Фердинанд Георг Фробениус (26 октября 1849 — 3 августа 1917) — немецкий математик , наиболее известный своим вкладом в теорию эллиптических функций , дифференциальные уравнения , теорию чисел и теорию групп . Он известен знаменитыми детерминантными тождествами, известными как формулы Фробениуса–Штикельбергера, управляющими эллиптическими функциями, и разработкой теории биквадратичных форм. Он также был первым, кто ввел понятие рациональных аппроксимаций функций (ныне известных как аппроксимации Паде ), и дал первое полное доказательство теоремы Кэли–Гамильтона . Он также дал свое имя некоторым дифференциально-геометрическим объектам в современной математической физике , известным как многообразия Фробениуса .
Фердинанд Георг Фробениус родился 26 октября 1849 года в Шарлоттенбурге , пригороде Берлина , [1] у родителей Христиана Фердинанда Фробениуса, протестантского священника, и Кристины Элизабет Фридрих. Он поступил в гимназию Иоахимсталя в 1860 году, когда ему было почти одиннадцать. [2] В 1867 году, после окончания школы, он отправился в Гёттингенский университет , где начал свое университетское обучение, но проучился там всего один семестр, прежде чем вернуться в Берлин, где посещал лекции Кронекера , Куммера и Карла Вейерштрасса . Он получил докторскую степень (с отличием) в 1870 году под руководством Вейерштрасса. Его диссертация была посвящена решению дифференциальных уравнений. В 1874 году, после преподавания в средней школе сначала в гимназии Иоахимсталя, а затем в Софиенреальшуле, он был назначен в Берлинский университет в качестве экстраординарного профессора математики. [2] Фробениус был в Берлине всего год, прежде чем он отправился в Цюрих, чтобы занять должность ординарного профессора в Eidgenössische Polytechnikum . В течение семнадцати лет, между 1875 и 1892 годами, Фробениус работал в Цюрихе. Именно там он женился, вырастил свою семью и проделал большую важную работу в самых разных областях математики. В последние дни декабря 1891 года Кронекер умер, и поэтому его кафедра в Берлине стала вакантной. Вейерштрасс, твердо веря в то, что Фробениус был тем человеком, который должен был удержать Берлин на переднем крае математики, использовал свое значительное влияние, чтобы назначить Фробениуса. В 1893 году он вернулся в Берлин, где был избран в Прусскую академию наук .
Теория групп была одним из главных интересов Фробениуса во второй половине его карьеры. Одним из его первых вкладов было доказательство теорем Силова для абстрактных групп. Более ранние доказательства были для групп перестановок . Его доказательство первой теоремы Силова (о существовании силовских групп) является одним из часто используемых сегодня.
Более важным было создание им теории групповых характеров и групповых представлений , которые являются фундаментальными инструментами для изучения структуры групп. Эта работа привела к понятию взаимности Фробениуса и определению того, что сейчас называется группами Фробениуса . Группа G называется группой Фробениуса, если существует подгруппа H < G такая, что
В этом случае набор
вместе с единичным элементом группы G образует подгруппу, которая является нильпотентной , как показал Джон Г. Томпсон в 1959 году. [4] Все известные доказательства этой теоремы используют характеры. В своей первой статье о характерах (1896) Фробениус построил таблицу характеров группы порядка (1/2)( p 3 − p) для всех нечетных простых чисел p (эта группа является простой при p > 3). Он также внес фундаментальный вклад в теорию представлений симметричных и знакопеременных групп .
Фробениус ввел канонический способ превращения простых чисел в классы сопряженности в группах Галуа над Q. В частности, если K / Q — конечное расширение Галуа, то для каждого (положительного) простого числа p , которое не разветвляется в K , и для каждого простого идеала P, лежащего над p в K, существует единственный элемент g из Gal( K / Q ), удовлетворяющий условию g ( x ) = x p (mod P ) для всех целых чисел x из K . Варьирование P по p превращает g в сопряженное число (и каждое сопряжение g происходит таким образом), поэтому класс сопряженности g в группе Галуа канонически связан с p . Это называется классом сопряженности Фробениуса числа p , а любой элемент класса сопряженности называется элементом Фробениуса числа p . Если мы возьмем в качестве K m -е циклотомическое поле , группа Галуа которого над Q является единицами по модулю m (и, таким образом, является абелевой, так что классы сопряженности становятся элементами), то для p, не делящего m, класс Фробениуса в группе Галуа равен p mod m . С этой точки зрения распределение классов сопряженности Фробениуса в группах Галуа над Q (или, в более общем смысле, группах Галуа над любым числовым полем) обобщает классический результат Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях. Изучение групп Галуа расширений бесконечной степени Q в решающей степени зависит от этой конструкции элементов Фробениуса, которая в некотором смысле обеспечивает плотное подмножество элементов, доступных для детального изучения.
