полиномы Лежандра

Система полных и ортогональных многочленов

Первые шесть полиномов Лежандра

В математике полиномы Лежандра , названные в честь Адриена-Мари Лежандра (1782), представляют собой систему полных и ортогональных полиномов с широким набором математических свойств и многочисленными приложениями. Их можно определить многими способами, и различные определения подчеркивают различные аспекты, а также предлагают обобщения и связи с различными математическими структурами и физическими и числовыми приложениями.

С полиномами Лежандра тесно связаны ассоциированные полиномы Лежандра , функции Лежандра , функции Лежандра второго рода, большие q-полиномы Лежандра и ассоциированные функции Лежандра .

Определение и представление

Определение по построению как ортогональной системы

В этом подходе полиномы определяются как ортогональная система относительно весовой функции на интервале . То есть, является полиномом степени , таким что ${\displaystyle w(x)=1}$ ${\displaystyle [-1,1]}$ ${\displaystyle P_{n}(x)}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx=0\quad {\text{if }}n\neq m.}$$

С дополнительным условием стандартизации все многочлены могут быть однозначно определены. Затем мы начинаем процесс построения: является единственным правильно стандартизированным многочленом степени 0. должен быть ортогонален , что приводит к , и определяется требованием ортогональности к и , и так далее. фиксируется требованием ортогональности ко всем с . Это дает условия, которые вместе со стандартизацией фиксируют все коэффициенты в . С работой все коэффициенты каждого многочлена могут быть систематически определены, что приводит к явному представлению в степенях, приведенному ниже. ${\displaystyle P_{n}(1)=1}$ ${\displaystyle P_{0}(x)=1}$ ${\displaystyle P_{1}(x)}$ ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle P_{1}(x)=x}$ ${\displaystyle P_{2}(x)}$ ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle P_{m}}$ ${\displaystyle m<n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P_{n}(1)=1}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle P_{n}(x)}$ ${\displaystyle x}$

Это определение ' является самым простым. Оно не апеллирует к теории дифференциальных уравнений. Во-вторых, полнота многочленов немедленно следует из полноты степеней 1, . Наконец, определяя их через ортогональность относительно наиболее очевидной весовой функции на конечном интервале, оно устанавливает многочлены Лежандра как одну из трех классических ортогональных многочленных систем . Две другие — это многочлены Лагерра , которые ортогональны по полупрямой , и многочлены Эрмита , ортогональны по полной прямой , с весовыми функциями, которые являются наиболее естественными аналитическими функциями, обеспечивающими сходимость всех интегралов. ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle x,x^{2},x^{3},\ldots }$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$

Определение через производящую функцию

Полиномы Лежандра можно также определить как коэффициенты в формальном разложении по степеням производящей функции ^[1] ${\displaystyle t}$

Коэффициент представляет собой полином степени с . Расширение до дает Расширение до более высоких порядков становится все более громоздким, но его можно выполнить систематически, и оно снова приводит к одной из явных форм, приведенных ниже. ${\displaystyle t^{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle |x|\leq 1}$ ${\displaystyle t^{1}}$ $${\displaystyle P_{0}(x)=1\,,\quad P_{1}(x)=x.}$$

Однако можно получить более высокие значения , не прибегая к прямому разложению ряда Тейлора . Уравнение  2 дифференцируется по t с обеих сторон и перестраивается так, чтобы получить Замена частного квадратного корня его определением в уравнении  2 и приравнивание коэффициентов при степенях t в полученном разложении дает рекурсивную формулу Бонне Это соотношение, наряду с первыми двумя полиномами P ₀ и P ₁ , позволяет рекурсивно генерировать все остальные. ${\displaystyle P_{n}}$ $${\displaystyle {\frac {x-t}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=\left(1-2xt+t^{2}\right)\sum _{n=1}^{\infty }nP_{n}(x)t^{n-1}\,.}$$ $${\displaystyle (n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)\,.}$$

Подход производящей функции напрямую связан с мультипольным разложением в электростатике, как поясняется ниже, и именно с его помощью полиномы были впервые определены Лежандром в 1782 году.

