В математической логике формальное вычисление или формальная операция — это вычисление, которое является систематическим, но не имеет строгого обоснования . Оно включает в себя манипулирование символами в выражении с использованием общей подстановки без доказательства того, что выполняются необходимые условия. По сути, оно включает в себя форму выражения без рассмотрения его основного смысла. Это рассуждение может служить либо положительным доказательством того, что некоторое утверждение истинно, когда трудно или ненужно предоставить доказательство, либо вдохновением для создания новых (совершенно строгих) определений.
Однако такое толкование термина «формальный» не является общепринятым, и некоторые считают, что он означает совершенно противоположное: совершенно строгий аргумент, как в формальной математической логике .
Формальные вычисления могут привести к результатам, которые неверны в одном контексте, но верны в другом контексте. Уравнение
выполняется, если q имеет абсолютное значение меньше 1. Игнорирование этого ограничения и замена q = 2 на приводит к
Подстановка q = 2 в доказательство первого уравнения дает формальное вычисление, которое производит последнее уравнение. Но оно неверно для действительных чисел, поскольку ряд не сходится. Однако в других контекстах (например, работая с 2-адическими числами или с целыми числами по модулю степени 2 ) ряд сходится. Формальное вычисление подразумевает, что последнее уравнение должно быть допустимым в этих контекстах.
Другой пример получается путем подстановки q =-1. Результирующий ряд 1-1+1-1+... расходится (по действительным и p-адическим числам ), но ему можно присвоить значение альтернативным методом суммирования, например, суммированием Чезаро . Результирующее значение 1/2 совпадает с полученным формальным вычислением.
Формальный степенной ряд — это концепция, которая принимает форму степенного ряда из вещественного анализа . Слово «формальный» указывает на то, что ряд не обязательно сходится. В математике, и особенно в алгебре, формальный ряд — это бесконечная сумма, которая рассматривается независимо от любого понятия сходимости и может манипулироваться с помощью алгебраических операций над рядами (сложение, вычитание, умножение, деление, частичные суммы и т. д.).
Формальный степенной ряд — это особый вид формального ряда, который можно рассматривать как обобщение полинома, где число членов может быть бесконечным, без требований сходимости. Таким образом, ряд больше не может представлять функцию своей переменной, а только формальную последовательность коэффициентов, в отличие от степенного ряда, который определяет функцию, принимая числовые значения для переменной в радиусе сходимости. В формальном степенном ряду степени переменной используются только как держатели позиций для коэффициентов, так что коэффициент является пятым членом в последовательности. В комбинаторике метод генерации функций использует формальные степенные ряды для представления числовых последовательностей и мультимножеств, например, позволяя краткие выражения для рекурсивно определенных последовательностей независимо от того, может ли рекурсия быть явно решена. В более общем смысле формальный степенной ряд может включать ряды с любым конечным (или счетным) числом переменных и с коэффициентами в произвольном кольце.
Кольца формальных степенных рядов являются полными локальными кольцами, которые поддерживают методы исчисления в чисто алгебраических рамках алгебраической геометрии и коммутативной алгебры . Они аналогичны p-адическим целым числам, которые можно определить как формальные ряды степеней p.
Решить дифференциальное уравнение
Эти символы можно рассматривать как обычные алгебраические символы, и, не давая никаких обоснований относительно действительности этого шага, мы берем обратные величины обеих сторон:
Простая первообразная :
Поскольку это формальный расчет, допустимо допустить и получить другое решение:
Окончательные решения можно проверить, чтобы убедиться, что они решают уравнение.
Перекрестное произведение можно выразить как следующий определитель :
где — положительно ориентированный ортонормированный базис трехмерного ориентированного евклидова векторного пространства , а — скаляры такие, что , и аналогично для .
