фаннин, Уильям Х. Трантер и Роджер Э. Цимер Сигналы и системы, непрерывные и дискретные, четвертое издание, Prentice Hall, 1998, ISBN 0-13-496456-X 
• Доказательство необходимых условий устойчивости BIBO.
• Кристоф Бассо Проектирование контуров управления для линейных и импульсных источников питания: учебное руководство , первое издание, Artech House, 2012, 978-1608075577
• Майкл Ансер (2020). «Заметка о стабильности BIBO». Труды IEEE по обработке сигналов . 68 : 5904–5913. arXiv : 2005.14428 . Bibcode : 2020ITSP...68.5904U. doi : 10.1109/TSP.2020.3025029.

Ссылки