Интерферометр Фабри–Перо

Оптическое устройство с параллельными зеркалами

Интерференционные полосы, показывающие тонкую структуру , от эталона Фабри-Перо. Источником является охлаждаемая дейтериевая лампа .

В оптике интерферометр Фабри –Перо ( ИФП ) или эталон — это оптическая полость, сделанная из двух параллельных отражающих поверхностей (т. е. тонких зеркал ). Оптические волны могут проходить через оптическую полость только тогда, когда они находятся с ней в резонансе . Он назван в честь Шарля Фабри и Альфреда Перо , которые разработали этот прибор в 1899 году. ^{[1] [2] [3]} Эталон происходит от французского étalon , что означает «измерительный калибр» или «стандарт». ^[4]

Эталоны широко используются в телекоммуникациях , лазерах и спектроскопии для управления и измерения длин волн света. Последние достижения в технологии изготовления позволяют создавать очень точные настраиваемые интерферометры Фабри–Перо. Устройство технически является интерферометром, когда расстояние между двумя поверхностями (и вместе с ним резонансная длина) может быть изменено, и эталоном, когда расстояние фиксировано (однако эти два термина часто используются взаимозаменяемо).

Основное описание

Интерферометр Фабри–Перо, использующий пару частично отражающих, слегка заклиненных оптических плоских пластин. Угол клина на этой иллюстрации сильно преувеличен; на самом деле, для избежания паразитных полос требуется всего лишь доля градуса. Изображения с низкой четкостью и высокой четкостью соответствуют отражательной способности зеркала 4% (голое стекло) и 95%.

Сердцем интерферометра Фабри-Перо является пара частично отражающих стеклянных оптических пластин, расположенных на расстоянии от микрометров до сантиметров друг от друга, при этом отражающие поверхности обращены друг к другу. (В качестве альтернативы эталон Фабри-Перо использует одну пластину с двумя параллельными отражающими поверхностями.) Плоские пластины в интерферометре часто изготавливаются в форме клина, чтобы предотвратить образование интерференционных полос на задних поверхностях; задние поверхности часто также имеют антибликовое покрытие .

В типичной системе освещение обеспечивается диффузным источником, установленным в фокальной плоскости коллимирующей линзы . Фокусирующая линза после пары плоскостей создавала бы перевернутое изображение источника, если бы плоскости отсутствовали; весь свет, испускаемый из точки на источнике, фокусируется в одну точку в плоскости изображения системы. На прилагаемой иллюстрации отслеживается только один луч, испускаемый из точки A на источнике. Когда луч проходит через парные плоскости, он многократно отражается, создавая несколько пропущенных лучей, которые собираются фокусирующей линзой и доводятся до точки A' на экране. Полная интерференционная картина принимает вид набора концентрических колец. Резкость колец зависит от отражательной способности плоскостей. Если отражательная способность высока, что приводит к высокому коэффициенту добротности , монохроматический свет создает набор узких ярких колец на темном фоне. Говорят, что интерферометр Фабри-Перо с высоким Q имеет высокую точность .

Приложения

Коммерческое устройство Фабри-Перо

Телекоммуникации

Телекоммуникационные сети, использующие мультиплексирование с разделением по длине волны, имеют мультиплексоры ввода-вывода с банками миниатюрных настроенных эталонов из плавленого кварца или алмаза . Это небольшие радужные кубы со стороной около 2 мм, установленные в небольших высокоточных стойках. Материалы выбираются для поддержания стабильных расстояний между зеркалами и для поддержания стабильных частот даже при изменении температуры. Алмаз предпочтительнее, поскольку он обладает большей теплопроводностью и при этом имеет низкий коэффициент расширения. В 2005 году некоторые компании, выпускающие телекоммуникационное оборудование, начали использовать сплошные эталоны, которые сами по себе являются оптическими волокнами. Это устраняет большинство трудностей с монтажом, выравниванием и охлаждением.

Оптические приборы

Дихроичные фильтры изготавливаются путем нанесения серии эталонных слоев на оптическую поверхность методом осаждения из паров . Эти оптические фильтры обычно имеют более точные отражательные и пропускающие полосы, чем поглощающие фильтры. При правильной конструкции они работают холоднее, чем поглощающие фильтры, поскольку отражают нежелательные длины волн, а не поглощают их. Дихроичные фильтры широко используются в оптическом оборудовании, таком как источники света, камеры, астрономическое оборудование и лазерные системы.

Оптические волномеры и некоторые оптические анализаторы спектра используют интерферометры Фабри–Перо с различными свободными спектральными диапазонами для определения длины волны света с большой точностью.

Лазерные резонаторы часто описываются как резонаторы Фабри-Перо, хотя для многих типов лазеров отражательная способность одного зеркала близка к 100%, что делает его более похожим на интерферометр Жира-Турнуа . Полупроводниковые диодные лазеры иногда используют настоящую геометрию Фабри-Перо из-за сложности покрытия торцевых граней чипа. Квантовые каскадные лазеры часто используют полости Фабри-Перо для поддержания генерации без необходимости в каких-либо покрытиях граней из-за высокого усиления активной области. ^[5]

Эталоны часто помещаются внутрь лазерного резонатора при построении одномодовых лазеров. Без эталона лазер, как правило, будет производить свет в диапазоне длин волн, соответствующем ряду мод полости , которые аналогичны модам Фабри-Перо. Вставка эталона в лазерную полость с хорошо подобранной точностью и свободным спектральным диапазоном может подавить все моды полости, кроме одной, тем самым изменяя работу лазера с многомодового на одномодовый.

Стабильные интерферометры Фабри–Перо часто используются для стабилизации частоты света, излучаемого лазером (которая часто колеблется из-за механических вибраций или изменений температуры) посредством привязки его к моде резонатора. Существует много методов для получения сигнала ошибки, например, широко используемый метод Паунда–Древера–Холла .

Спектроскопия

Эталоны Фабри-Перо могут использоваться для увеличения длины взаимодействия в лазерной абсорбционной спектрометрии , в частности, в методах снижения резонанса в резонаторе . Эталон увеличивающейся толщины может использоваться в качестве линейного переменного оптического фильтра для достижения спектроскопии . Его можно сделать невероятно маленьким, используя тонкие пленки нанометровой толщины. ^[6]

Эталон Фабри-Перо можно использовать для создания спектрометра, способного наблюдать эффект Зеемана , когда спектральные линии расположены слишком близко друг к другу, чтобы их можно было различить с помощью обычного спектрометра.

Астрономия

В астрономии эталон используется для выбора одного атомного перехода для визуализации. Наиболее распространенной является линия H-альфа солнца . Линия Ca-K от солнца также обычно визуализируется с помощью эталонов.