Определение через дифференциальное уравнение

Третье определение дается в терминах решений дифференциального уравнения Лежандра :

Это дифференциальное уравнение имеет регулярные особые точки при x = ±1, поэтому, если решение ищется с использованием стандартного метода Фробениуса или метода степенных рядов , ряд относительно начала координат будет сходиться только при | x | < 1 в общем случае. Когда n — целое число, решение P _n ( x ) , регулярное при x = 1, также регулярно при x = −1 , и ряд для этого решения обрывается (т. е. является полиномом). Ортогональность и полнота этих решений лучше всего видны с точки зрения теории Штурма–Лиувилля . Мы переписываем дифференциальное уравнение как задачу на собственные значения, с собственным значением вместо . Если мы требуем, чтобы решение было регулярным при , дифференциальный оператор слева является эрмитовым . Собственные значения оказываются в виде n ( n + 1) , причем и собственные функции — это . Ортогональность и полнота этого набора решений сразу вытекают из более широкой структуры теории Штурма–Лиувилля. $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\left(1-x^{2}\right){\frac {d}{dx}}\right)P(x)=-\lambda P(x)\,,}$$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle n(n+1)}$ ${\displaystyle x=\pm 1}$ ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$ ${\displaystyle P_{n}(x)}$

Дифференциальное уравнение допускает другое, неполиномиальное решение, функции Лежандра второго рода . Двухпараметрическое обобщение (уравнение  1 ) называется общим дифференциальным уравнением Лежандра, решаемым Ассоциированными полиномами Лежандра . Функции Лежандра являются решениями дифференциального уравнения Лежандра (обобщенного или нет) с нецелыми параметрами. ${\displaystyle Q_{n}}$

В физических условиях дифференциальное уравнение Лежандра возникает естественным образом всякий раз, когда решается уравнение Лапласа (и связанные с ним уравнения в частных производных ) путем разделения переменных в сферических координатах . С этой точки зрения собственные функции угловой части оператора Лапласа являются сферическими гармониками , из которых полиномы Лежандра являются (с точностью до мультипликативной константы) подмножеством, которое остается инвариантным при вращениях вокруг полярной оси. Полиномы выглядят как , где — полярный угол. Такой подход к полиномам Лежандра обеспечивает глубокую связь с вращательной симметрией. Многие из их свойств, которые с трудом находятся с помощью методов анализа — например, теоремы сложения — легче находятся с помощью методов симметрии и теории групп и приобретают глубокий физический и геометрический смысл. ${\displaystyle P_{n}(\cos \theta )}$ ${\displaystyle \theta }$

Формула Родригеса и другие явные формулы

Особенно компактное выражение для полиномов Лежандра дается формулой Родригеса : $${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{2}-1)^{n}\,.}$$

Эта формула позволяет вывести большое количество свойств 's. Среди них есть явные представления, такие как Выражение полинома в виде степенного ряда, , коэффициенты степеней также могут быть вычислены с использованием общей формулы: Полином Лежандра определяется значениями, используемыми для двух констант и , где если нечетно, а если четно. ^[2] ${\displaystyle P_{n}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}(x)&=[t^{n}]{\frac {\left((t+x)^{2}-1\right)^{n}}{2^{n}}}=[t^{n}]{\frac {\left(t+x+1\right)^{n}\left(t+x-1\right)^{n}}{2^{n}}},\\[1ex]P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{\!2}(x-1)^{n-k}(x+1)^{k},\\[1ex]P_{n}(x)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {n+k}{k}}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{\!k},\\[1ex]P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }\left(-1\right)^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {2n-2k}{n}}x^{n-2k},\\[1ex]P_{n}(x)&=2^{n}\sum _{k=0}^{n}x^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {\frac {n+k-1}{2}}{n}},\\[1ex]P_{n}(x)&={\begin{cases}{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\cdot \cos(t)\right)}^{n}\,dt&{\text{if }}|x|>1\\x^{n}&{\text{if }}|x|=1\\{\frac {2}{\pi }}\cdot x^{n}\cdot |x|\cdot \int _{|x|}^{1}{\frac {t^{-n-1}}{\sqrt {t^{2}-x^{2}}}}\cdot {\frac {\cos \left(n\cdot \arccos(t)\right)}{\sin \left(\arccos(t)\right)}}\,dt&{\text{if }}0<|x|<1\\(-1)^{n/2}\cdot 2^{-n}\cdot {\binom {n}{n/2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}n{\text{ even}}\\0&{\text{if }}x=0{\text{ and }}n{\text{ odd}}\end{cases}}.\end{aligned}}}$$ ${\textstyle P_{n}(x)=\sum a_{k}x^{k}}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle a_{k+2}=-{\frac {(n-k)(n+k+1)}{(k+2)(k+1)}}a_{k}.}$$ ${\textstyle a_{0}}$ ${\textstyle a_{1}}$ ${\textstyle a_{0}=0}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle a_{1}=0}$ ${\displaystyle n}$

