Гипотеза множественности Серра

В математике гипотезы множественности Серра , названные в честь Жана-Пьера Серра , представляют собой определенные проблемы коммутативной алгебры , мотивированные потребностями алгебраической геометрии . С момента первоначального определения Андре Вейлем чисел пересечения около 1949 года возник вопрос о том, как обеспечить более гибкую и вычислимую теорию, к которой стремился обратиться Серр. В 1958 году Серр понял, что классические алгебро-геометрические идеи множественности можно обобщить с помощью понятий гомологической алгебры .

Пусть R — нётерово , коммутативное , регулярное локальное кольцо , а P и Q — простые идеалы кольца R. Серр определил кратность пересечения R / P и R / Q с помощью их функторов Tor . Ниже обозначает длину модуля , и мы предполагаем в оставшейся части статьи, что ${\displaystyle \ell _{R}(M)}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \ell _{R}((R/P)\otimes _{R}(R/Q))<\infty .}$

Серр определил кратность пересечения R / P и R / Q с помощью формулы, подобной характеристике Эйлера :

${\displaystyle \chi (R/P,R/Q):=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\ell _{R}(\operatorname {Tor} _{i}^{R}(R/P,R/Q)).}$

Для того чтобы это определение обеспечивало хорошее обобщение классической кратности пересечения, хотелось бы, чтобы определенные классические соотношения продолжали выполняться. Серр выделил четыре важных свойства, которые стали гипотезами кратности и которые сложно доказать в общем случае. (Утверждения этих гипотез можно обобщить так, чтобы R / P и R / Q были заменены произвольными конечно порожденными модулями: см. Serre's Local Algebra для более подробной информации.)

Неравенство размеров

${\displaystyle \dim(R/P)+\dim(R/Q)\leq \dim(R)}$

Серр доказал это для всех регулярных локальных колец. Он установил следующие три свойства, когда R имеет либо одинаковую характеристику, либо смешанную характеристику и неразветвлено (что в этом случае означает, что характеристика поля вычетов не является элементом квадрата максимального идеала локального кольца), и предположил, что они выполняются в общем случае.

Неотрицательность

${\displaystyle \chi (R/P,R/Q)\geq 0}$

Это доказал Офер Габбер в 1995 году.

Исчезающий

Если

${\displaystyle \dim(R/P)+\dim(R/Q)<\dim(R)\ }$

затем

${\displaystyle \chi (R/P,R/Q)=0.\ }$

Это было доказано в 1985 году Полом К. Робертсом и независимо Анри Жилле и Кристофом Суле .

Позитивность

Если

${\displaystyle \dim(R/P)+\dim(R/Q)=\dim(R)\ }$

затем

${\displaystyle \chi (R/P,R/Q)>0.\ }$

Этот вопрос остается открытым.

Смотрите также

• Гомологические гипотезы в коммутативной алгебре

Ссылки

• Серр, Жан-Пьер (2000), Локальная алгебра , Springer Monographs in Mathematics, Берлин: Springer, стр. 106–110, doi :10.1007/978-3-662-04203-8, ISBN 978-3-642-08590-1, г-н  1771925
• Робертс, Пол (1985), «Исчезновение кратностей пересечения совершенных комплексов», Бюллетень Американского математического общества , 13 (2), Bull. Amer. Math. Soc. 13, № 2: 127–130, doi : 10.1090/S0273-0979-1985-15394-7 , MR  0799793
• Робертс, Пол (1998), Последние разработки в области гипотез множественности Серра: доказательство Габбера гипотезы неотрицательности , L' Enseign. Math. (2) 44, № 3-4, стр. 305–324, MR  1659224
• Бертло, Пьер (1997), Изменения в алгебре (d'après AJ de Jong) , Séminaire Bourbaki, Vol. 1995/96, Asterisque № 241, стр. 273–311, MR  1472543.
• Жилле, Х.; Соуле, К. (1987), «Теория пересечений с использованием операций Адамса», Inventiones Mathematicae , 90 (2), Invent. Math. 90, № 2: 243–277, Bibcode : 1987InMat..90..243G, doi : 10.1007/BF01388705, MR  0910201, S2CID  120635826
• Габбер, О. (1995), Неотрицательность кратностей пересечения Серра , Exposé à L'IHES