Датчик метана для Марса (MSM) на борту индийского аппарата Mangalyaan является примером инструмента Фабри-Перо. Это был первый инструмент Фабри-Перо в космосе, когда Mangalyaan был запущен. ^[7] Поскольку он не отличал излучение, поглощаемое метаном, от излучения, поглощаемого углекислым газом и другими газами, его позже назвали картографом альбедо. ^[8]

При обнаружении гравитационных волн резонатор Фабри-Перо используется для хранения фотонов в течение почти миллисекунды, пока они отскакивают вверх и вниз между зеркалами. Это увеличивает время, в течение которого гравитационная волна может взаимодействовать со светом, что приводит к лучшей чувствительности на низких частотах. Этот принцип используется в таких детекторах, как LIGO и Virgo , которые состоят из интерферометра Майкельсона с резонатором Фабри-Перо длиной в несколько километров в обоих плечах. Меньшие резонаторы, обычно называемые очистителями мод , используются для пространственной фильтрации и стабилизации частоты основного лазера. ^[9]

Теория

Потери резонатора и выведенный свет

Спектральный отклик резонатора Фабри-Перо основан на интерференции между светом, запущенным в него, и светом, циркулирующим в резонаторе. Конструктивная интерференция происходит, если два луча находятся в фазе , что приводит к резонансному усилению света внутри резонатора. Если два луча не совпадают по фазе, только небольшая часть запущенного света сохраняется внутри резонатора. Сохраненный, переданный и отраженный свет спектрально изменяется по сравнению с падающим светом.

Предположим, что резонатор Фабри–Перо с двумя зеркалами геометрической длины однородно заполнен средой с показателем преломления . Свет падает в резонатор под нормальным углом. Время полного обхода света, движущегося в резонаторе со скоростью , где — скорость света в вакууме, и свободный спектральный диапазон определяются как ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t_{\rm {RT}}}$ ${\displaystyle c=c_{0}/n}$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {FSR}}}$

${\displaystyle t_{\rm {RT}}={\frac {1}{\Delta \nu _{\rm {FSR}}}}={\frac {2\ell }{c}}.}$

Коэффициенты отражения электрического поля и интенсивности и , соответственно, на зеркале равны ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle |r_{i}|^{2}=R_{i}.}$

Если нет других потерь в резонаторе, то затухание интенсивности света за один проход количественно определяется константой скорости затухания выходной связи ${\displaystyle 1/\tau _{\rm {out}},}$

${\displaystyle R_{1}R_{2}=e^{-t_{\rm {RT}}/\tau _{\rm {out}}},}$

и время распада фотона резонатора тогда определяется как ^[10] ${\displaystyle \tau _{c}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{c}}}={\frac {1}{\tau _{\rm {out}}}}={\frac {-\ln {(R_{1}R_{2})}}{t_{\rm {RT}}}}.}$

Резонансные частоты и формы спектральных линий

При количественной оценке однопроходного фазового сдвига, который свет демонстрирует при распространении от одного зеркала к другому, фазовый сдвиг за полный проход на частоте накапливается до ^[10] ${\displaystyle \phi (\nu )}$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle 2\phi (\nu )=2\pi \nu t_{\rm {RT}}.}$

Резонансы происходят на частотах, на которых свет проявляет конструктивную интерференцию после одного кругового обхода. Каждая мода резонатора с ее индексом моды , где - целое число в интервале , связана с резонансной частотой и волновым числом , ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle \nu _{q}}$ ${\displaystyle k_{q}}$

${\displaystyle \nu _{q}=q\Delta \nu _{\rm {FSR}}\Rightarrow k_{q}={\frac {2\pi q\Delta \nu _{\rm {FSR}}}{c}}.}$

Две моды с противоположными значениями модального индекса и волнового числа, соответственно, физически представляющие противоположные направления распространения, возникают при одном и том же абсолютном значении частоты. ^[11] ${\displaystyle \pm q}$ ${\displaystyle \pm k}$ ${\displaystyle \left|\nu _{q}\right|}$

Затухающее электрическое поле на частоте представлено затухающим гармоническим колебанием с начальной амплитудой и постоянной времени затухания . В векторной нотации это можно выразить как ^[10] ${\displaystyle \nu _{q}}$ ${\displaystyle E_{q,s}}$ ${\displaystyle 2\tau _{c}}$

${\displaystyle E_{q}(t)=E_{q,s}e^{i2\pi \nu _{q}t}e^{-{\frac {t}{2\tau _{c}}}}.}$

Преобразование Фурье электрического поля во времени дает электрическое поле на единицу частотного интервала,

${\displaystyle {\tilde {E}}_{q}(\nu )=\int _{-\infty }^{+\infty }E_{q}(t)e^{-i2\pi \nu t}\,dt=E_{q,s}{\frac {1}{(2\tau _{c})^{-1}+i2\pi (\nu -\nu _{q})}}.}$

Каждая мода имеет нормализованную форму спектральной линии на единицу частотного интервала, определяемую выражением

${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{q}(\nu )={\frac {1}{\tau _{c}}}\left|{\frac {{\tilde {E}}_{q}(\nu )}{E_{q,s}}}\right|^{2}={\frac {1}{\tau _{c}}}{\frac {1}{(2\tau _{c})^{-2}+4\pi ^{2}(\nu -\nu _{q})^{2}}},}$

чей частотный интеграл равен единице. Вводя полную ширину на половине максимума (FWHM) линии лоренцевской спектральной формы линии, мы получаем ${\displaystyle \Delta \nu _{c}}$

${\displaystyle \Delta \nu _{c}={\frac {1}{2\pi \tau _{c}}}\Rightarrow {\tilde {\gamma }}_{q}(\nu )={\frac {1}{\pi }}{\frac {\Delta \nu _{c}/2}{(\Delta \nu _{c}/2)^{2}+(\nu -\nu _{q})^{2}}}={\frac {2}{\pi }}{\frac {\Delta \nu _{c}}{(\Delta \nu _{c})^{2}+4(\nu -\nu _{q})^{2}}},}$

Выражается либо через ширину линии на половине максимума (HWHM) , либо через ширину линии FWHM . Откалиброванная по высоте пика, равной единице, мы получаем лоренцевы линии: ${\displaystyle \Delta \nu _{c}/2}$ ${\displaystyle \Delta \nu _{c}}$

${\displaystyle \gamma _{q,L}(\nu )={\frac {\pi }{2}}\Delta \nu _{c}{\tilde {\gamma }}_{q}(\nu )={\frac {(\Delta \nu _{c}/2)^{2}}{(\Delta \nu _{c}/2)^{2}+(\nu -\nu _{q})^{2}}}={\frac {(\Delta \nu _{c})^{2}}{(\Delta \nu _{c})^{2}+4(\nu -\nu _{q})^{2}}}.}$

При повторении приведенного выше преобразования Фурье для всех мод с индексом моды в резонаторе получается полный спектр мод резонатора. ${\displaystyle q}$

Поскольку ширина линии и свободный спектральный диапазон не зависят от частоты, тогда как в пространстве длин волн ширину линии невозможно точно определить, а свободный спектральный диапазон зависит от длины волны, и поскольку резонансные частоты масштабируются пропорционально частоте, спектральный отклик резонатора Фабри–Перо естественным образом анализируется и отображается в частотном пространстве. ${\displaystyle \Delta \nu _{c}}$ ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {FSR}}}$ ${\displaystyle \nu _{q}}$