В четвертом представлении обозначает наибольшее целое число, меньшее или равное . Последнее представление, которое также непосредственно следует из формулы рекурсии, выражает полиномы Лежандра простыми одночленами и включает обобщенную форму биномиального коэффициента . ${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$ ${\displaystyle n/2}$

Первые несколько полиномов Лежандра:

Графики этих полиномов (до n = 5 ) показаны ниже:

График шести первых полиномов Лежандра.

Основные свойства

Ортогональность

Стандартизация фиксирует нормализацию полиномов Лежандра (относительно нормы L 2 на интервале −1 ≤ x ≤ 1 ). Поскольку они также ортогональны относительно той же нормы, два утверждения ^{[ необходимо разъяснение ]} можно объединить в одно уравнение (где δ _mn обозначает символ Кронекера , равный 1, если m = n , и 0 в противном случае). Эту нормализацию проще всего найти, используя формулу Родригеса , приведенную ниже. ${\displaystyle P_{n}(1)=1}$ $${\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx={\frac {2}{2n+1}}\delta _{mn},}$$

Полнота

То, что полиномы являются полными, означает следующее. Для любой кусочно-непрерывной функции с конечным числом разрывов в интервале [−1, 1] последовательность сумм сходится в среднем к при , если взять ${\displaystyle f(x)}$ $${\displaystyle f_{n}(x)=\sum _{\ell =0}^{n}a_{\ell }P_{\ell }(x)}$$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ $${\displaystyle a_{\ell }={\frac {2\ell +1}{2}}\int _{-1}^{1}f(x)P_{\ell }(x)\,dx.}$$

Это свойство полноты лежит в основе всех расширений, обсуждаемых в этой статье, и часто формулируется в виде −1 ≤ x ≤ 1 и −1 ≤ y ≤ 1 . $${\displaystyle \sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {2\ell +1}{2}}P_{\ell }(x)P_{\ell }(y)=\delta (x-y),}$$

Приложения

Расширение обратного потенциала расстояния

Полиномы Лежандра были впервые введены в 1782 году Адриеном -Мари Лежандром ^[3] как коэффициенты в разложении ньютоновского потенциала , где r и r ′ — длины векторов x и x ′ соответственно, а γ — угол между этими двумя векторами. Ряд сходится, когда r > r ′ . Выражение дает гравитационный потенциал, связанный с точечной массой , или кулоновский потенциал, связанный с точечным зарядом . Разложение с использованием полиномов Лежандра может быть полезным, например, при интегрировании этого выражения по непрерывному распределению массы или заряда. $${\displaystyle {\frac {1}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+{r'}^{2}-2r{r'}\cos \gamma }}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {{r'}^{\ell }}{r^{\ell +1}}}P_{\ell }(\cos \gamma ),}$$

Полиномы Лежандра возникают при решении уравнения Лапласа статического потенциала , ∇ ² Φ( x ) = 0 , в области пространства без заряда, с использованием метода разделения переменных , где граничные условия имеют осевую симметрию (не зависят от азимутального угла ). Где ẑ — ось симметрии, а θ — угол между положением наблюдателя и осью ẑ (зенитный угол), решение для потенциала будет иметь вид $${\displaystyle \Phi (r,\theta )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\left(A_{\ell }r^{\ell }+B_{\ell }r^{-(\ell +1)}\right)P_{\ell }(\cos \theta )\,.}$$

A _l и B _l должны определяться в соответствии с граничным условием каждой задачи. ^[4]

Они также появляются при решении уравнения Шредингера в трех измерениях для центральной силы.

В многополюсных расширениях

Схема многополюсного разложения электрического потенциала.

