постоянная Апери

Сумма обратных положительных кубов

В математике константа Апери — это сумма обратных величин положительных кубов . То есть она определяется как число

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (3)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}\\&=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{3}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{3}}}\right),\end{aligned}}}$

где ζ — дзета-функция Римана . Она имеет приблизительное значение ^[1]

ζ (3) ≈ 1,20205 69031 59594 28539 97381 61511 44999 07649 86292 … (последовательность A002117 в OEIS ).

Названо в честь Роже Апери , который доказал, что это иррациональное число .

Использует

Константа Апери естественным образом возникает в ряде физических задач, в том числе в членах второго и третьего порядка гиромагнитного отношения электрона с использованием квантовой электродинамики . Она также возникает при анализе случайных минимальных остовных деревьев ^[2] и в сочетании с гамма-функцией при решении некоторых интегралов, включающих показательные функции в частном, которые иногда появляются в физике, например, при оценке двумерного случая модели Дебая и закона Стефана–Больцмана .

Обратная величина ζ (3) (0,8319073725807... (последовательность A088453 в OEIS )) — это вероятность того, что любые три положительных целых числа , выбранных случайным образом, будут взаимно простыми , в том смысле, что по мере того, как N стремится к бесконечности, вероятность того, что три положительных целых числа, меньших N, выбранных равномерно случайным образом, не будут иметь общего простого множителя, приближается к этому значению. (Вероятность для n положительных целых чисел равна 1/ ζ (n) . ^[3] ) В том же смысле, это вероятность того, что положительное целое число, выбранное случайным образом, не будет делиться нацело на куб целого числа, большего единицы. (Вероятность того, что делимость на n -ю степень не будет равна 1/ ζ (n) . ^[3] )

Характеристики

Нерешенная задача по математике :

Является ли константа Апери трансцендентной?

(еще нерешенные проблемы по математике)

ζ (3) была названа константой Апери в честь французского математика Роже Апери , который доказал в 1978 году, что это иррациональное число . ^[4] Этот результат известен как теорема Апери . Первоначальное доказательство было сложным и трудным для понимания, ^[5] и позже были найдены более простые доказательства. ^[6]

Упрощенное доказательство иррациональности Беукерса включает аппроксимацию подынтегрального выражения известного тройного интеграла для ζ (3) ,

${\displaystyle \zeta (3)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1-xyz}}\,dx\,dy\,dz,}$

полиномами Лежандра . В частности, статья ван дер Поортена описывает этот подход, отмечая, что

${\displaystyle I_{3}:=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {P_{n}(x)P_{n}(y)\log(xy)}{1-xy}}\,dx\,dy=b_{n}\zeta (3)-a_{n},}$

где , — полиномы Лежандра , а подпоследовательности — целые числа или почти целые числа . ${\displaystyle |I|\leq \zeta (3)(1-{\sqrt {2}})^{4n}}$ ${\displaystyle P_{n}(z)}$ ${\displaystyle b_{n},2\operatorname {lcm} (1,2,\ldots ,n)\cdot a_{n}\in \mathbb {Z} }$

Многие пытались распространить доказательство Апери о том, что ζ (3) иррациональна, на другие значения дзета-функции Римана с нечетными аргументами. Хотя это пока не дало никаких результатов для конкретных чисел, известно, что бесконечно много нечетных дзета-констант ζ (2 n + 1) иррациональны. ^[7] В частности, по крайней мере одна из ζ (5) , ζ (7) , ζ (9) и ζ (11) должна быть иррациональной. ^[8]

Трансцендентность константы Апери пока не доказана , но известно, что она является алгебраическим периодом . Это немедленно следует из вида ее тройного интеграла.

Представления серий

Классическая

В дополнение к основному ряду:

${\displaystyle \zeta (3)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}}},}$

Леонард Эйлер дал представление ряда: ^[9]

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {\pi ^{2}}{7}}\left(1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{2^{2k}(2k+1)(2k+2)}}\right)}$

в 1772 году, который впоследствии был переоткрыт несколько раз. ^[10]

Быстрая сходимость

Начиная с 19 века, ряд математиков находили ряды ускорения сходимости для вычисления десятичных знаков ζ (3) . С 1990-х годов этот поиск был сосредоточен на вычислительно эффективных рядах с быстрыми скоростями сходимости (см. раздел «Известные цифры»).