Общее распределение Эйри: фактор усиления внутреннего резонанса

Электрические поля в резонаторе Фабри–Перо. ^[10] Коэффициенты отражения зеркала электрического поля равны и . Указаны характерные электрические поля, создаваемые электрическим полем, падающим на зеркало 1: первоначально отраженным от зеркала 1, запущенным через зеркало 1 и циркулирующим внутри резонатора в прямом и обратном направлении распространения соответственно, распространяющимся внутри резонатора после одного кругового обхода, переданным через зеркало 2, переданным через зеркало 1, и полным полем, распространяющимся назад. Интерференция происходит на левой и правой сторонах зеркала 1 между и , в результате чего , и между и , в результате чего , соответственно. ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle E_{\rm {inc}}}$ ${\displaystyle E_{\rm {refl,1}}}$ ${\displaystyle E_{\rm {laun}}}$ ${\displaystyle E_{\rm {circ}}}$ ${\displaystyle E_{\text{b-circ}}}$ ${\displaystyle E_{\rm {RT}}}$ ${\displaystyle E_{\rm {trans}}}$ ${\displaystyle E_{\rm {back}}}$ ${\displaystyle E_{\rm {refl}}}$ ${\displaystyle E_{\rm {refl,1}}}$ ${\displaystyle E_{\rm {back}}}$ ${\displaystyle E_{\rm {refl}}}$ ${\displaystyle E_{\rm {laun}}}$ ${\displaystyle E_{\rm {RT}}}$ ${\displaystyle E_{\rm {circ}}}$

Реакция резонатора Фабри–Перо на электрическое поле, падающее на зеркало 1, описывается несколькими распределениями Эйри (названными в честь математика и астронома Джорджа Бидделла Эйри ), которые количественно определяют интенсивность света в прямом или обратном направлении распространения в различных положениях внутри или снаружи резонатора относительно либо запущенной, либо падающей интенсивности света. Реакция резонатора Фабри–Перо проще всего выводится с помощью подхода циркулирующего поля. ^[12] Этот подход предполагает устойчивое состояние и связывает различные электрические поля друг с другом (см. рисунок «Электрические поля в резонаторе Фабри–Перо»).

Поле можно связать с полем , которое запускается в резонатор ${\displaystyle E_{\rm {circ}}}$ ${\displaystyle E_{\rm {laun}}}$

${\displaystyle E_{\rm {circ}}=E_{\rm {laun}}+E_{\rm {RT}}=E_{\rm {laun}}+r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }E_{\rm {circ}}\Rightarrow {\frac {E_{\rm {circ}}}{E_{\rm {laun}}}}={\frac {1}{1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }}}.}$

Общее распределение Эйри, которое учитывает исключительно физические процессы, проявляемые светом внутри резонатора, затем выводится как интенсивность, циркулирующая в резонаторе, относительно испускаемой интенсивности, ^[10]

${\displaystyle A_{\rm {circ}}={\frac {I_{\rm {circ}}}{I_{\rm {laun}}}}={\frac {\left|E_{\rm {circ}}\right|^{2}}{\left|E_{\rm {laun}}\right|^{2}}}={\frac {1}{\left|1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }\right|^{2}}}={\frac {1}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}.}$

${\displaystyle A_{\rm {circ}}}$представляет собой спектрально зависимое внутреннее резонансное усиление, которое резонатор обеспечивает свету, запущенному в него (см. рисунок «Резонансное усиление в резонаторе Фабри–Перо»). На резонансных частотах , где равно нулю, внутренний резонансный фактор усиления равен ${\displaystyle \nu _{q}}$ ${\displaystyle \sin(\phi )}$

${\displaystyle A_{\rm {circ}}(\nu _{q})={\frac {1}{\left(1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\right)^{2}}}.}$

Другие распределения Airy

Усиление резонанса в резонаторе Фабри–Перо. ^[10] (вверху) Спектрально-зависимое усиление внутреннего резонанса, равное общему распределению Эйри . Свет, запущенный в резонатор, резонансно усиливается этим фактором. Для кривой с пиковое значение находится при , вне шкалы ординат. (внизу) Спектрально-зависимое усиление внешнего резонанса, равное распределению Эйри . Свет, падающий на резонатор, резонансно усиливается этим фактором. ${\displaystyle A_{\text{circ}}}$ ${\displaystyle R_{1}=R_{2}=0.9}$ ${\displaystyle A_{\text{circ}}(\nu _{q})=100}$ ${\displaystyle A_{\text{circ}}^{\prime }}$

После того, как внутреннее резонансное усиление, общее распределение Эйри, установлено, все другие распределения Эйри могут быть выведены с помощью простых масштабных коэффициентов. ^[10] Поскольку интенсивность, введенная в резонатор, равна переданной доле интенсивности, падающей на зеркало 1,

${\displaystyle I_{\text{laun}}=\left(1-R_{1}\right)I_{\text{inc}},}$

а интенсивности, прошедшие через зеркало 2, отраженные от зеркала 2 и прошедшие через зеркало 1, представляют собой прошедшие и отраженные/прошедшие доли интенсивности, циркулирующей внутри резонатора,

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\text{trans}}&=\left(1-R_{2}\right)I_{\text{circ}},\\I_{\text{b-circ}}&=R_{2}I_{\text{circ}},\\I_{\text{back}}&=\left(1-R_{1}\right)I_{\text{b-circ}},\end{aligned}}}$

соответственно, другие распределения Эйри относительно запущенной интенсивности и относительно падающей интенсивности равны ^[10] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle I_{\text{laun}}}$ ${\displaystyle A^{\prime }}$ ${\displaystyle I_{\text{inc}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\text{circ}}&={\frac {1}{R_{2}}}A_{\text{b-circ}}={\frac {1}{R_{1}R_{2}}}A_{\text{RT}}={\frac {1}{1-R_{2}}}A_{\text{trans}}={\frac {1}{(1-R_{1})R_{2}}}A_{\text{back}}={\frac {1}{1-R_{1}R_{2}}}A_{\text{emit}},\\A_{\text{circ}}'&={\frac {1}{R_{2}}}A_{\text{b-circ}}'={\frac {1}{R_{1}R_{2}}}A_{\text{RT}}'={\frac {1}{1-R_{2}}}A_{\text{trans}}'={\frac {1}{(1-R_{1})R_{2}}}A_{\text{back}}'={\frac {1}{1-R_{1}R_{2}}}A_{\text{emit}}',\\A_{\text{circ}}'&=\left(1-R_{1}\right)A_{\text{circ}}.\end{aligned}}}$

Индекс «излучать» обозначает распределения Эйри, которые учитывают сумму интенсивностей, излучаемых с обеих сторон резонатора.

