Список принудительных понятий

В математике принуждение — это метод построения новых моделей M [ G ] теории множеств путем добавления общего подмножества G частично упорядоченного множества P к модели M . Используемое частично упорядоченное множество P будет определять, какие утверждения верны в новой вселенной («расширение»); для принуждения интересующего утверждения, таким образом, требуется построение подходящего P . В этой статье перечислены некоторые частично упорядоченные множества P , которые использовались в этом построении.

Обозначение

• P — это частично упорядоченное множество с порядком <
• V — вселенная всех множеств
• M — счетная транзитивная модель теории множеств
• G — это общее подмножество P над M.

Определения

• P удовлетворяет счетному цепочечному условию , если каждая антицепь в P не более чем счетна. Это подразумевает, что V и V [ G ] имеют одинаковые кардиналы (и одинаковые конфинальности).
• Подмножество D множества P называется плотным , если для каждого p ∈ P существует некоторое q ∈ D с q ≤ p .
• Фильтр на P — это непустое подмножество F множества P , такое что если p < q и p ∈ F , то q ∈ F , а если p ∈ F и q ∈ F , то существует некоторое r ∈ F , такое что r ≤ p и r ≤ q .
• Подмножество G множества P называется общим над M , если оно является фильтром, который соответствует каждому плотному подмножеству P в M.

Вытеснение амёбы

Принуждение амебы осуществляется с использованием порядка амебы и добавляет набор случайных действительных чисел размером 1.

Коэн заставляет

В форсинге Коэна (названном в честь Пола Коэна ) P — это множество функций из конечного подмножества ω2 _× ω в {0,1} и p < q , если p ⊇ q .

Этот посет удовлетворяет счетному цепному условию. Форсинг с этим посетом добавляет ω ₂ различных вещественных чисел в модель; это был посет, использованный Коэном в его первоначальном доказательстве независимости гипотезы континуума.

В более общем случае можно заменить ω ₂ любым кардиналом κ, чтобы построить модель, в которой континуум имеет размер не менее κ. Здесь нет ограничений. Если κ имеет конфинальность ω, мощность вещественных чисел оказывается больше κ.

Григорьев форсинг

Принуждение Григорьева (по Сержу Григорьеву) уничтожает свободный ультрафильтр на ω.

Гехлер форсирование

Форсинг Гехлера (в честь Стивена Германа Гехлера) используется для того, чтобы показать, что аксиома Мартина подразумевает, что каждое семейство функций, меньших c , от ω до ω в конечном итоге доминируется некоторой такой функцией.

P — это множество пар ( s , E ) , где s — конечная последовательность натуральных чисел (рассматриваемых как функции от конечного ординала до ω), а E — конечное подмножество некоторого фиксированного множества G функций от ω до ω. Элемент ( s , E ) сильнее, чем ( t , F ), если t содержится в s , F содержится в E , и если k находится в области определения s , но не в области определения t , то s ( k ) > h ( k ) для всех h из F.

Форсирование Джокуша–Соаре

Форсинг с классами был изобретен Робертом Соаре и Карлом Джокушем для доказательства, среди прочих результатов, теоремы о низком базисе . Здесь P — это множество непустых подмножеств (имея в виду множества путей через бесконечные вычислимые поддеревья ) , упорядоченное по включению. ${\displaystyle \Pi _{1}^{0}}$ ${\displaystyle \Pi _{1}^{0}}$ ${\displaystyle 2^{\omega }}$ ${\displaystyle 2^{<\omega }}$

Повторное принуждение

Итеративное принуждение с конечными носителями было введено Соловеем и Тенненбаумом для демонстрации согласованности гипотезы Суслина . Истон ввел другой тип итеративного принуждения для определения возможных значений функции континуума при регулярных кардиналах. Итеративное принуждение со счетным носителем было исследовано Лэйвером в его доказательстве согласованности гипотезы Бореля, Баумгартнером , который ввел принуждение на основе аксиомы А, и Шелахом , который ввел надлежащее принуждение. Пересмотренная итерация со счетным носителем была введена Шелахом для обработки полунадлежащих принуждений, таких как принуждение Прикри, и обобщений, в частности, включая принуждение Намбы.

выгонка Laver

Принуждение Лэйвера использовалось Лэйвером, чтобы показать, что гипотеза Бореля, утверждающая, что все множества с сильной мерой нуль счетны, согласуется с ZFC. (Гипотеза Бореля не согласуется с континуум-гипотезой.)

• P — это множество деревьев Лэйвера, упорядоченное по включению.

Дерево Лавера p — это подмножество конечных последовательностей натуральных чисел, такое что

• p — дерево: p содержит любую начальную последовательность любого элемента p , что эквивалентно тому, что p замкнуто относительно начальных сегментов
• p имеет стебель: максимальный узел s ( p ) = s ∈ p такой, что s ≤ t или t ≤ s для всех t из p ,
• Если t ∈ p и s ≤ t, то t имеет бесконечное число непосредственных последователей tn в p для n ∈ ω .

Если G является общим для ( P , ≤) , то вещественное число { s ( p ): p ∈ G } , называемое вещественным числом Лавера , однозначно определяет G.

Вынуждение Лэйвера удовлетворяет свойству Лэйвера .

Леви рушится

Эти частично упорядоченные множества будут сворачивать различные кардиналы, другими словами, заставлять их быть равными по размеру меньшим кардиналам.

• Сворачивание кардинала в ω: P — это множество всех конечных последовательностей ординалов, меньших заданного кардинала λ. Если λ несчетно, то принудительное преобразование с этим частично упорядоченным множеством сворачивает λ в ω.
• Сворачивание кардинала в другой: P — это множество всех функций из подмножества κ мощности, меньшей κ, в λ (для фиксированных кардиналов κ и λ). Форсинг с этим частично упорядоченным множеством сворачивает λ до κ.
• Схлопывание Леви: если κ регулярно, а λ недостижимо, то P — это множество функций p на подмножествах λ × κ с областью определения размера меньше κ и p (α, ξ) < α для всех (α, ξ) в области определения p . Этот посет схлопывает все кардиналы, меньшие λ, на κ, но сохраняет λ в качестве преемника κ.

Коллапс Леви назван в честь Азриэля Леви .

Магидор форсинг

Среди многих понятий форсинга, разработанных Магидором , одним из наиболее известных является обобщение форсинга Прикри, используемое для изменения конфинальности кардинала на заданный меньший регулярный кардинал.

Матиас форсинг

• Элементом P является пара, состоящая из конечного множества s натуральных чисел и бесконечного множества A натуральных чисел, такая, что каждый элемент s меньше каждого элемента A. Порядок определяется как

( t , B ) сильнее, чем ( s , A ) (( t , B ) < ( s , A )), если s является начальным сегментом t , B является подмножеством A , и t содержится в s ∪ A .

Форсинг Матиаса назван в честь Адриана Матиаса .

Намба форсинг

Форсинг Намба (от Кандзи Намба) используется для изменения конфинальности ω ₂ на ω без коллапса ω ₁ .

• P — это множество всех деревьев (непустых замкнутых вниз подмножеств множества конечных последовательностей ординалов, меньших ω ₂ ), обладающих тем свойством, что любой s из T имеет расширение в T , которое имеет непосредственных последователей. P упорядочено по включению (т.е. поддеревья являются более сильными условиями). Пересечение всех деревьев в общем фильтре определяет счетную последовательность, которая конфинальна в ω ₂ . ${\displaystyle T\subseteq \omega _{2}^{<\omega }}$ ${\displaystyle \aleph _{2}}$

Форсинг Намба — это подмножество P , такое, что существует узел, ниже которого порядок является линейным, а выше которого каждый узел имеет непосредственных последователей. ${\displaystyle \aleph _{2}}$

Магидор и Шелах доказали, что если CH выполняется, то общий объект принуждения Намбы не существует в общем расширении Намбы, и наоборот. ^{[1] [2]}

Прикры форсинг

В Прикри форсинге (по Карелу Прикри) P — это множество пар ( s , A ) , где s — конечное подмножество фиксированного измеримого кардинала κ, а A — элемент фиксированной нормальной меры D на κ. Условие ( s , A ) сильнее, чем ( t , B ), если t — начальный сегмент s , A содержится в B , а s содержится в t ∪ B. Это понятие форсинга можно использовать для перехода к конфинальности κ с сохранением всех кардиналов.

