Золотое правило Ферми

Формула скорости перехода

В квантовой физике золотое правило Ферми — это формула, которая описывает скорость перехода (вероятность перехода в единицу времени) от одного собственного состояния энергии квантовой системы к группе собственных состояний энергии в континууме в результате слабого возмущения . . Эта скорость перехода фактически не зависит от времени (пока сила возмущения не зависит от времени) и пропорциональна силе связи между начальным и конечным состояниями системы (описываемой квадратом матричного элемента возмущение), а также плотность состояний . Это также применимо, когда конечное состояние дискретно, т. е. оно не является частью континуума, если в процессе имеет место некоторая декогеренция , например релаксация или столкновение атомов, или шум в возмущении, и в этом случае плотность состояний заменяется обратной величиной полосы декогеренции.

Историческая справка

Хотя правило названо в честь Энрико Ферми , большая часть работы, приведшей к нему, принадлежит Полю Дираку , который двадцатью годами ранее сформулировал практически идентичное уравнение, включающее три компонента константы, матричный элемент возмущения и энергию разница. ^{[1] [2]} Ему было дано это название, потому что из-за его важности Ферми назвал его «золотым правилом № 2». ^[3]

Большинство использований термина «золотое правило Ферми» относятся к «золотому правилу № 2», но «золотое правило № 1» Ферми имеет аналогичную форму и учитывает вероятность непрямых переходов в единицу времени. ^[4]

Ставка и ее вывод

Золотое правило Ферми описывает систему, которая начинается в собственном состоянии невозмущенного гамильтониана H ₀ и учитывает влияние возмущающего гамильтониана H', примененного к системе. Если H' не зависит от времени, система переходит только в те состояния континуума, которые имеют ту же энергию, что и начальное состояние. Если H' колеблется синусоидально в зависимости от времени (т.е. является гармоническим возмущением) с угловой частотой ω , то происходит переход в состояния с энергиями, отличающимися на ħω от энергии исходного состояния. ${\displaystyle |i\rangle }$

В обоих случаях вероятность перехода в единицу времени из начального состояния в набор конечных состояний по существу постоянна. В первом приближении оно определяется выражением ${\displaystyle |i\rangle }$ ${\displaystyle |f\rangle }$

$${\displaystyle \Gamma _{i\to f}={\frac {2\pi }{\hbar }}\left|\langle f|H'|i\rangle \right|^{2}\rho (E_{f}),}$$

матричный элементобозначениях бра–кетаH'плотность состоянийвремени жизни ${\displaystyle \langle f|H'|i\rangle }$ ${\displaystyle \rho (E_{f})}$ ${\displaystyle dE}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E+dE}$ ${\displaystyle E_{f}}$ ${\displaystyle |i\rangle }$ ${\displaystyle e^{-\Gamma _{i\to f}t}}$

Стандартный способ вывода уравнения — начать с теории возмущений, зависящей от времени, и принять предел поглощения в предположении, что время измерения намного больше, чем время, необходимое для перехода. ^{[5] [6]}

В золотое правило Ферми входит только величина матричного элемента . Однако фаза этого матричного элемента содержит отдельную информацию о переходном процессе. Он появляется в выражениях, которые дополняют золотое правило в подходе к переносу электронов, основанном на квазиклассическом уравнении Больцмана . ^[9] ${\displaystyle \langle f|H'|i\rangle }$

Хотя золотое правило обычно формулируется и выводится в терминах, приведенных выше, волновая функция конечного состояния (континуума) часто описывается довольно расплывчато и не нормируется правильно (и нормализация используется при выводе). Проблема в том, что для создания континуума не может быть пространственного ограничения (что обязательно приведет к дискретизации спектра), и поэтому волновые функции континуума должны иметь бесконечную протяженность, а это, в свою очередь, означает, что нормализация бесконечна, а не равна единице. Если взаимодействия зависят от энергии состояния континуума, но не от каких-либо других квантовых чисел, обычно нормализуют волновые функции континуума с энергией, обозначенной , записывая где - дельта-функция Дирака и фактически фактор квадратного корня плотности состояний входит в . ^[10] В этом случае волновая функция континуума имеет размеры , и Золотое правило теперь ${\textstyle \langle f|f\rangle =\int d^{3}\mathbf {r} \left|f(\mathbf {r} )\right|^{2}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle |\varepsilon \rangle }$ ${\displaystyle \langle \varepsilon |\varepsilon '\rangle =\delta (\varepsilon -\varepsilon ')}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle |\varepsilon _{i}\rangle }$ ${\textstyle 1/{\sqrt {\text{[energy]}}}}$

$${\displaystyle \Gamma _{i\to \varepsilon _{i}}={\frac {2\pi }{\hbar }}|\langle \varepsilon _{i}|H'|i\rangle |^{2}.}$$