Следующее представление ряда было найдено А.А. Марковым в 1890 году ^[11] , переоткрыто Хьортнесом в 1953 году ^[12] и переоткрыто еще раз и широко разрекламировано Апери в 1979 году: ^[4]

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {5}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {k!^{2}}{(2k)!k^{3}}}.}$

Следующее представление ряда дает (асимптотически) 1,43 новых правильных десятичных знака на член: ^[13]

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{4}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {(k-1)!^{3}(56k^{2}-32k+5)}{(2k-1)^{2}(3k)!}}.}$

Следующее представление ряда дает (асимптотически) 3,01 новых правильных десятичных знака на член: ^[14]

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{64}}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {k!^{10}(205k^{2}+250k+77)}{(2k+1)!^{5}}}.}$

Следующее представление ряда дает (асимптотически) 5,04 новых правильных десятичных знаков на член: ^[15]

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{24}}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(2k+1)!^{3}(2k)!^{3}k!^{3}(126392k^{5}+412708k^{4}+531578k^{3}+336367k^{2}+104000k+12463)}{(3k+2)!(4k+3)!^{3}}}.}$

Он был использован для вычисления константы Апери с несколькими миллионами правильных десятичных знаков. ^[16]

Следующее представление ряда дает (асимптотически) 3,92 новых правильных десятичных знака на член: ^[17]

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(2k)!^{3}(k+1)!^{6}(40885k^{5}+124346k^{4}+150160k^{3}+89888k^{2}+26629k+3116)}{(k+1)^{2}(3k+3)!^{4}}}.}$

Цифра за цифрой

В 1998 году Бродхерст предложил представление ряда, которое позволяет вычислять произвольные двоичные цифры и, таким образом, получать константу за почти линейное время и логарифмическое пространство . ^[18]

Последовательность Туэ-Морса

Следующее представление было найдено Тотом в 2022 году: ^[19]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {9t_{n-1}+7t_{n}}{n^{3}}}&=8\zeta (3),\end{aligned}}}$

где — член последовательности Туэ-Морса . Фактически, это частный случай следующей формулы (справедливой для всех с действительной частью, большей ): ${\displaystyle (t_{n})_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle n^{\rm {th}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle (2^{s}+1)\sum _{n\geq 1}{\frac {t_{n-1}}{n^{s}}}+(2^{s}-1)\sum _{n\geq 1}{\frac {t_{n}}{n^{s}}}=2^{s}\zeta (s).}$

Другие

Следующее представление ряда было найдено Рамануджаном : ^[20]

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {7}{180}}\pi ^{3}-2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}.}$

Следующее представление серии было найдено Саймоном Плуффом в 1998 году: ^[21]

${\displaystyle \zeta (3)=14\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}\sinh(\pi k)}}-{\frac {11}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}-{\frac {7}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}+1)}}.}$

Шривастава (2000) собрал много рядов, которые сходятся к постоянной Апери.

Интегральные представления

Существует множество интегральных представлений для постоянной Апери. Некоторые из них простые, другие — более сложные.

Простые формулы

Следующая формула следует непосредственно из интегрального определения дзета-функции:

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}\,dx}$

Более сложные формулы

Другие формулы включают ^[22]

${\displaystyle \zeta (3)=\pi \int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(2\arctan x)}{(x^{2}+1)\left(\cosh {\frac {1}{2}}\pi x\right)^{2}}}\,dx}$

и ^[23]

${\displaystyle \zeta (3)=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}{\frac {\log(xy)}{1-xy}}\,dx\,dy=-\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}{\frac {\log(1-xy)}{xy}}\,dx\,dy.}$

Также, ^[24]

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (3)&={\frac {8\pi ^{2}}{7}}\int _{0}^{1}{\frac {x(x^{4}-4x^{2}+1)\log \log {\frac {1}{x}}}{(1+x^{2})^{4}}}\,dx\\&={\frac {8\pi ^{2}}{7}}\int _{1}^{\infty }{\frac {x(x^{4}-4x^{2}+1)\log \log {x}}{(1+x^{2})^{4}}}\,dx.\end{aligned}}}$

Связь с производными гамма -функции ^[25]

${\displaystyle \zeta (3)=-{\tfrac {1}{2}}(\Gamma '''(1)+\gamma ^{3}+{\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}\gamma )=-{\tfrac {1}{2}}\psi ^{(2)}(1)}$

также очень полезно для вывода различных интегральных представлений с помощью известных интегральных формул для гамма- и полигамма-функций . ^[26]

Продолженная дробь

Константа Апери связана со следующей непрерывной дробью : ^[27]

${\displaystyle {\frac {6}{\zeta (3)}}=5-{\cfrac {1}{117-{\cfrac {64}{535-{\cfrac {729}{1436-{\cfrac {4096}{3105-{\cfrac {15625}{\dots }}}}}}}}}}}$

с и . ${\displaystyle a_{n}=34n^{3}+51n^{2}+27n+5}$ ${\displaystyle b_{n}=-n^{6}}$

Ее простая цепная дробь определяется по формуле: ^[28]

${\displaystyle \zeta (3)=1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{18+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\dots }}}}}}}}}}}}}$

Известные цифры

Число известных цифр постоянной Апери ζ (3) значительно возросло за последние десятилетия и в настоящее время составляет более2 × 10 ^12. Это связано как с ростом производительности компьютеров, так и с усовершенствованием алгоритмов.