Полиномы Лежандра также полезны при расширении функций вида (это то же самое, что и раньше, записанное немного по-другому): которые естественным образом возникают в многополюсных разложениях . Левая часть уравнения — это производящая функция для полиномов Лежандра. $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+\eta ^{2}-2\eta x}}}=\sum _{k=0}^{\infty }\eta ^{k}P_{k}(x),}$$

Например, электрический потенциал Φ( r , θ ) (в сферических координатах ), обусловленный точечным зарядом, расположенным на оси z в точке z = a (см. диаграмму справа), изменяется как $${\displaystyle \Phi (r,\theta )\propto {\frac {1}{R}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+a^{2}-2ar\cos \theta }}}.}$$

Если радиус r точки наблюдения P больше a , то потенциал можно разложить по полиномам Лежандра , где мы определили η = ⁠ $${\displaystyle \Phi (r,\theta )\propto {\frac {1}{r}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {a}{r}}\right)^{k}P_{k}(\cos \theta ),}$$а/г⁠ < 1 и x = cos θ . Это расширение используется для разработки нормального мультипольного расширения .

Наоборот, если радиус r точки наблюдения P меньше a , потенциал все еще может быть разложен в полиномы Лежандра, как указано выше, но с поменянными местами a и r . Это разложение является основой внутреннего мультипольного разложения.

В тригонометрии

Тригонометрические функции cos nθ , также обозначаемые как полиномы Чебышева T _n (cos θ ) ≡ cos nθ , также могут быть мультипольно разложены полиномами Лежандра P _n (cos θ ) . Первые несколько порядков следующие: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}T_{0}(\cos \theta )&=1&&=P_{0}(\cos \theta ),\\[4pt]T_{1}(\cos \theta )&=\cos \theta &&=P_{1}(\cos \theta ),\\[4pt]T_{2}(\cos \theta )&=\cos 2\theta &&={\tfrac {1}{3}}{\bigl (}4P_{2}(\cos \theta )-P_{0}(\cos \theta ){\bigr )},\\[4pt]T_{3}(\cos \theta )&=\cos 3\theta &&={\tfrac {1}{5}}{\bigl (}8P_{3}(\cos \theta )-3P_{1}(\cos \theta ){\bigr )},\\[4pt]T_{4}(\cos \theta )&=\cos 4\theta &&={\tfrac {1}{105}}{\bigl (}192P_{4}(\cos \theta )-80P_{2}(\cos \theta )-7P_{0}(\cos \theta ){\bigr )},\\[4pt]T_{5}(\cos \theta )&=\cos 5\theta &&={\tfrac {1}{63}}{\bigl (}128P_{5}(\cos \theta )-56P_{3}(\cos \theta )-9P_{1}(\cos \theta ){\bigr )},\\[4pt]T_{6}(\cos \theta )&=\cos 6\theta &&={\tfrac {1}{1155}}{\bigl (}2560P_{6}(\cos \theta )-1152P_{4}(\cos \theta )-220P_{2}(\cos \theta )-33P_{0}(\cos \theta ){\bigr )}.\end{alignedat}}}$$

Другим свойством является выражение для sin ( n + 1) θ , которое равно $${\displaystyle {\frac {\sin(n+1)\theta }{\sin \theta }}=\sum _{\ell =0}^{n}P_{\ell }(\cos \theta )P_{n-\ell }(\cos \theta ).}$$

В рекуррентных нейронных сетях

Рекуррентная нейронная сеть , содержащая d -мерный вектор памяти, может быть оптимизирована таким образом, чтобы ее нейронная активность подчинялась линейной системе, инвариантной во времени, заданной следующим представлением пространства состояний : ${\displaystyle \mathbf {m} \in \mathbb {R} ^{d}}$ $${\displaystyle \theta {\dot {\mathbf {m} }}(t)=A\mathbf {m} (t)+Bu(t),}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left[a\right]_{ij}\in \mathbb {R} ^{d\times d}{\text{,}}\quad &&a_{ij}=\left(2i+1\right){\begin{cases}-1&i<j\\(-1)^{i-j+1}&i\geq j\end{cases}},\\B&=\left[b\right]_{i}\in \mathbb {R} ^{d\times 1}{\text{,}}\quad &&b_{i}=(2i+1)(-1)^{i}.\end{aligned}}}$$

В этом случае скользящее окно по прошлым единицам времени наилучшим образом аппроксимируется линейной комбинацией первых сдвинутых полиномов Лежандра, взвешенных вместе элементами в момент времени : ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbf {m} }$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle u(t-\theta ')\approx \sum _{\ell =0}^{d-1}{\widetilde {P}}_{\ell }\left({\frac {\theta '}{\theta }}\right)\,m_{\ell }(t),\quad 0\leq \theta '\leq \theta .}$$

В сочетании с методами глубокого обучения эти сети можно обучить так, чтобы они превосходили долговременные блоки краткосрочной памяти и связанные с ними архитектуры, используя при этом меньше вычислительных ресурсов. ^[5]

Дополнительные свойства

Полиномы Лежандра имеют определенную четность. То есть, они четные или нечетные , ^[6] согласно $${\displaystyle P_{n}(-x)=(-1)^{n}P_{n}(x)\,.}$$

Другим полезным свойством является которое следует из рассмотрения соотношения ортогональности с . Это удобно, когда ряд Лежандра используется для аппроксимации функции или экспериментальных данных: среднее значение ряда на интервале [−1, 1] просто задается старшим коэффициентом разложения . $${\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{n}(x)\,dx=0{\text{ for }}n\geq 1,}$$ ${\displaystyle P_{0}(x)=1}$ ${\textstyle \sum _{i}a_{i}P_{i}}$ ${\displaystyle a_{0}}$

Поскольку дифференциальное уравнение и свойство ортогональности не зависят от масштабирования, определения полиномов Лежандра «стандартизируются» (иногда это называется «нормализацией», но фактическая норма не равна 1) путем масштабирования таким образом, что $${\displaystyle P_{n}(1)=1\,.}$$

Производная в конечной точке определяется выражением $${\displaystyle P_{n}'(1)={\frac {n(n+1)}{2}}\,.}$$

Неравенство Аски –Гаспера для полиномов Лежандра имеет вид $${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}P_{j}(x)\geq 0\quad {\text{for }}\quad x\geq -1\,.}$$

Полиномы Лежандра скалярного произведения единичных векторов можно разложить по сферическим гармоникам, используя где единичные векторы r и r ′ имеют сферические координаты ( θ , φ ) и ( θ ′, φ ′) соответственно. $${\displaystyle P_{\ell }\left(r\cdot r'\right)={\frac {4\pi }{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}(\theta ,\varphi )Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\varphi ')\,,}$$

Произведение двух полиномов Лежандра ^[7] где — полный эллиптический интеграл первого рода . $${\displaystyle \sum _{p=0}^{\infty }t^{p}P_{p}(\cos \theta _{1})P_{p}(\cos \theta _{2})={\frac {2}{\pi }}{\frac {\mathbf {K} \left(2{\sqrt {\frac {t\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}}{t^{2}-2t\cos \left(\theta _{1}+\theta _{2}\right)+1}}}\right)}{\sqrt {t^{2}-2t\cos \left(\theta _{1}+\theta _{2}\right)+1}}}\,,}$$ ${\displaystyle K(\cdot )}$

Рекуррентные соотношения

Как обсуждалось выше, полиномы Лежандра подчиняются трехчленному рекуррентному соотношению, известному как рекурсивная формула Бонне, заданная как и или, с альтернативным выражением, которое также справедливо в конечных точках $${\displaystyle (n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)}$$ $${\displaystyle {\frac {x^{2}-1}{n}}{\frac {d}{dx}}P_{n}(x)=xP_{n}(x)-P_{n-1}(x)}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}P_{n+1}(x)=(n+1)P_{n}(x)+x{\frac {d}{dx}}P_{n}(x)\,.}$$

Полезно для интегрирования полиномов Лежандра $${\displaystyle (2n+1)P_{n}(x)={\frac {d}{dx}}{\bigl (}P_{n+1}(x)-P_{n-1}(x){\bigr )}\,.}$$

Из вышесказанного также видно, что или, что эквивалентно , где ‖ P _n ‖ — норма на интервале −1 ≤ x ≤ 1 $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}P_{n+1}(x)=(2n+1)P_{n}(x)+{\bigl (}2(n-2)+1{\bigr )}P_{n-2}(x)+{\bigl (}2(n-4)+1{\bigr )}P_{n-4}(x)+\cdots }$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}P_{n+1}(x)={\frac {2P_{n}(x)}{\left\|P_{n}\right\|^{2}}}+{\frac {2P_{n-2}(x)}{\left\|P_{n-2}\right\|^{2}}}+\cdots }$$ $${\displaystyle \|P_{n}\|={\sqrt {\int _{-1}^{1}{\bigl (}P_{n}(x){\bigr )}^{2}\,dx}}={\sqrt {\frac {2}{2n+1}}}\,.}$$

Асимптотика

Асимптотически при полиномы Лежандра можно записать в виде ^[8] и для аргументов величиной больше 1 ^[9] где J ₀ , J ₁ и I ₀ — функции Бесселя . ${\displaystyle \ell \to \infty }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\ell }(\cos \theta )&={\sqrt {\frac {\theta }{\sin \left(\theta \right)}}}\left\{J_{0}{\left[\left(\ell +{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right]}-{\frac {\left({\frac {1}{\theta }}-\cot \theta \right)}{8(\ell +{\frac {1}{2}})}}J_{1}{\left[\left(\ell +{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right]}\right\}+{\mathcal {O}}\left(\ell ^{-2}\right)\\[1ex]&={\sqrt {\frac {2}{\pi \ell \sin \left(\theta \right)}}}\cos \left[\left(\ell +{\tfrac {1}{2}}\right)\theta -{\tfrac {\pi }{4}}\right]+{\mathcal {O}}\left(\ell ^{-3/2}\right),\quad \theta \in (0,\pi ),\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\ell }\left(\cosh \xi \right)&={\sqrt {\frac {\xi }{\sinh \xi }}}I_{0}\left(\left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)\xi \right)\left(1+{\mathcal {O}}\left(\ell ^{-1}\right)\right)\,,\\P_{\ell }\left({\frac {1}{\sqrt {1-e^{2}}}}\right)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \ell e}}}{\frac {(1+e)^{\frac {\ell +1}{2}}}{(1-e)^{\frac {\ell }{2}}}}+{\mathcal {O}}\left(\ell ^{-1}\right)\end{aligned}}}$$

Нули

Все нули действительны, отличны друг от друга и лежат в интервале . Более того, если рассматривать их как разделяющие интервал на подынтервалы, каждый подынтервал будет содержать ровно один нуль . Это известно как свойство чередования. Из-за свойства четности очевидно, что если является нулем , то и . Эти нули играют важную роль в численном интегрировании на основе квадратуры Гаусса . Конкретная квадратура, основанная на , известна как квадратура Гаусса-Лежандра . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P_{n}(x)}$ ${\displaystyle (-1,1)}$ ${\displaystyle [-1,1]}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle P_{n+1}}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle P_{n}(x)}$ ${\displaystyle -x_{k}}$ ${\displaystyle P_{n}}$

Из этого свойства и того факта , что , следует, что имеет локальные минимумы и максимумы в . Эквивалентно, имеет нули в . ${\displaystyle P_{n}(\pm 1)\neq 0}$ ${\displaystyle P_{n}(x)}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle (-1,1)}$ ${\displaystyle dP_{n}(x)/dx}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle (-1,1)}$

Точечные оценки

Четность и нормализация подразумевают, что значения на границах будут В начале координат можно показать, что значения задаются выражением ${\displaystyle x=\pm 1}$ $${\displaystyle P_{n}(1)=1\,,\quad P_{n}(-1)=(-1)^{n}}$$ ${\displaystyle x=0}$ $${\displaystyle P_{2n}(0)={\frac {(-1)^{n}}{4^{n}}}{\binom {2n}{n}}={\frac {(-1)^{n}}{2^{2n}}}{\frac {(2n)!}{\left(n!\right)^{2}}}=(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}}$$ $${\displaystyle P_{2n+1}(0)=0}$$