^[11] ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle i}$

Нормализованный вывод в нестационарной теории возмущений

Ниже перефразируется трактовка Коэна-Таннуджи. ^[10] Как и ранее, полный гамильтониан представляет собой сумму «исходного» гамильтониана H ₀ и возмущения: . Мы все еще можем расширить временную эволюцию произвольного квантового состояния с точки зрения собственных энергетических состояний невозмущенной системы, но теперь они состоят из дискретных состояний и состояний континуума. Мы предполагаем, что взаимодействия зависят от энергии состояния континуума, а не от каких-либо других квантовых чисел. Расширение в соответствующих состояниях в картине Дирака равно ${\displaystyle H=H_{0}+H'}$

$${\displaystyle |\psi (t)\rangle =a_{i}e^{-\mathrm {i} \omega _{i}t}|i\rangle +\int _{C}d\varepsilon a_{\varepsilon }e^{-\mathrm {i} \omega t}|\varepsilon \rangle ,}$$

где , и – энергии состояний соответственно. Интеграл находится по континууму , т.е. находится в континууме. ${\displaystyle \omega _{i}=\varepsilon _{i}/\hbar }$ ${\displaystyle \omega =\varepsilon /\hbar }$ ${\displaystyle \varepsilon _{i},\varepsilon }$ ${\displaystyle |i\rangle ,|\varepsilon \rangle }$ ${\displaystyle \varepsilon \in C}$ ${\displaystyle |\varepsilon \rangle }$

Подставляя в зависящее от времени уравнение Шредингера

$${\displaystyle H|\psi (t)\rangle =\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle }$$

и предварительное умножение на продукты ${\displaystyle \langle i|}$

$${\displaystyle {\frac {da_{i}(t)}{dt}}=-\mathrm {i} \int _{C}d\varepsilon \Omega _{i\varepsilon }e^{-\mathrm {i} (\omega -\omega _{i})t}a_{\varepsilon }(t),}$$

где и предварительное умножение на дает ${\displaystyle \Omega _{i\varepsilon }=\langle i|H'|\varepsilon \rangle /\hbar }$ ${\displaystyle \langle \varepsilon '|}$

$${\displaystyle {\frac {da_{\varepsilon }(t)}{dt}}=-\mathrm {i} \Omega _{\varepsilon i}e^{\mathrm {i} (\omega -\omega _{i})t}a_{i}(t).}$$

Мы воспользовались нормализацией . Интегрируя последнее и подставляя в первое, ${\displaystyle \langle \varepsilon '|\varepsilon \rangle =\delta (\varepsilon '-\varepsilon )}$

$${\displaystyle {\frac {da_{i}(t)}{dt}}=-\int _{C}d\varepsilon \Omega _{i\varepsilon }\Omega _{\varepsilon i}\int _{0}^{t}dt'e^{-\mathrm {i} (\omega -\omega _{i})(t-t')}a_{i}(t').}$$

Здесь видно, что время зависит от всех более ранних моментов времени , т.е. оно немарковское . Мы делаем марковское приближение, т. е. то, что оно зависит только от времени (которое менее ограничительно, чем использованное выше приближение, и позволяет возмущению быть сильным) ${\displaystyle da_{i}/dt}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle t'}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle a_{i}\approx 1}$

$${\displaystyle {\frac {da_{i}(t)}{dt}}=\int _{C}d\varepsilon |\Omega _{i\varepsilon }|^{2}a_{i}(t)\int _{0}^{t}dTe^{-\mathrm {i} \Delta T},}$$

где и . Интегрируя более , ${\displaystyle T=t-t'}$ ${\displaystyle \Delta =\omega -\omega _{i}}$ ${\displaystyle T}$

$${\displaystyle {\frac {da_{i}(t)}{dt}}=-2\pi \hbar \int _{C}d\varepsilon |\Omega _{i\varepsilon }|^{2}a_{i}(t){\frac {e^{-\mathrm {i} \Delta t/2}\sin(\Delta t/2)}{\pi \hbar \Delta }},}$$

Дробь справа представляет собой зарождающуюся дельта-функцию Дирака , что означает, что она стремится к такой же (игнорируя ее мнимую часть, которая приводит к незначительному сдвигу энергии, в то время как действительная часть вызывает распад ^[10] ). Окончательно ${\displaystyle \delta (\varepsilon -\varepsilon _{i})}$ ${\displaystyle t\to \infty }$

$${\displaystyle {\frac {da_{i}(t)}{dt}}=-2\pi \hbar |\Omega _{i\varepsilon _{i}}|^{2}a_{i}(t),}$$