Смотрите также

• Дзета-функция Римана
• Базельская проблема — ζ (2)
• Постоянная Каталана
• Список сумм обратных величин

Примечания

1. Веденевски (2001).
2. Фриз (1985).
3. Mollin (2009).
4. Apéry (1979).
5. Ван дер Поортен (1979).
6. Бойкерс (1979); Зудилин (2002).
7. Ривоал (2000).
8. Зудилин (2001).
9. Эйлер (1773).
10. Шривастава (2000), стр. 571 (1.11).
11. Марков (1890).
12. Хьортнес (1953).
13. Амдеберхан (1996).
14. Амдеберхан и Зейлбергер (1997).
15. Веденевски (1998); Веденевски (2001). В своем сообщении Саймону Плуффу Себастьян Веденевски утверждает, что он вывел эту формулу из Amdeberhan & Zeilberger (1997). Год открытия (1998) указан в Таблице рекордов Саймона Плуффа (8 апреля 2001 г.).
16. Веденивский (1998); Веденивский (2001).
17. Мохаммед (2005).
18. Бродхерст (1998).
19. Tóth, László (2022), «Линейные комбинации рядов Дирихле, связанных с последовательностью Туэ-Морса» (PDF) , Integers , 22 (статья 98), arXiv : 2211.13570
20. Берндт (1989, глава 14, формулы 25.1 и 25.3).
21. Плуфф (1998).
22. Йенсен (1895).
23. Бёкерс (1979).
24. Благушин (2014).
25. Хабер, Говард Э. (зима 2010 г.), «Логарифмическая производная гамма-функции» (PDF) , лекции по физике 116A , Калифорнийский университет, Санта-Крус
26. Евграфов и др. (1969), упражнение 30.10.1.
27. Weisstein, Eric W., «Константа Апери», mathworld.wolfram.com , получено 21 сентября 2024 г.
28. Weisstein, Eric W., "Apéry's Constant Continuous Fraction", mathworld.wolfram.com , получено 21 сентября 2024 г.
29. Гурдон и Себах (2003).
30. Йи (2009).
31. Йи (2017).
32. Наг (2015).
33. Йи, Александр, Рекорды, установленные y-cruncher , получено 1 апреля 2024 г..
34. Постоянный мировой рекорд Апери, Сынмин Ким, 28 июля 2020 г. , получено 28 июля 2020 г..