Интенсивность обратного излучения не может быть измерена, поскольку изначально отраженный свет добавляется к обратно распространяющемуся сигналу. Измеримый случай интенсивности, возникающей в результате интерференции обоих обратно распространяющихся электрических полей, приводит к распределению Эйри ^[10] ${\displaystyle I_{\text{back}}}$

${\displaystyle A_{\text{refl}}^{\prime }={\frac {I_{\text{refl}}}{I_{\text{inc}}}}={\frac {\left|E_{\text{refl}}\right|^{2}}{\left|E_{\text{inc}}\right|^{2}}}={\frac {\left({{\sqrt {R_{1}}}-{\sqrt {R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}.}$

Легко показать, что в резонаторе Фабри–Перо, несмотря на возникновение конструктивной и деструктивной интерференции, энергия сохраняется на всех частотах:

${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }+A_{\text{refl}}^{\prime }={\frac {I_{\text{trans}}+I_{\text{refl}}}{I_{\text{inc}}}}=1.}$

Внешний коэффициент усиления резонанса (см. рисунок «Усиление резонанса в резонаторе Фабри–Перо») равен ^[10]

${\displaystyle A_{\text{circ}}^{\prime }={\frac {I_{\text{circ}}}{I_{\text{inc}}}}=(1-R_{1})A_{\text{circ}}={\frac {1-R_{1}}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}.}$

На частотах резонанса , где равно нулю, внешний коэффициент усиления резонанса равен ${\displaystyle \nu _{q}}$ ${\displaystyle \sin(\phi )}$

${\displaystyle A_{\text{circ}}^{\prime }(\nu _{q})={\frac {1-R_{1}}{\left(1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\right)^{2}}}.}$

Распределение Эйри (сплошные линии), соответствующее свету, прошедшему через резонатор Фабри-Перо, рассчитанное для различных значений коэффициентов отражения , и сравнение с одной линией Лоренца (штриховые линии), рассчитанной для того же . ^[10] На половине максимума (черная линия) с уменьшением коэффициентов отражения ширина линии распределения Эйри на полувысоте расширяется по сравнению с шириной линии на полувысоте соответствующей ему линии Лоренца: приводит к , соответственно. ${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }}$ ${\displaystyle R_{1}=R_{2}}$ ${\displaystyle R_{1}=R_{2}}$ ${\displaystyle \Delta \nu _{\text{Airy}}}$ ${\displaystyle \Delta \nu _{c}}$ ${\displaystyle R_{1}=R_{2}=0.9,0.6,0.32,0.172}$ ${\displaystyle \Delta \nu _{\text{Airy}}/\Delta \nu _{c}=1.001,1.022,1.132,1.717}$

Обычно свет передается через резонатор Фабри-Перо. Поэтому часто применяемое распределение Эйри ^[10]

${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }={\frac {I_{\text{trans}}}{I_{\text{inc}}}}=(1-R_{1})(1-R_{2})A_{\text{circ}}={\frac {(1-R_{1})(1-R_{2})}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}.}$

Он описывает долю интенсивности источника света, падающего на зеркало 1, которая передается через зеркало 2 (см. рисунок «Распределение Эйри »). Его пиковое значение на резонансных частотах равно ${\displaystyle I_{\text{trans}}}$ ${\displaystyle I_{\text{inc}}}$ ${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }}$ ${\displaystyle \nu _{q}}$

${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }(\nu _{q})={\frac {(1-R_{1})(1-R_{2})}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}}}.}$

Для пикового значения, равного единице; т. е. весь свет, падающий на резонатор, пропускается. Следовательно, свет не отражается, , в результате деструктивной интерференции между полями и . ${\displaystyle R_{1}=R_{2}}$ ${\displaystyle A_{\text{refl}}^{\prime }=0}$ ${\displaystyle E_{{\text{refl}},1}}$ ${\displaystyle E_{\text{back}}}$

${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }}$был получен в подходе циркулирующего поля ^[12] путем рассмотрения дополнительного сдвига фазы во время каждой передачи через зеркало, ${\displaystyle e^{i\pi /2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{circ}}=it_{1}E_{\text{inc}}+r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }E_{\text{circ}}&\Rightarrow {\frac {E_{\text{circ}}}{E_{\text{inc}}}}={\frac {it_{1}}{1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }}},\\E_{\text{trans}}=it_{2}E_{\text{circ}}e^{-i\phi }&\Rightarrow {\frac {E_{\text{trans}}}{E_{\text{inc}}}}={\frac {-t_{1}t_{2}e^{-i\phi }}{1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }}},\end{aligned}}}$

в результате чего

${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }={\frac {I_{\text{trans}}}{I_{\text{inc}}}}={\frac {\left|E_{\text{trans}}\right|^{2}}{\left|E_{\text{inc}}\right|^{2}}}={\frac {\left|-t_{1}t_{2}e^{-i\phi }\right|^{2}}{\left|1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }\right|^{2}}}={\frac {(1-R_{1})(1-R_{2})}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}.}$

Альтернативно, может быть получено с помощью подхода «круговой проход-распад» ^[13] путем отслеживания бесконечного числа круговых проходов, которые падающее электрическое поле демонстрирует после входа в резонатор, и накопления электрического поля, переданного во всех круговых проходах. Поле, переданное после первого распространения, и все меньшие и меньшие поля, переданные после каждого последующего распространения через резонатор, являются ${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }}$ ${\displaystyle E_{\text{inc}}}$ ${\displaystyle E_{\text{trans}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{trans,1}}&=E_{\text{inc}}it_{1}it_{2}e^{-i\phi }=-E_{\text{inc}}t_{1}t_{2}e^{-i\phi },\\E_{{\text{trans}},m+1}&=E_{{\text{trans}},m}r_{1}r_{2}e^{-i2\phi },\end{aligned}}}$

соответственно. Эксплуатация

${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }x^{m}={\frac {1}{1-x}}\Rightarrow E_{\text{trans}}=\sum _{m=1}^{\infty }E_{{\text{trans}},m}=E_{\text{inc}}{\frac {-t_{1}t_{2}e^{-i\phi }}{1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }}}}$

приводит к тому же, что и выше, поэтому получается то же распределение Эйри . Однако этот подход физически вводит в заблуждение, поскольку он предполагает, что интерференция происходит между выведенными лучами после зеркала 2, снаружи резонатора, а не между запущенными и циркулирующими лучами после зеркала 1, внутри резонатора. Поскольку именно интерференция изменяет спектральное содержимое, распределение спектральной интенсивности внутри резонатора будет таким же, как распределение падающей спектральной интенсивности, и никакого усиления резонанса внутри резонатора не произойдет. ${\displaystyle E_{\text{trans}}/E_{\text{inc}}}$ ${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }}$

Распределение Эйри как сумма профилей мод

Физически распределение Эйри представляет собой сумму профилей мод продольных мод резонатора. ^[10] Начиная с электрического поля, циркулирующего внутри резонатора, рассматривается экспоненциальное затухание этого поля во времени через оба зеркала резонатора, Фурье преобразует его в частотное пространство, чтобы получить нормализованные формы спектральных линий , делит его на время прохождения туда и обратно, чтобы учесть, как общая интенсивность циркулирующего электрического поля продольно распределяется в резонаторе и выводится за единицу времени, что приводит к излучаемым профилям мод, ${\displaystyle E_{circ}}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{q}(\nu )}$ ${\displaystyle t_{\rm {RT}}}$

${\displaystyle \gamma _{q,{\rm {emit}}}(\nu )={\frac {1}{t_{\rm {RT}}}}{\tilde {\gamma }}_{q}(\nu ),}$

и затем суммирует по излучаемым модовым профилям всех продольных мод ^[10]

${\displaystyle \sum _{q=-\infty }^{\infty }\gamma _{q,{\rm {emit}}}(\nu )={\frac {1-R_{1}R_{2}}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}=A_{\rm {emit}},}$

таким образом, выравнивая распределение Эйри . ${\displaystyle A_{\rm {emit}}}$

Те же простые масштабные коэффициенты, которые обеспечивают соотношения между отдельными распределениями Эйри, также обеспечивают соотношения между и другими профилями мод: ^[10] ${\displaystyle \gamma _{q,{\rm {emit}}}(\nu )}$

${\displaystyle \gamma _{q,{\rm {circ}}}={\frac {1}{R_{2}}}\gamma _{q,{\text{b-circ}}}={\frac {1}{R_{1}R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {RT}}}={\frac {1}{1-R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {trans}}}={\frac {1}{(1-R_{1})R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {back}}}={\frac {1}{1-R_{1}R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {emit}}},}$

${\displaystyle \gamma _{q,{\rm {circ}}}^{\prime }={\frac {1}{R_{2}}}\gamma _{q,{\text{b-circ}}}^{\prime }={\frac {1}{R_{1}R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {RT}}}^{\prime }={\frac {1}{1-R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {trans}}}^{\prime }={\frac {1}{(1-R_{1})R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {back}}}^{\prime }={\frac {1}{1-R_{1}R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {emit}}}^{\prime },}$

${\displaystyle \gamma _{q,{\rm {circ}}}^{\prime }=(1-R_{1})\gamma _{q,{\rm {circ}}}.}$

Характеристика резонатора Фабри-Перо: ширина и точность лоренцевской линии

Критерий спектрального разрешения Тейлора предполагает, что две спектральные линии могут быть разрешены, если отдельные линии пересекаются на половине интенсивности. При запуске света в резонатор Фабри–Перо, измеряя распределение Эйри, можно вывести общие потери резонатора Фабри–Перо путем пересчета ширины линии Лоренца , отображенной (синяя линия) относительно свободного спектрального диапазона на рисунке «Ширина линии Лоренца и четкость в сравнении с шириной линии Эйри и четкостью резонатора Фабри–Перо». ${\displaystyle \Delta \nu _{c}}$

Ширина линии Лоренца и ее изящество в зависимости от ширины линии Эйри и ее изящества резонатора Фабри–Перо. ^[10] [Слева] Относительная ширина линии Лоренца ( синяя кривая), относительная ширина линии Эйри (зеленая кривая) и ее аппроксимация (красная кривая). [Справа] Изящество Лоренца (синяя кривая), изящество Эйри (зеленая кривая) и его аппроксимация (красная кривая) как функция отражательной способности . Точные решения ширины линии Эйри и изящества (зеленые линии) правильно разрушаются при , что эквивалентно , тогда как их аппроксимации (красные линии) неправильно не разрушаются. Вставки: область . ${\displaystyle \Delta \nu _{c}/\Delta \nu _{\rm {FSR}}}$ ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}/\Delta \nu _{\rm {FSR}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}}$ ${\displaystyle R_{1}R_{2}}$ ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}=1}$ ${\displaystyle R_{1}R_{2}<0.1}$

Физический смысл лоренцевской точности резонатора Фабри-Перо. ^[10] Показана ситуация для , при которой и , т. е. две соседние лоренцевы линии (штриховые цветные линии, для ясности показано только 5 линий для каждой резонансной частоты, ) пересекаются на половине максимума (сплошная черная линия) и достигается критерий Тейлора для спектрального разрешения двух пиков в результирующем распределении Эйри (сплошная фиолетовая линия, сумма 5 линий, которая была нормализована к пиковой интенсивности самой себя). ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}}$ ${\displaystyle R_{1}=R_{2}\approx 4.32\%}$ ${\displaystyle \Delta \nu _{c}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}=1}$ ${\displaystyle \nu _{q}}$

Базовые лоренцевы линии могут быть разрешены, пока соблюдается критерий Тейлора (см. рисунок «Физический смысл лоренцевской тонкости»). Следовательно, можно определить лоренцеву тонкость резонатора Фабри–Перо: ^[10]

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}={\frac {\Delta \nu _{\rm {FSR}}}{\Delta \nu _{c}}}={\frac {2\pi }{-\ln(R_{1}R_{2})}}.}$

Он отображается синей линией на рисунке "Физический смысл лоренцевской точности". Лоренцева точность имеет фундаментальное физическое значение: она описывает, насколько хорошо лоренцевы линии, лежащие в основе распределения Эйри, могут быть разрешены при измерении распределения Эйри. В точке, где ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}}$

${\displaystyle \Delta \nu _{c}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}\Rightarrow R_{1}R_{2}=e^{-2\pi }\approx 0.001867,}$

эквивалентно , достигается критерий Тейлора для спектрального разрешения одного распределения Эйри. Ниже этой точки, , две спектральные линии не могут быть различены. Для равных отражательных способностей зеркал эта точка возникает, когда . Следовательно, ширина линии лоренцевских линий, лежащих в основе распределения Эйри резонатора Фабри–Перо, может быть разрешена путем измерения распределения Эйри, следовательно, потери его резонатора могут быть определены спектроскопически, до этой точки. ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}<1}$ ${\displaystyle R_{1}=R_{2}\approx 4.32\%}$

Сканирование резонатора Фабри-Перо: воздушная ширина линии и изящество

Физический смысл тонкости Эйри резонатора Фабри–Перо. ^[10] При сканировании длины Фабри–Перо (или угла падающего света) распределения Эйри (цветные сплошные линии) создаются сигналами на отдельных частотах. Экспериментальный результат измерения представляет собой сумму отдельных распределений Эйри (черная пунктирная линия). Если сигналы возникают на частотах , где — целое число, начинающееся с , распределения Эйри на соседних частотах отделены друг от друга шириной линии , тем самым выполняя критерий Тейлора для спектроскопического разрешения двух соседних пиков. Максимальное количество сигналов, которые могут быть разрешены, равно . Поскольку в этом конкретном примере отражательные способности были выбраны таким образом, что — целое число, сигнал для на частоте совпадает с сигналом для при . В этом примере максимум пиков может быть разрешен при применении критерия Тейлора. ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}}$ ${\displaystyle \nu _{m}=\nu _{q}+m\Delta \nu _{\rm {Airy}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}}$ ${\displaystyle R_{1}=R_{2}=0.59928}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}=6}$ ${\displaystyle m={\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}}$ ${\displaystyle \nu _{q}+{\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}\Delta \nu _{\rm {Airy}}=\nu _{q}+\Delta \nu _{\rm {FSR}}}$ ${\displaystyle m=q}$ ${\displaystyle \nu _{q}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}=6}$

Пример резонатора Фабри-Перо с (вверху) зависящей от частоты отражательной способностью зеркала и (внизу) полученными искаженными профилями мод с индексами , суммой 6 миллионов профилей мод (розовые точки, показаны только для нескольких частот) и распределением Эйри . ^[10] Вертикальные пунктирные линии обозначают максимум кривой отражательной способности (черные) и резонансные частоты отдельных мод (цветные). ${\displaystyle \gamma _{q,{\rm {trans}}}^{\prime }}$ ${\displaystyle q=2000,2001,2002}$ ${\displaystyle A_{\rm {trans}}^{\prime }}$

Когда резонатор Фабри-Перо используется в качестве сканирующего интерферометра, т. е. при переменной длине резонатора (или угле падения), можно спектроскопически различать спектральные линии на разных частотах в пределах одного свободного спектрального диапазона. Необходимо разрешить несколько распределений Эйри, каждое из которых создается отдельной спектральной линией. Таким образом, распределение Эйри становится базовой фундаментальной функцией, а измерение дает сумму распределений Эйри. Параметрами, которые должным образом количественно определяют эту ситуацию, являются ширина линии Эйри и тонкость Эйри . Ширина линии FWHM распределения Эйри равна ^[10] ${\displaystyle A_{\rm {trans}}^{\prime }(\nu )}$ ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}}$ ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}}$ ${\displaystyle A_{\rm {trans}}^{\prime }(\nu )}$

${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}{\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\frac {1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}{2{\sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}}}\right).}$

Ширина линии Эйри отображена в виде зеленой кривой на рисунке «Ширина линии Лоренца и четкость в зависимости от ширины линии Эйри и четкости резонатора Фабри–Перо». ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}}$

Концепция определения ширины линии пиков Эйри как FWHM нарушается при (сплошная красная линия на рисунке "Распределение Эйри "), поскольку в этой точке ширина линии Эйри мгновенно переходит к бесконечному значению для функции. Для более низких значений отражательной способности ширина линии пиков Эйри на полуширине не определена. Предельный случай возникает при ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}}$ ${\displaystyle A_{\rm {trans}}^{\prime }}$ ${\displaystyle \arcsin }$ ${\displaystyle R_{1}R_{2}}$

${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}\Rightarrow {\frac {1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}{2{\sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}}}=1\Rightarrow R_{1}R_{2}\approx 0.02944.}$

При одинаковой отражательной способности зеркал эта точка достигается, когда (сплошная красная линия на рисунке «Распределение Эйри »). ${\displaystyle R_{1}=R_{2}\approx 17.2\%}$ ${\displaystyle A_{\rm {trans}}^{\prime }}$

Тонкость распределения Эйри резонатора Фабри–Перо, которая отображается в виде зеленой кривой на рисунке «Ширина линии и тонкость Лоренца в зависимости от ширины линии и тонкости Эйри резонатора Фабри–Перо» в прямом сравнении с тонкостью Лоренца , определяется как ^[10] ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}={\frac {\Delta \nu _{\rm {FSR}}}{\Delta \nu _{\rm {Airy}}}}={\frac {\pi }{2}}\left[\arcsin \left({\frac {1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}{2{\sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}}}\right)\right]^{-1}.}$

При сканировании длины резонатора Фабри–Перо (или угла падающего света) утонченность Эйри количественно определяет максимальное количество распределений Эйри, созданных светом на отдельных частотах в пределах свободного спектрального диапазона резонатора Фабри–Перо, чьи соседние пики могут быть однозначно различимы спектроскопически, т. е. они не перекрываются на их полуширине (см. рисунок «Физический смысл утонченности Эйри»). Это определение утонченности Эйри согласуется с критерием Тейлора разрешения спектрометра. Поскольку концепция ширины линии FWHM нарушается при , следовательно, утонченность Эйри определяется только до , см. рисунок «Ширина линии и утонченность Лоренца в сравнении с шириной линии и утонченностью Эйри резонатора Фабри–Перо». ${\displaystyle \nu _{m}}$ ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}=1}$

Часто ненужное приближение делается при выводе из ширины линии Эйри . В отличие от точного решения выше, это приводит к ${\displaystyle \sin {(\phi )}\approx \phi }$ ${\displaystyle A_{\rm {trans}}^{\prime }}$ ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}}$

${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}\approx \Delta \nu _{\rm {FSR}}{\frac {1}{\pi }}{\frac {1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}{\sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}}\Rightarrow {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}={\frac {\Delta \nu _{\rm {FSR}}}{\Delta \nu _{\rm {Airy}}}}\approx \pi {\frac {\sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}{1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}}.}$

Это приближение ширины линии Эйри, показанное в виде красной кривой на рисунке «Ширина и четкость линии Лоренца в зависимости от ширины и четкости линии Эйри резонатора Фабри–Перо», отклоняется от правильной кривой при низких коэффициентах отражения и неправильно не нарушается, когда . Это приближение затем обычно также используется для расчета четкости Эйри. ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}>\Delta \nu _{\rm {FSR}}}$

Частотно-зависимые коэффициенты отражения зеркал

Более общий случай резонатора Фабри–Перо с частотно-зависимыми отражательными способностями зеркал можно рассматривать с помощью тех же уравнений, что и выше, за исключением того, что время затухания фотона и ширина линии теперь становятся локальными функциями частоты. В то время как время затухания фотона по-прежнему является четко определенной величиной, ширина линии теряет свой смысл, поскольку она напоминает спектральную ширину полосы, значение которой теперь изменяется в пределах этой самой ширины полосы. Также в этом случае каждое распределение Эйри является суммой всех базовых профилей мод, которые могут быть сильно искажены. ^[10] Пример распределения Эйри и нескольких базовых профилей мод приведен на рисунке «Пример резонатора Фабри–Перо с частотно-зависимой отражательной способностью зеркала». ${\displaystyle \tau _{c}(\nu )}$ ${\displaystyle \Delta \nu _{c}(\nu )}$ ${\displaystyle A_{\rm {trans}}^{\prime }}$ ${\displaystyle \gamma _{q,{\rm {trans}}}^{\prime }(\nu )}$

Резонатор Фабри–Перо с собственными оптическими потерями

Внутренние потери распространения внутри резонатора можно количественно оценить с помощью коэффициента потери интенсивности на единицу длины или, что эквивалентно, с помощью внутренних потерь при распространении в обоих направлениях, таких как ^[14] ${\displaystyle \alpha _{\rm {loss}}}$ ${\displaystyle L_{\rm {RT}},}$

${\displaystyle 1-L_{\rm {RT}}=e^{-\alpha _{\rm {loss}}2\ell }=e^{-t_{\rm {RT}}/\tau _{\rm {loss}}}.}$

Дополнительные потери сокращают время распада фотона в резонаторе: ^[14] ${\displaystyle \tau _{c}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{c}}}={\frac {1}{\tau _{\rm {out}}}}+{\frac {1}{\tau _{\rm {loss}}}}={\frac {-\ln {[R_{1}R_{2}(1-L_{\rm {RT}})]}}{t_{\rm {RT}}}}={\frac {-\ln {[R_{1}R_{2}]}}{t_{\rm {RT}}}}+c\alpha _{\rm {loss}}.}$

где - скорость света в полости. Общее распределение Эйри или коэффициент усиления внутреннего резонанса затем выводится, как указано выше, путем включения потерь распространения через коэффициент амплитудных потерь : ^[14] ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle A_{\rm {circ}}}$ ${\displaystyle \alpha _{\rm {loss}}/2}$

${\displaystyle E_{\rm {circ}}=E_{\rm {laun}}+E_{\rm {RT}}=E_{\rm {laun}}+r_{1}r_{2}e^{-(\alpha _{\rm {loss}}/2)2\ell }e^{-i2\phi }E_{\rm {circ}}\Rightarrow {\frac {E_{\rm {circ}}}{E_{\rm {laun}}}}={\frac {1}{1-r_{1}r_{2}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }e^{-i2\phi }}}\Rightarrow }$

${\displaystyle A_{\rm {circ}}={\frac {I_{\rm {circ}}}{I_{\rm {laun}}}}={\frac {\left|E_{\rm {circ}}\right|^{2}}{\left|E_{\rm {laun}}\right|^{2}}}={\frac {1}{\left|1-r_{1}r_{2}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }e^{-i2\phi }\right|^{2}}}={\frac {1}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }\sin ^{2}(\phi )}}.}$

Другие распределения Эйри могут быть получены, как указано выше, дополнительно принимая во внимание потери распространения. В частности, передаточная функция с потерями становится ^[14]

${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }={\frac {I_{\rm {trans}}}{I_{\rm {inc}}}}=(1-R_{1})(1-R_{2})e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }A_{\rm {circ}}={\frac {(1-R_{1})(1-R_{2})e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }\sin ^{2}(\phi )}}.}$

Описание резонатора Фабри–Перо в пространстве длин волн

Эталон Фабри-Перо. Свет попадает в эталон и претерпевает множество внутренних отражений.

Пропускание эталона как функция длины волны. Высокоточный эталон (красная линия) показывает более острые пики и более низкие минимумы пропускания, чем низкоточный эталон (синий).

Тонкость как функция отражательной способности. Очень высокие показатели тонкости требуют зеркал с высокой отражательной способностью.

Переходный анализ кремниевого ( n = 3,4) эталона Фабри–Перо при нормальном падении. Верхняя анимация для толщины эталона, выбранной для обеспечения максимальной передачи, а нижняя анимация для толщины, выбранной для обеспечения минимальной передачи.

Ложный цветовой переход для диэлектрической пластины с высоким показателем преломления в воздухе. Толщина/частоты были выбраны таким образом, чтобы красный (вверху) и синий (внизу) испытывали максимальную передачу, тогда как зеленый (в середине) испытывает минимальную передачу.

Изменяющаяся функция пропускания эталона вызвана интерференцией между многократными отражениями света между двумя отражающими поверхностями. Конструктивная интерференция возникает, если передаваемые лучи находятся в фазе , и это соответствует пику высокой передачи эталона. Если передаваемые лучи не совпадают по фазе, возникает деструктивная интерференция, и это соответствует минимуму пропускания. Находятся ли многократно отраженные лучи в фазе или нет, зависит от длины волны (λ) света (в вакууме), угла, под которым свет проходит через эталон (θ), толщины эталона ( ℓ ) и показателя преломления материала между отражающими поверхностями ( n ).

Разность фаз между каждой последовательно переданной парой (т.е. T ₂ и T ₁ на схеме) определяется по формуле ^[15]

${\displaystyle \delta =\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)2n\ell \cos \theta .}$

Если обе поверхности имеют отражательную способность R , то функция пропускания эталона определяется выражением

${\displaystyle T_{e}={\frac {(1-R)^{2}}{1-2R\cos \delta +R^{2}}}={\frac {1}{1+F\sin ^{2}\left({\frac {\delta }{2}}\right)}},}$

где

${\displaystyle F={\frac {4R}{(1-R)^{2}}}}$

коэффициент изящества .

Максимальная передача ( ) происходит, когда оптическая разность длины пути ( ) между каждым переданным лучом является целым кратным длины волны. При отсутствии поглощения отражательная способность эталона R _e является дополнением к пропусканию, таким образом, что . Максимальная отражательная способность определяется как ${\displaystyle T_{e}=1}$ ${\displaystyle 2nl\cos \theta }$ ${\displaystyle T_{e}+R_{e}=1}$

${\displaystyle R_{\max }=1-{\frac {1}{1+F}}={\frac {4R}{(1+R)^{2}}},}$

и это происходит, когда разность длин пути равна половине нечетного кратного длины волны.

Разделение длин волн между соседними пиками пропускания называется свободным спектральным диапазоном (СД) эталона, Δλ, и определяется по формуле:

${\displaystyle \Delta \lambda ={\frac {\lambda _{0}^{2}}{2n_{\mathrm {g} }\ell \cos \theta +\lambda _{0}}}\approx {\frac {\lambda _{0}^{2}}{2n_{\mathrm {g} }\ell \cos \theta }},}$

где λ ₀ — центральная длина волны ближайшего пика пропускания, а — групповой показатель преломления . ^[16] FSR связан с полной шириной полумаксимума, δλ, любой полосы пропускания величиной, известной как тонкость : ${\displaystyle n_{\mathrm {g} }}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}={\frac {\Delta \lambda }{\delta \lambda }}={\frac {\pi }{2\arcsin \left({\frac {1}{\sqrt {F}}}\right)}}.}$

Обычно это аппроксимируется (для R  > 0,5) следующим образом:

${\displaystyle {\mathcal {F}}\approx {\frac {\pi {\sqrt {F}}}{2}}={\frac {\pi R^{\frac {1}{2}}}{1-R}}.}$

Если два зеркала не равны, изящество становится

${\displaystyle {\mathcal {F}}\approx {\frac {\pi \left(R_{1}R_{2}\right)^{\frac {1}{4}}}{1-\left(R_{1}R_{2}\right)^{\frac {1}{2}}}}.}$

Эталоны с высокой точностью показывают более острые пики пропускания с более низкими минимальными коэффициентами пропускания. В случае наклонного падения точность будет зависеть от состояния поляризации луча, поскольку значение R , заданное уравнениями Френеля , обычно различно для p- и s-поляризаций.

На схеме справа показаны два луча, один из которых (T ₀ ) передается через эталон, а другой (T ₁ ) дважды отражается перед передачей. При каждом отражении амплитуда уменьшается на , в то время как при каждой передаче через интерфейс амплитуда уменьшается на . Предполагая отсутствие поглощения, закон сохранения энергии требует T  +  R  = 1. В выводе ниже n — показатель преломления внутри эталона, а n ₀ — показатель преломления снаружи эталона. Предполагается, что n > n ₀ . Амплитуда падающего луча в точке a принимается равной единице, а для представления амплитуды излучения используются векторные вектора . Тогда переданная амплитуда в точке b будет равна ${\displaystyle {\sqrt {R}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {T}}}$

${\displaystyle t_{0}=T\,e^{ik\ell /\cos \theta },}$

где - волновое число внутри эталона, а λ - длина волны в вакууме. В точке c переданная амплитуда будет равна ${\displaystyle k=2\pi n/\lambda }$

${\displaystyle t'_{1}=TR\,e^{3ik\ell /\cos \theta }.}$

Общая амплитуда обоих лучей будет суммой амплитуд двух лучей, измеренных вдоль линии, перпендикулярной направлению луча. Амплитуда t ₀ в точке b может быть, следовательно, добавлена ​​к t ' _{1 ,} отстающей по фазе на величину , где - волновое число вне эталона. Таким образом ${\displaystyle k_{0}\ell _{0}}$ ${\displaystyle k_{0}=2\pi n_{0}/\lambda }$

${\displaystyle t_{1}=TR\,e^{\left(3ik\ell /\cos \theta \right)-ik_{0}\ell _{0}},}$

где ℓ ₀ — это

${\displaystyle \ell _{0}=2\ell \tan \theta \sin \theta _{0}.}$

Разность фаз между двумя лучами равна

${\displaystyle \delta ={2k\ell \over \cos \theta }-k_{0}\ell _{0}.}$

Соотношение между θ и θ ₀ определяется законом Снеллиуса :

${\displaystyle n\sin \theta =n_{0}\sin \theta _{0},}$

так что разность фаз можно записать как

${\displaystyle \delta =2k\ell \,\cos \theta .}$

С точностью до постоянного мультипликативного фазового множителя амплитуду m -го переданного луча можно записать как

${\displaystyle t_{m}=TR^{m}e^{im\delta }.}$

Общая переданная амплитуда представляет собой сумму амплитуд всех отдельных лучей:

${\displaystyle t=\sum _{m=0}^{\infty }t_{m}=T\sum _{m=0}^{\infty }R^{m}\,e^{im\delta }.}$

Ряд представляет собой геометрическую прогрессию , сумма которой может быть выражена аналитически. Амплитуду можно переписать как

${\displaystyle t={\frac {T}{1-Re^{i\delta }}}.}$

Интенсивность луча будет равна всего лишь t раз его комплексно сопряженной величине . Поскольку предполагалось, что падающий луч имеет интенсивность, равную единице, это также даст функцию пропускания:

${\displaystyle T_{e}=tt^{*}={\frac {T^{2}}{1+R^{2}-2R\cos \delta }}.}$

Для асимметричной полости, то есть с двумя различными зеркалами, общая форма функции пропускания имеет вид

${\displaystyle T_{e}={\frac {T_{1}T_{2}}{1+R_{1}R_{2}-2{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\cos \delta }}.}$

Интерферометр Фабри–Перо отличается от эталона Фабри–Перо тем, что расстояние ℓ между пластинами можно настраивать, чтобы изменять длины волн, на которых возникают пики пропускания в интерферометре. Из-за угловой зависимости пропускания пики также можно смещать, вращая эталон относительно пучка.

Другое выражение для функции передачи уже было получено при описании в частотном пространстве как бесконечная сумма всех профилей продольных мод. Определение приведенного выше выражения можно записать как ${\displaystyle \gamma =\ln \left({\frac {1}{R}}\right)}$

${\displaystyle T_{e}={\frac {T^{2}}{1-R^{2}}}\left({\frac {\sinh \gamma }{\cosh \gamma -\cos \delta }}\right).}$

Второй член пропорционален распределению Лоренца, поэтому функцию пропускания можно записать в виде ряда функций Лоренца :

${\displaystyle T_{e}={\frac {2\pi \,T^{2}}{1-R^{2}}}\,\sum _{\ell =-\infty }^{\infty }L(\delta -2\pi \ell ;\gamma ),}$

где

${\displaystyle L(x;\gamma )={\frac {\gamma }{\pi \left(x^{2}+\gamma ^{2}\right)}}.}$

Смотрите также

• Интерферометр Люммера – Герке
• Жир-Турнуа эталон
• Атомный линейный фильтр
• СТРЕЛКА волновод
• Распределенный брэгговский отражатель
• Волоконная решетка Брэгга
• Оптическая микрополость
• Интерференция тонкой пленки
• Ширина линии лазера

Примечания

1. Перо часто писал свою фамилию с ударением — Pérot — в научных публикациях, поэтому название интерферометра обычно пишется с ударением. Métivier, Françoise (сентябрь–октябрь 2006 г.). "Jean-Baptiste Alfred Perot" (PDF) . Photoniques (на французском) (25). Архивировано из оригинала (PDF) 2007-11-10 . Получено 2007-10-02 .Страница 2: «Перо или Перо?»
2. Фабри, К; Перо, А (1899). «Теория и приложения нового метода интерференционной спектроскопии». Энн. Хим. Физ . 16 (7).
3. Перо, А.; Фабри, К. (1899). «О применении явлений интерференции к решению различных задач спектроскопии и метрологии». Astrophysical Journal . 9 : 87. Bibcode : 1899ApJ.....9...87P. doi : 10.1086/140557 .
4. Оксфордский словарь английского языка
5. Уильямс, Бенджамин С. (2007). "Терагерцовые квантово-каскадные лазеры" (PDF) . Nature Photonics . 1 (9): 517–525. Bibcode :2007NaPho...1..517W. doi :10.1038/nphoton.2007.166. hdl : 1721.1/17012 . ISSN  1749-4885. S2CID  29073195.
6. Васиредди, С. (май 2024 г.). «Универсальная спектроскопическая камера для одноплатных компьютеров». Optik . 302 : 171710. doi : 10.1016/j.ijleo.2024.171710.
7. Мукунт, Васудеван (15.12.2016). «Метановый прибор миссии орбитального аппарата ISRO Mars имеет сбой». The Wire . Получено 21.12.2019 .
8. Клотц, Ирен (2016-12-07). «Индийская миссия по исследованию Марса имеет проблему с метаном». Seeker.com . Получено 21-12-2019 .
9. Mik, JLH (2019). "Высокочастотный волоконный кольцевой резонатор для спектральной фильтрации усилителей мощности задающего генератора". OSA Continuum . 2 (8): 2487. doi : 10.1364/osac.2.002487 . hdl : 2440/126128 . S2CID 201269198. Архивировано из оригинала 2 апреля 2024 г. Получено 24 июня 2022 г. – через Optica Publishing Group. 
10. Исмаил, Н.; Корес, К.К.; Гескус, Д.; Поллнау, М. (2016). «Резонатор Фабри–Перо: формы спектральных линий, общие и связанные распределения Эйри, ширина линий, тонкости и производительность при низкой или частотно-зависимой отражательной способности». Optics Express . 24 (15): 16366–16389. Bibcode :2016OExpr..2416366I. doi : 10.1364/OE.24.016366 . PMID  27464090.
11. Pollnau, M. (2018). «Встречные моды в резонаторе типа Фабри–Перо». Optics Letters . 43 (20): 5033–5036. Bibcode : 2018OptL...43.5033P. doi : 10.1364/OL.43.005033. PMID  30320811. S2CID  52983022.
12. AE Siegman, «Лазеры», University Science Books, Mill Valley, Калифорния, 1986, гл. 11.3, стр. 413-428.
13. О. Свелто, «Принципы лазеров», 5-е изд., Springer, Нью-Йорк, 2010, гл. 4.5.1, стр. 142-146.
14. Pollnau, M.; Eichhorn, M. (2020). "Спектральная когерентность, часть I: ширина линии пассивного резонатора, ширина линии фундаментального лазера и приближение Шавлова-Таунса". Прогресс в квантовой электронике . 72 : 100255. Bibcode :2020PQE....7200255P. doi : 10.1016/j.pquantelec.2020.100255 .
15. Липсон, С.Г.; Липсон, Х.; Таннхаузер, Д.С. (1995). Оптическая физика (3-е изд.). Лондон: Cambridge UP, стр. 248. ISBN 0-521-06926-2.
16. Coldren, LA; Corzine, SW; Mašanović, ML (2012). Диодные лазеры и фотонные интегральные схемы (2-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Wiley. стр. 58. ISBN 978-0-470-48412-8.

Ссылки

• Эрнандес, Г. (1986). Интерферометры Фабри–Перо . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-32238-3.

Внешние ссылки

• Усовершенствованная разработка эталонов — Precision Photonics Corporation