которые могут иметь решения: , т. е. распад популяции в начальном дискретном состоянии есть где ${\displaystyle a_{i}(t)=\exp(-\Gamma _{i\to \varepsilon _{i}}t/2)}$ ${\displaystyle P_{i}(t)=|a_{i}(t)|^{2}=\exp(-\Gamma _{i\to \varepsilon _{i}}t)}$

$${\displaystyle \Gamma _{i\to \varepsilon _{i}}=2\pi \hbar |\Omega _{i\varepsilon _{i}}|^{2}={\frac {2\pi }{\hbar }}|\langle i|H'|\varepsilon \rangle |^{2}.}$$

Приложения

Полупроводники

Золотое правило Ферми можно использовать для расчета вероятности перехода электрона, возбуждаемого фотоном, из валентной зоны в зону проводимости в полупроводнике с прямой запрещенной зоной, а также для случаев, когда электрон рекомбинирует с дыркой и излучает фотон. ^[12] Рассмотрим фотон с частотой и волновым вектором , где соотношение дисперсии света равно и показатель преломления. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\textbf {q}}}$ ${\displaystyle \omega =(c/n)\left|{\textbf {q}}\right|}$ ${\displaystyle n}$

Используя кулоновскую калибровку где и , векторный потенциал света определяется как где результирующее электрическое поле ${\displaystyle \nabla \cdot {\textbf {A}}=0}$ ${\displaystyle V=0}$ ${\displaystyle {\textbf {A}}=A_{0}{\boldsymbol {\varepsilon }}e^{\mathrm {i} ({\textbf {q}}\cdot {\textbf {r}}-\omega t)}+C}$

$${\displaystyle {\textbf {E}}=-{\frac {\partial {\textbf {A}}}{\partial t}}=\mathrm {i} \omega A_{0}{\boldsymbol {\varepsilon }}e^{\mathrm {i} .({\textbf {q}}\cdot {\textbf {r}}-\omega t)}.}$$

Для электрона в валентной зоне гамильтониан имеет вид

$${\displaystyle H={\frac {({\textbf {p}}+e{\textbf {A}})^{2}}{2m_{0}}}+V({\textbf {r}}),}$$

${\displaystyle V({\textbf {r}})}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ ${\displaystyle {\textbf {A}}}$

$${\displaystyle H=H_{0}+H'=\left[{\frac {{\textbf {p}}^{2}}{2m_{0}}}+V({\textbf {r}})\right]+\left[{\frac {e}{2m_{0}}}({\textbf {p}}\cdot {\textbf {A}}+{\textbf {A}}\cdot {\textbf {p}})\right],}$$

${\displaystyle H'}$

С этого момента мы рассматриваем вертикальный оптический дипольный переход и, таким образом, имеем вероятность перехода, основанную на зависящей от времени теории возмущений, которая

$${\displaystyle \Gamma _{if}={\frac {2\pi }{\hbar }}\left|\langle f|H'|i\rangle \right|^{2}\delta (E_{f}-E_{i}\pm \hbar \omega ),}$$

$${\displaystyle H'\approx {\frac {eA_{0}}{m_{0}}}{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \mathbf {p} ,}$$

${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$ ${\displaystyle |i\rangle }$ ${\displaystyle |f\rangle }$ ${\displaystyle \delta (E_{f}-E_{i}\pm \hbar \omega )}$

Для начального и конечного состояний в валентной зоне и зоне проводимости мы имеем и , соответственно, и если оператор не действует на спин, электрон остается в том же спиновом состоянии, и, следовательно, мы можем записать волновую функцию Блоха начального и конечного состояний как ${\displaystyle |i\rangle =\Psi _{v,{\textbf {k}}_{i},s_{i}}({\textbf {r}})}$ ${\displaystyle |f\rangle =\Psi _{c,{\textbf {k}}_{f},s_{f}}({\textbf {r}})}$ ${\displaystyle H'}$

$${\displaystyle \Psi _{v,{\textbf {k}}_{i}}({\textbf {r}})={\frac {1}{\sqrt {N\Omega _{0}}}}u_{n_{v},{\textbf {k}}_{i}}({\textbf {r}})e^{i{\textbf {k}}_{i}\cdot {\textbf {r}}},}$$

$${\displaystyle \Psi _{c,{\textbf {k}}_{f}}({\textbf {r}})={\frac {1}{\sqrt {N\Omega _{0}}}}u_{n_{c},{\textbf {k}}_{f}}({\textbf {r}})e^{i{\textbf {k}}_{f}\cdot {\textbf {r}}},}$$