Ссылки

• Амдеберхан, Теодрос (1996), "Все более и более быстрые сходящиеся ряды для ζ ( 3 ) {\displaystyle \zeta (3)} ", El. J. Combinat. , 3 (1).
• Амдеберхан, Теодрос; Зейлбергер, Дорон (1997), "Ускорение гипергеометрических рядов с помощью метода WZ", El. J. Combinat. , 4 (2), arXiv : math/9804121 , Bibcode : 1998math......4121A.
• Апери, Роджер (1979), «Иррациональность де ζ 2 {\displaystyle \zeta 2} et ζ 3 {\displaystyle \zeta 3}», Asterisque , 61 : 11–13.
• Берндт, Брюс С. (1989), Записные книжки Рамануджана, Часть II , Springer.
• Бёкерс, Ф. (1979), «Заметка об иррациональности и », Bull. London Math. Soc. , 11 (3): 268–272, doi :10.1112/blms/11.3.268 ${\displaystyle \zeta (2)}$ ${\displaystyle \zeta (3)}$.
• Blagouchine, Iaroslav V. (2014), «Повторное открытие интегралов Мальмстена, их оценка методами контурного интегрирования и некоторые связанные с этим результаты», The Ramanujan Journal , 35 (1): 21–110, doi :10.1007/s11139-013-9528-5, S2CID  120943474.
• Бродхерст, DJ (1998), Полилогарифмические лестницы, гипергеометрические ряды и десятимиллионные цифры чисел и ${\displaystyle \zeta (3)}$ ${\displaystyle \zeta (5)}$ , arXiv : math.CA/9803067.
• Эйлер, Леонард (1773), «Exercitationes Analyticale» (PDF) , Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae (на латыни), 17 : 173–204 , получено 18 мая 2008 г..
• Евграфов М.А.; Бежанов К.А.; Сидоров Ю.В.; Федорюк, М.В.; Шабунин М.И. (1969), Сборник задач теории аналитических функций , Москва: Наука..
• Фризе, AM (1985), «О значении задачи случайного минимального остовного дерева», Дискретная прикладная математика , 10 (1): 47–56, doi : 10.1016/0166-218X(85)90058-7 , MR  0770868.
• Гурдон, Ксавье; Себах, Паскаль (2003), Константа Апери: ζ ( 3 ) {\displaystyle \zeta (3)} .
• Хьортнаес, М.М. (август 1953 г.), Overføring av rekken til et bestemt Integral, в Proc. 12-й Скандинавский математический конгресс ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k^{3}}}\right)}$ , Лунд, Швеция: Скандинавское математическое общество, стр. 211–213..
• Йенсен, Йохан Людвиг Уильям Вальдемар (1895), «Примечание номер 245. Deuxième réponse. Remarques родственники по ответам MM. Franel et Kluyver», L'Intermédiaire des Mathématiciens , II : 346–347.
• Марков А. А. (1890), "Мемуар о трансформации серий peu convergentes в серии très convergentes", Mém. Де л'Акад. Имп. наук. Де Санкт-Петербург , т. 1, с. XXXVII, № 9: 18с..
• Мохаммед, Мохамуд (2005), «Бесконечные семейства ускоренных рядов для некоторых классических констант методом Маркова-ВЗ», Дискретная математика и теоретическая информатика , 7 : 11–24, doi : 10.46298/dmtcs.342.
• Моллин, Ричард А. (2009), Расширенная теория чисел с приложениями, Дискретная математика и ее приложения, CRC Press, стр. 220, ISBN 9781420083293.
• Плуфф, Саймон (1998), Идентичности, вдохновленные «Записными книжками Рамануджана II», архивировано из оригинала 14 декабря 2002 г..
• Ривоаль, Танги (2000), «La fonction zêta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiersimpairs», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 331 (4): 267–270, arXiv : math/0008051 , Bibcode : 2000CRASM.331..267R, номер doi : 10.1016/S0764-4442(00)01624-4, S2CID  119678120.
• Шривастава, Х. М. (декабрь 2000 г.), «Некоторые семейства представлений быстро сходящихся рядов для дзета-функций» (PDF) , Taiwanese Journal of Mathematics , 4 (4): 569–599, doi : 10.11650/twjm/1500407293 , OCLC  36978119 , получено 22 августа 2015 г..
• ван дер Поортен, Альфред (1979), «Доказательство, которое Эйлер пропустил ... Доказательство Апери иррациональности ζ ( 3 ) {\displaystyle \zeta (3)} » (PDF) , The Mathematical Intelligencer , 1 (4): 195–203, doi :10.1007/BF03028234, S2CID  121589323, архивировано из оригинала (PDF) 2011-07-06.
• Веденевски, Себастьян (2001), Саймон Плуфф (ред.), Значение Zeta(3) для 1 000 000 мест, Проект Гутенберг(Сообщение Саймону Плуффу, со всеми десятичными знаками, но более короткий текст, отредактированный Саймоном Плуффом).
• Веденевски, Себастьян (13 декабря 1998 г.), Значение Дзеты (3) до 1 000 000 знаков(Сообщение Саймону Плуффу с оригинальным текстом, но с некоторыми знаками после запятой).
• Йи, Александр Дж. (2009), Большие вычисления.
• Йи, Александр Дж. (2017), Zeta(3) - Константа Апери

• Наг, Дипанджан (2015), Вычислил постоянную Апери с точностью до 400 000 000 000 цифр, Мировой рекорд
• Зудилин, Вадим (2001), «Одно из чисел , , , является иррациональным», Russ. Math. Surv. , 56 (4): 774–776, Bibcode :2001RuMaS..56..774Z, doi :10.1070/RM2001v056n04ABEH000427, S2CID  250734661 ${\displaystyle \zeta (5)}$ ${\displaystyle \zeta (7)}$ ${\displaystyle \zeta (9)}$ ${\displaystyle \zeta (11)}$.
• Зудилин, Вадим (2002), Элементарное доказательство теоремы Апери , arXiv : math/0202159 , Bibcode :2002math......2159Z.

Дальнейшее чтение

• Рамасвами, В. (1934), «Заметки о -функции Римана », J. London Math. Soc. , 9 (3): 165–169, doi :10.1112/jlms/s1-9.3.165 ${\displaystyle \zeta }$.
• Нахин, Пол Дж. (2021), В погоне за дзета-3: самая загадочная нерешённая математическая задача в мире , Принстон: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-22759-7, OCLC  1260168397

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Константа Апери», MathWorld{{cite web}}: CS1 maint: overridden setting (link)
• Плуфф, Симон, Зета(3) или постоянная Апери до 2000 знаков, архивировано из оригинала 2008-02-05 , извлечено 2005-07-29
• Сетти, Роберт Дж. (2015), Константа Апери - Дзета(3) - 200 миллиардов цифр, архивировано из оригинала 2013-10-08.

В данной статье использованы материалы из постоянной Апери на PlanetMath , которые лицензированы в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .