Функция Лежандра

В физической науке и математике функции Лежандра $P λ$ , $Q λ$ и связанные с ними функции Лежандра $P μ λ$ , $К μ λ$ , и функции Лежандра второго рода , $Q n$ , являются решениями дифференциального уравнения Лежандра. Полиномы Лежандра и связанные с ними полиномы Лежандра также являются решениями дифференциального уравнения в особых случаях, которые, в силу того, что являются полиномами, обладают большим количеством дополнительных свойств, математической структурой и приложениями. Для этих полиномиальных решений см. отдельные статьи Википедии.

Дифференциальное уравнение Лежандра

Общее уравнение Лежандра имеет вид где числа $λ$ и $μ$ могут быть комплексными и называются степенью и порядком соответствующей функции соответственно. Полиномиальные решения, когда $λ$ является целым числом (обозначается $n$ ), а $μ$ $= 0,$ являются полиномами Лежандра $P$ $n$ ; а когда $λ$ является целым числом (обозначается $n$ ), а $μ$ $=$ $m$ также является целым числом с $|$ $m$ $| <$ $n,$ являются связанными полиномами Лежандра. Все другие случаи $λ$ и $μ$ можно рассматривать как один, и решения записываются как $P$ $\left(1-x^{2}\right)y''-2xy'+\left[\lambda (\lambda +1)-{\frac {\mu ^{2}}{1-x^{2}}}\right]y=0,$ $μ λ$ , $К μ λ$ . Если $μ = 0$ , верхний индекс опускается, и пишут просто $P λ$ , $Q λ$ . Однако решение $Q λ ,$ когда $λ$ — целое число, часто обсуждается отдельно как функция Лежандра второго рода и обозначается $Q n$ .

Это линейное уравнение второго порядка с тремя регулярными особыми точками (в $1$ , $-1$ и $\infty$ ). Как и все подобные уравнения, его можно преобразовать в гипергеометрическое дифференциальное уравнение заменой переменной, а его решения можно выразить с помощью гипергеометрических функций .

Решения дифференциального уравнения

Поскольку дифференциальное уравнение линейно, однородно (правая часть = нулю) и имеет второй порядок, оно имеет два линейно независимых решения, которые оба могут быть выражены через гипергеометрическую функцию , . При этом, будучи гамма-функцией , первое решение равно , а второе равно $_{2}F_{1}$ $\Гамма$ $P_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )}}\left[{\frac {z+1}{z-1}}\right]^{\mu /2}\,_{2}F_{1}\left(-\lambda ,\lambda +1;1-\mu ;{\frac {1-z}{2}}\right),\qquad {\text{для }}\ |1-z|<2,$ $Q_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}\ \Gamma (\lambda +\mu +1)}{2^{\lambda +1}\Gamma (\lambda +3/2)}}{\frac {e^{i\mu \pi }(z^{2}-1)^{\mu /2}}{z^{\lambda +\mu +1}}}\,_{2}F_{1}\left({\frac {\lambda +\mu +1}{2}},{\frac {\lambda +\mu +2}{2}};\lambda +{\frac {3}{2}};{\frac {1}{z^{2}}}\right),\qquad {\text{для}}\ \ |z|>1.$

Они обычно известны как функции Лежандра первого и второго рода нецелой степени с дополнительным квалификатором «ассоциированный», если $μ$ не равно нулю. Полезное соотношение между решениями $P$ и $Q$ — это формула Уиппла .

Положительный целочисленный порядок

Для положительного целого числа оценка выше включает отмену сингулярных членов. Мы можем найти предел, действительный для как ^[1] $\mu =m\in \mathbb {N} ^{+}$ $P_{\lambda }^{\mu }$ $m\in \mathbb {N} _{0}$

$P_{\lambda }^{m}(z)=\lim _{\mu \to m}P_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {(-\lambda )_{m}(\lambda +1)_{m}}{m!}}\left[{\frac {1-z}{1+z}}\right]^{m/2}\,_{2}F_{1}\left(-\lambda ,\lambda +1;1+m;{\frac {1-z}{2}}\right),$

с (восходящим) символом Поххаммера . $(\lambda)_{n}$

Функции Лежандра второго рода (Q н)

Неполиномиальное решение для частного случая целой степени , и , часто обсуждается отдельно. Оно задается формулой $\lambda =n\in \mathbb {N} _{0}$ $\mu =0$ $Q_{n}(x)={\frac {n!}{1\cdot 3\cdots (2n+1)}}\left(x^{-(n+1)}+{\frac {(n+1)(n+2)}{2(2n+3)}}x^{-(n+3)}+{\frac {(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{2\cdot 4(2n+3)(2n+5)}}x^{-(n+5)}+\cdots \right)$

Это решение обязательно является единственным, когда . $x=\pm 1$

Функции Лежандра второго рода можно также определить рекурсивно с помощью рекурсивной формулы Бонне $Q_{n}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\log {\frac {1+x}{1-x}}&n=0\\P_{1}(x)Q_{0}(x)-1&n=1\\{\frac {2n-1}{n}}xQ_{n-1}(x)-{\frac {n-1}{n}}Q_{n-2}(x)&n\geq 2\,.\end{cases}}$

Присоединенные функции Лежандра второго рода

Неполиномиальное решение для частного случая целой степени и задается формулой $\lambda =n\in \mathbb {N} _{0}$ $\mu =m\in \mathbb {N} _{0}$ $Q_{n}^{m}(x)=(-1)^{m}(1-x^{2})^{\frac {m}{2}}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}Q_{n}(x)\,.$

Интегральные представления

Функции Лежандра можно записать как контурные интегралы. Например, где контур обвивается вокруг точек $1$ и $z$ в положительном направлении и не обвивается вокруг $-1$ . Для действительных $x$ имеем $P_{\lambda }(z)=P_{\lambda }^{0}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{1,z}{\frac {(t^{2}-1)^{\lambda }}{2^{\lambda }(t-z)^{\lambda +1}}}dt$ $P_{s}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\cos \theta \right)^{s}d\theta ={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{1}\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}(2t-1)\right)^{s}{\frac {dt}{\sqrt {t(1-t)}}},\qquad s\in \mathbb {C}$

Лежандр функционирует как персонажи

Действительные интегральные представления очень полезны при изучении гармонического анализа на , где есть двойное смежное пространство ( см. Зональная сферическая функция ). На самом деле преобразование Фурье на задается как , где $P_{s}$ $L^{1}(G//K)$ $G//K$ $SL(2,\mathbb {R} )$ $L^{1}(G//K)$ $L^{1}(G//K)\ni f\mapsto {\hat {f}}$ ${\hat {f}}(s)=\int _{1}^{\infty }f(x)P_{s}(x)dx,\qquad -1\leq \Re (s)\leq 0$

Особенности функций Лежандра первого рода (P λ) как следствие симметрии

Функции Лежандра $P λ$ нецелой степени неограничены на интервале [-1, 1]. В приложениях в физике это часто дает критерий отбора. Действительно, поскольку функции Лежандра $Q λ$ второго рода всегда неограничены, для того, чтобы иметь ограниченное решение уравнения Лежандра вообще, степень должна быть целочисленной: только для целой степени функции Лежандра первого рода сводятся к полиномам Лежандра, которые ограничены на [-1, 1]. Можно показать ^[2] , что сингулярность функций Лежандра $P λ$ для нецелой степени является следствием зеркальной симметрии уравнения Лежандра. Таким образом, существует симметрия относительно только что упомянутого правила отбора.

Смотрите также

Функция Феррерса

Ссылки

^ Creasey, Peter E.; Lang, Annika (2018). «Быстрая генерация изотропных гауссовских случайных полей на сфере». Monte Carlo Methods and Applications . 24 (1): 1–11. arXiv : 1709.10314 . Bibcode :2018MCMA...24....1C. doi :10.1515/mcma-2018-0001. S2CID 4657044.
^ van der Toorn, Ramses (4 апреля 2022 г.). «Особенность функций Лежандра первого рода как следствие симметрии уравнения Лежандра». Симметрия . 14 (4): 741. Bibcode : 2022Symm...14..741V. doi : 10.3390/sym14040741 . ISSN 2073-8994.

Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , ред. (1983) [июнь 1964]. "Глава 8". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия "Прикладная математика". Том 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. стр. 332. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
Курант, Ричард ; Гильберт, Дэвид (1953), Методы математической физики, том 1 , Нью-Йорк: Interscience Publisher, Inc..
Данстер, ТМ (2010), «Лежандра и связанные с ней функции», в Олвер, Фрэнк У. Дж .; Лозье, Дэниел М.; Бойсверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз У. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н 2723248.
Иванов, А.Б. (2001) [1994], "Функция Лежандра", Энциклопедия математики , Издательство EMS
Сноу, Честер (1952) [1942], Гипергеометрические и функции Лежандра с приложениями к интегральным уравнениям теории потенциала, Серия прикладной математики Национального бюро стандартов, № 19, Вашингтон, округ Колумбия: Типография правительства США, hdl : 2027/mdp.39015011416826 , MR 0048145
Уиттекер, ET ; Уотсон, GN (1963), Курс современного анализа , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-58807-2

Внешние ссылки

Функция Лежандра P на сайте функций Вольфрама.
Функция Лежандра Q на сайте функций Вольфрама.
Сопутствующая функция Лежандра P на сайте функций Вольфрама.
Сопутствующая функция Лежандра Q на сайте функций Вольфрама.