фотолюминесценции ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Omega _{0}}$

$${\displaystyle \Gamma _{cv}={\frac {2\pi }{\hbar }}\left({\frac {eA_{0}}{m_{0}}}\right)^{2}|{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\boldsymbol {\mu }}_{cv}({\textbf {k}})|^{2}\delta (E_{c}-E_{v}-\hbar \omega ),}$$

дипольный момент оптического перехода, ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{cv}}$ ${\displaystyle \langle c|({\text{charge}})\times ({\text{distance}})|v\rangle }$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{cv}=-{\frac {i\hbar }{\Omega _{0}}}\int _{\Omega _{0}}d{\textbf {r}}'u_{n_{c},{\textbf {k}}}^{*}({\textbf {r}}')\nabla u_{n_{v},{\textbf {k}}}({\textbf {r}}').}$$

Наконец, мы хотим знать общую скорость перехода . Следовательно, нам нужно суммировать по всем возможным начальным и конечным состояниям, которые могут удовлетворять закону сохранения энергии (т.е. интегралу зоны Бриллюэна в k -пространстве), и учитывать спиновое вырождение, что после расчета приводит к ${\displaystyle \Gamma (\omega )}$

$${\displaystyle \Gamma (\omega )={\frac {4\pi }{\hbar }}\left({\frac {eA_{0}}{m_{0}}}\right)^{2}|{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\boldsymbol {\mu }}_{cv}|^{2}\rho _{cv}(\omega )}$$

совместная плотность состояний валентной проводимости ${\displaystyle \rho _{cv}(\omega )}$

$${\displaystyle \rho _{cv}(\omega )=2\pi \left({\frac {2m^{*}}{\hbar ^{2}}}\right)^{3/2}{\sqrt {\hbar \omega -E_{g}}},}$$

Заметим, что в общем виде золотое правило Ферми для полупроводников можно выразить как ^[13]

$${\displaystyle \Gamma _{vc}={\frac {2\pi }{\hbar }}\int _{\text{BZ}}{\frac {d{\textbf {k}}}{4\pi ^{3}}}|H_{vc}'|^{2}\delta (E_{c}({\textbf {k}})-E_{v}({\textbf {k}})-\hbar \omega ).}$$

Точно так же стационарный фототок, пропорциональный интенсивности света, равен

$${\displaystyle {\textbf {J}}=-{\frac {2\pi e\tau }{\hbar }}\sum _{i,f}\int _{\text{BZ}}{\frac {d{\textbf {k}}}{(2\pi )^{D}}}|{\textbf {v}}_{i}-{\textbf {v}}_{f}|(f_{i}({\textbf {k}})-f_{f}({\textbf {k}}))|H_{if}'|^{2}\delta (E_{f}({\textbf {k}})-E_{i}({\textbf {k}})-\hbar \omega ),}$$

${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\textbf {v}}_{i}-{\textbf {v}}_{f}}$ ${\displaystyle f_{i}({\textbf {k}})-f_{f}({\textbf {k}})}$ ${\displaystyle |H_{if}'|^{2}}$ ${\displaystyle {\textbf {r}}}$ ${\displaystyle \langle i|{\textbf {p}}|f\rangle =-im_{0}\omega \langle i|{\textbf {r}}|f\rangle }$

Сканирующая туннельная микроскопия

В сканирующем туннельном микроскопе золотое правило Ферми используется для определения туннельного тока. Он принимает форму

$${\displaystyle w={\frac {2\pi }{\hbar }}|M|^{2}\delta (E_{\psi }-E_{\chi }),}$$

${\displaystyle M}$

Квантовая оптика

При рассмотрении переходов энергетических уровней между двумя дискретными состояниями золотое правило Ферми записывается как

$${\displaystyle \Gamma _{i\to f}={\frac {2\pi }{\hbar }}\left|\langle f|H'|i\rangle \right|^{2}g(\hbar \omega ),}$$

фотонаугловая частота^[14] ${\displaystyle g(\hbar \omega )}$ ${\displaystyle \hbar \omega }$ ${\displaystyle \omega }$

Дрексхаге эксперимент

Как диаграмма направленности, так и полная излучаемая мощность (которая пропорциональна скорости затухания) диполя зависят от его расстояния от зеркала.

Золотое правило Ферми предсказывает, что вероятность распада возбужденного состояния зависит от плотности состояний. В этом можно убедиться экспериментально, измерив скорость затухания диполя возле зеркала: поскольку наличие зеркала создает области с более высокой и низкой плотностью состояний, измеренная скорость затухания зависит от расстояния между зеркалом и диполем. ^{[15] [16]}

Смотрите также

• Экспоненциальный затух  – уменьшение стоимости со скоростью, пропорциональной текущему значению.
• Список вещей, названных в честь Энрико Ферми
• Распад частицы  - спонтанный распад нестабильной субатомной частицы на другие частицы.
• Функция Sinc  – специальная математическая функция, определяемая как sin(x)/x.
• Теория возмущений, зависящая от времени  - Приближенное моделирование квантовой системыPages displaying short descriptions of redirect targets
• Правило Сарджента

Рекомендации

1. Брансден, Британская Колумбия; Хоахейн, CJ (1999). Квантовая механика (2-е изд.). Прентис Холл. п. 443. ИСБН 978-0582356917.
2. Дирак, PAM (1 марта 1927 г.). «Квантовая теория испускания и поглощения излучения». Труды Королевского общества А. 114 (767): 243–265. Бибкод : 1927RSPSA.114..243D. дои : 10.1098/rspa.1927.0039 . JSTOR  94746.См. уравнения (24) и (32).
3. Ферми, Э. (1950). Ядерная физика . Издательство Чикагского университета. ISBN 978-0226243658.формула VIII.2
4. Ферми, Э. (1950). Ядерная физика . Издательство Чикагского университета. ISBN 978-0226243658.формула VIII.19
5. Заметки Р. Швиттерса UT о выводе.
6. Он примечателен тем, что скорость постоянна , а не увеличивается линейно во времени, как можно было бы наивно ожидать для переходов со строгим сохранением энергии. Это происходит из-за интерференции осциллирующих вкладов переходов в многочисленные состояния континуума с лишь приблизительным сохранением невозмущенной энергии, см. Вольфганг Паули , Волновая механика: Том 5 лекций Паули по физике (Dover Books on Physics, 2000) ISBN 0486414620 , стр. 150– 151. 
7. Ландау, Л.Д., и Лифшиц, Э.М. (2013). Квантовая механика: нерелятивистская теория (Том 3). Эльзевир.
8. Мерцбахер, Ойген (1998). «19,7» (PDF) . Квантовая механика (3-е изд.). ISBN Wiley, John & Sons, Inc. 978-0-471-88702-7.
9. Н. А. Синицын, К. Ню и А. Х. Макдональд (2006). «Сдвиг координат в квазиклассическом уравнении Больцмана и аномальный эффект Холла». Физ. Преподобный Б. 73 (7): 075318. arXiv : cond-mat/0511310 . Бибкод : 2006PhRvB..73g5318S. doi : 10.1103/PhysRevB.73.075318. S2CID  119476624.
10. Коэн-Таннуджи, Клод ; Диу, Бернар; Лалоэ, Франк (1977). Квантовая механика Том II Глава XIII Дополнение D_{XIII} . Уайли. ISBN 978-0471164333.
11. Бете, Ганс ; Солпитер, Эдвин (1977). Квантовая механика одно- и двухэлектронных атомов . Спрингер, Бостон, Массачусетс. ISBN 978-0-306-20022-9.
12. Ю, Питер Ю.; Кардона, Мануэль (2010). Основы полупроводников - физика и свойства материалов (4-е изд.). Спрингер. п. 260. дои : 10.1007/978-3-642-00710-1. ISBN 978-3-642-00709-5.
13. Эдвинссон, Т. (2018). «Оптическое квантовое ограничение и фотокаталитические свойства в дву-, одно- и нульмерных наноструктурах». Королевское общество открытой науки . 5 (9): 180387. Бибкод : 2018RSOS....580387E. дои : 10.1098/rsos.180387. ISSN  2054-5703. ПМК 6170533 . ПМИД  30839677. 
14. Фокс, Марк (2006). Квантовая оптика: Введение . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. п. 51. ИСБН 9780198566731.
15. К. Х. Дрексхаге; Х. Кун; Ф.П. Шефер (1968). «Изменение времени затухания флуоресценции молекулы перед зеркалом». Berichte der Bunsengesellschaft für Physikalische Chemie . 72 (2): 329. doi :10.1002/bbpc.19680720261. S2CID  94677437.
16. К. Х. Дрексхаге (1970). «Влияние диэлектрической границы раздела на время затухания флуоресценции». Журнал люминесценции . 1 : 693–701. Бибкод : 1970JLum....1..693D. дои : 10.1016/0022-2313(70)90082-7.

Внешние ссылки

• Дополнительная информация о золотом правиле Ферми
• Вывод золотого правила Ферми.
• Нестационарная теория возмущений
• Золотое правило Ферми: его вывод и нарушение с помощью идеальной модели