Факториальный момент

Ожидание или среднее значение падающего факториала случайной величины

В теории вероятностей факториальный момент — это математическая величина, определяемая как ожидание или среднее значение падающего факториала случайной величины . Факториальные моменты полезны для изучения неотрицательных целочисленных случайных величин, ^[1] и возникают при использовании функций генерации вероятностей для вывода моментов дискретных случайных величин.

Факториальные моменты служат аналитическими инструментами в математической области комбинаторики, которая изучает дискретные математические структуры. ^[2]

Определение

Для натурального числа r , r -й факториальный момент распределения вероятностей действительных или комплексных чисел, или, другими словами, случайная величина X с этим распределением вероятностей, равна ^[3]

${\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}=\operatorname {E} {\bigl [}X(X-1)(X-2)\cdots (X-r+1){\bigr ]},}$

где E — ожидание ( оператор ) и

${\displaystyle (x)_{r}:=\underbrace {x(x-1)(x-2)\cdots (x-r+1)} _{r{\text{ factors}}}\equiv {\frac {x!}{(x-r)!}}}$

является падающим факториалом , что и дало название, хотя обозначение ( x ) _r различается в зависимости от математической области. ^[a] Конечно, определение требует, чтобы ожидание было осмысленным, что имеет место, если ( X ) _r ≥ 0 или E[|( X ) _r |] < ∞ .

Если X — число успехов в n испытаниях, а p _r — вероятность того, что любые r из n испытаний окажутся успешными, то ^[5]

${\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}=n(n-1)(n-2)\cdots (n-r+1)p_{r}}$

Примеры

Распределение Пуассона

Если случайная величина X имеет распределение Пуассона с параметром λ , то факториальные моменты X равны

${\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}=\lambda ^{r},}$

которые являются простыми по форме по сравнению с его моментами , которые включают числа Стирлинга второго рода .

Биномиальное распределение

Если случайная величина X имеет биномиальное распределение с вероятностью успеха p ∈ [0,1] и числом испытаний n , то факториальные моменты X равны ^[6]

${\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}={\binom {n}{r}}p^{r}r!=(n)_{r}p^{r},}$

где по соглашению и понимаются равными нулю, если r > n . ${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{r}}}$ ${\displaystyle (n)_{r}}$

Гипергеометрическое распределение

Если случайная величина X имеет гипергеометрическое распределение с размером популяции N , числом успешных состояний K ∈ {0,..., N } в популяции и числом розыгрышей n ∈ {0,..., N }, то факториальные моменты X равны ^[6]

${\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}={\frac {{\binom {K}{r}}{\binom {n}{r}}r!}{\binom {N}{r}}}={\frac {(K)_{r}(n)_{r}}{(N)_{r}}}.}$

Бета-биномиальное распределение

Если случайная величина X имеет бета-биномиальное распределение с параметрами α > 0 , β > 0 и числом испытаний n , то факториальные моменты X равны

${\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}={\binom {n}{r}}{\frac {B(\alpha +r,\beta )r!}{B(\alpha ,\beta )}}=(n)_{r}{\frac {B(\alpha +r,\beta )}{B(\alpha ,\beta )}}}$

Расчет моментов

R - й сырой момент случайной величины X может быть выражен через ее факториальные моменты по формуле

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{r}]=\sum _{j=1}^{r}\left\{{r \atop j}\right\}\operatorname {E} [(X)_{j}],}$

где фигурные скобки обозначают числа Стирлинга второго рода .

Смотрите также

• Факториальная мера момента
• Момент (математика)
• Кумулянт
• Функция генерации факториального момента

Примечания

1. Символ Похгаммера ( x ) _r используется в основном в теории специальных функций для обозначения убывающего факториала x ( x -1)( x -2)...( x - r +1) ;. ^[4] тогда как современная нотация чаще используется в комбинаторике .

Ссылки

1. DJ Daley и D. Vere-Jones. Введение в теорию точечных процессов. Том I. Вероятность и ее приложения (Нью-Йорк). Springer, Нью-Йорк, второе издание, 2003
2. Риордан, Джон (1958). Введение в комбинаторный анализ . Довер.
3. Риордан, Джон (1958). Введение в комбинаторный анализ . Довер. стр. 30.
4. Цифровая библиотека математических функций NIST . Получено 9 ноября 2013 г.
5. П. В. Кришна Айер. «Теорема о факториальных моментах и ​​ее приложения». Annals of Mathematical Statistics Vol. 29 (1958). Страницы 254-261.
6. Potts, RB (1953). «Заметка о факториальных моментах стандартных распределений». Australian Journal of Physics . 6 (4). CSIRO: 498–499. Bibcode : 1953AuJPh...6..498P. doi : 10.1071/ph530498 .