Продукт форсирования

Получение результата принудительного выполнения условий — это способ одновременного принудительного выполнения всех условий.

• Конечные произведения : если P и Q являются частично упорядоченными множествами, то произведение частично упорядоченных множеств P × Q имеет частичный порядок, определяемый соотношением ( p ₁ , q ₁ ) ≤ ( p ₂ , q ₂ ), если p ₁ ≤ p ₂ и q ₁ ≤ q ₂ .
• Бесконечные произведения : произведение набора частично упорядоченных множеств P _i , i ∈ I , каждое из которых имеет наибольший элемент 1, представляет собой набор функций p на I с p ( i ) ∈ P ( i ) и такими, что p ( i ) = 1 для всех i , кроме конечного числа . Порядок задается как p ≤ q , если p ( i ) ≤ q ( i ) для всех i .
• Произведение Истона (в честь Уильяма Бигелоу Истона) набора частично упорядоченных множеств P _i , i ∈ I , где I — набор кардиналов, представляет собой набор функций p на I с p ( i ) ∈ P ( i ) и таких, что для каждого регулярного кардинала γ число элементов α из γ с p (α) ≠ 1 меньше γ.

Радин форсинг

Форсинг Радина (в честь Лона Берка Радина) — технически сложное обобщение форсинга Магидора, добавляющее замкнутое неограниченное подмножество к некоторому регулярному кардинальному числу λ.

Если λ — достаточно большое кардиналовое число, то принуждение сохраняет λ регулярным, измеримым , сверхкомпактным и т. д.

Случайное принуждение

• P — это множество борелевских подмножеств [0,1] положительной меры, где p называется сильнее q, если оно содержится в q . Тогда общее множество G кодирует «случайное вещественное число»: уникальное вещественное число x _G во всех рациональных интервалах [ r , s ] ^{V [ G ]} такое, что [ r , s ] ^V находится в G . Это вещественное число является «случайным» в том смысле, что если X — это любое подмножество [0, 1] ^V меры 1, лежащее в V , то x _G ∈ X .

Мешки заставляют

• P — это множество всех совершенных деревьев, содержащихся в множестве конечных последовательностей {0, 1} . (Дерево T — это множество конечных последовательностей, содержащих все начальные сегменты своих членов, и называется совершенным, если для любого элемента t из T существует сегмент s, расширяющий t так, что и s 0 , и s 1 находятся в T .) Дерево p сильнее, чем q , если p содержится в q . Форсинг с совершенными деревьями использовался Джеральдом Энохом Саксом для получения действительного a с минимальной степенью конструктивности.

Форсирование Сакса имеет свойство Сакса .

Стрельба из быстрой дубинки

Для S стационарное подмножество мы устанавливаем замкнутую последовательность из S и C является замкнутым неограниченным подмножеством , упорядоченным по тогда и только тогда, когда end-extends и и . В , мы имеем , что замкнутое неограниченное подмножество S , почти содержащееся в каждом клубном множестве в V . сохраняется. Этот метод был введен Рональдом Дженсеном для того, чтобы показать согласованность гипотезы континуума и гипотезы Суслина . ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle P=\{\langle \sigma ,C\rangle \,\colon \sigma }$ ${\displaystyle \omega _{1}\}}$ ${\displaystyle \langle \sigma ',C'\rangle \leq \langle \sigma ,C\rangle }$ ${\displaystyle \sigma '}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle C'\subseteq C}$ ${\displaystyle \sigma '\subseteq \sigma \cup C}$ ${\displaystyle V[G]}$ ${\displaystyle \bigcup \{\sigma \,\colon (\exists C)(\langle \sigma ,C\rangle \in G)\}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$

Стрельба из клуба с исчисляемыми условиями

Для S стационарного подмножества мы устанавливаем P равным множеству замкнутых счетных последовательностей из S. В имеем, что является замкнутым неограниченным подмножеством S и сохраняется, и если CH выполняется, то все кардиналы сохраняются. ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle V[G]}$ ${\displaystyle \bigcup G}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$

Стрельба из клуба с конечными условиями

Для S стационарного подмножества мы устанавливаем P равным множеству конечных множеств пар счетных ординалов, таким образом, что если и , то и , и всякий раз, когда и являются различными элементами p , то либо , либо . P упорядочено обратным включением. В , мы имеем , что является замкнутым неограниченным подмножеством S , и все кардиналы сохраняются. ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle p\in P}$ ${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle \in p}$ ${\displaystyle \alpha \leq \beta }$ ${\displaystyle \alpha \in S}$ ${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle }$ ${\displaystyle \langle \gamma ,\delta \rangle }$ ${\displaystyle \beta <\gamma }$ ${\displaystyle \delta <\alpha }$ ${\displaystyle V[G]}$ ${\displaystyle \{\alpha \,\colon (\exists \beta )(\langle \alpha ,\beta \rangle \in \bigcup G)\}}$

Серебряный форсинг

Силвер-форсинг (в честь Джека Говарда Силвера ) — это множество всех тех частичных функций из натурального ряда в {0, 1}, область определения которых ко-бесконечна; или, что эквивалентно, множество всех пар ( A , p ) , где A — подмножество натуральных чисел с бесконечным дополнением, а p — функция из A в фиксированный 2-элементный ряд. Условие q сильнее условия p, если q расширяет p .

Силовое воздействие серебра удовлетворяет свойству Слияния, свойству Сакса и является минимальным по отношению к вещественным числам (но не минимальным).

Vopěnka форсинг

Форсинг Вопенки (в честь Петра Вопенки ) используется для генерического добавления набора ординалов к . Сначала определим как множество всех непустых подмножеств множества мощности , где , упорядоченных по включению: тогда и только тогда . Каждое условие может быть представлено кортежем , где , для всех . Перевод между и его наименьшим представлением равен , и, следовательно, изоморфен частично упорядоченному множеству (условия являются минимальными представлениями элементов ). Этот частично упорядоченный набор является форсингом Вопенки для подмножеств . Определяя как множество всех представлений для элементов, таких что , то является -генерическим и . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\color {blue}{\text{HOD}}}}$ ${\displaystyle P'}$ ${\displaystyle {\text{OD}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle A\subseteq \alpha }$ ${\displaystyle p\leq q}$ ${\displaystyle p\subseteq q}$ ${\displaystyle p\in P'}$ ${\displaystyle (\beta ,\gamma ,\varphi )}$ ${\displaystyle x\in p\Leftrightarrow V_{\beta }\models \varphi (\gamma ,x)}$ ${\displaystyle x\subseteq \alpha }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\text{OD}}}$ ${\displaystyle P'}$ ${\displaystyle P\in {\text{HOD}}}$ ${\displaystyle P'}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle G_{A}}$ ${\displaystyle p\in P'}$ ${\displaystyle A\in p}$ ${\displaystyle G_{A}}$ ${\displaystyle {\text{HOD}}}$ ${\displaystyle A\in {\text{HOD}}[G_{A}]}$

Ссылки

1. Шелах, С., Правильное и неправильное принуждение (Утверждение XI.4.2), Springer, 1998
2. Шлиндвайн, К., Работа Шелаха о неполусобственных итерациях, I, Архив математической логики, т. 47, № 6, стр. 579 -- 606 (2008)

• Йех, Томас (2003), Теория множеств: издание тысячелетия , Монографии Springer по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-44085-7
• Кунен, Кеннет (1980), Теория множеств: Введение в доказательства независимости , Elsevier, ISBN 978-0-444-86839-8
• Кунен, Кеннет (2011), Теория множеств , Исследования по логике, т. 34, Лондон: College Publications, ISBN 978-1-84890-050-9, ЗБЛ  1262.03001

Внешние ссылки

• А.Миллер (2009), Принудительные лакомые кусочки.