Варианты с преобразованным аргументом

Смещенные полиномы Лежандра

Сдвинутые полиномы Лежандра определяются как Здесь «сдвигающая» функция x ↦ 2 x − 1 является аффинным преобразованием , которое взаимно однозначно отображает интервал [0, 1] в интервал [−1, 1] , подразумевая, что полиномы P̃ _n ( x ) ортогональны на [0, 1] : $${\displaystyle {\widetilde {P}}_{n}(x)=P_{n}(2x-1)\,.}$$ $${\displaystyle \int _{0}^{1}{\widetilde {P}}_{m}(x){\widetilde {P}}_{n}(x)\,dx={\frac {1}{2n+1}}\delta _{mn}\,.}$$

Явное выражение для сдвинутых полиномов Лежандра имеет вид $${\displaystyle {\widetilde {P}}_{n}(x)=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {n+k}{k}}(-x)^{k}\,.}$$

Аналог формулы Родригеса для сдвинутых полиномов Лежандра имеет вид $${\displaystyle {\widetilde {P}}_{n}(x)={\frac {1}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(x^{2}-x\right)^{n}\,.}$$

Первые несколько сдвинутых полиномов Лежандра:

Лежандра рациональные функции

Рациональные функции Лежандра представляют собой последовательность ортогональных функций на [0, ∞). Они получаются путем составления преобразования Кэли с полиномами Лежандра.

Рациональная функция Лежандра степени n определяется как: $${\displaystyle R_{n}(x)={\frac {\sqrt {2}}{x+1}}\,P_{n}\left({\frac {x-1}{x+1}}\right)\,.}$$

Они являются собственными функциями сингулярной задачи Штурма–Лиувилля : с собственными значениями $${\displaystyle \left(x+1\right){\frac {d}{dx}}\left(x{\frac {d}{dx}}\left[\left(x+1\right)v(x)\right]\right)+\lambda v(x)=0}$$ $${\displaystyle \lambda _{n}=n(n+1)\,.}$$

Смотрите также

• Гауссова квадратура
• Полиномы Гегенбауэра
• Неравенства Турана
• вейвлет Лежандра
• функция Лежандра
• Полиномы Якоби
• Полиномы Романовского
• Разложение Лапласа (потенциал)

Примечания

1. Арфкен и Вебер 2005, стр.743
2. Боас, Мэри Л. (2006). Математические методы в физических науках (3-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Wiley. ISBN 978-0-471-19826-0.
3. Лежандр, А.-М. (1785) [1782]. «Исследования по притяжению однородных сфероидов» (PDF) . Mémoires de Mathématiques et de Physique, представленные в Королевской академии наук, par divers savans, et lus dans ses Assemblées (на французском языке). Том. Х. Париж. стр. 411–435. Архивировано из оригинала (PDF) 20 сентября 2009 г.
4. Джексон, Дж. Д. (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Wiley & Sons. стр. 103. ISBN 978-0-471-30932-1.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
5. Voelker, Aaron R.; Kajić, Ivana; Eliasmith, Chris (2019). Единицы памяти Лежандра: непрерывное представление во времени в рекуррентных нейронных сетях (PDF) . Достижения в области нейронных систем обработки информации.
6. Арфкен и Вебер 2005, стр.753
7. Леонард К. Максимон (1957). «Производящая функция произведения двух полиномов Лежандра». Norske Videnskabers Selskab Forhandlinger . 29 : 82–86.
8. Szegő, Gábor (1975). Ортогональные многочлены (4-е изд.). Providence: American Mathematical Society. стр. 194 (теорема 8.21.2). ISBN 0821810235. OCLC  1683237.
9. «DLMF: 14.15 Равномерные асимптотические приближения».

Ссылки

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , ред. (1983) [июнь 1964]. "Глава 8". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия Applied Mathematics. Том 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. стр. 332, 773. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253. См. также главу 22.
• Арфкен, Джордж Б .; Вебер, Ганс Дж. (2005). Математические методы для физиков . Elsevier Academic Press. ISBN 0-12-059876-0.
• Байин, СС (2006). Математические методы в науке и технике . Wiley. гл. 2. ISBN 978-0-470-04142-0.
• Белоусов, СЛ (1962). Таблицы нормализованных присоединенных полиномов Лежандра . Математические таблицы. Т. 18. Pergamon Press. ISBN 978-0-08-009723-7.
• Курант, Ричард ; Гильберт, Дэвид (1953). Методы математической физики . Том 1. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Interscience. ISBN 978-0-471-50447-4.
• Данстер, ТМ (2010), «Лежандра и связанные с ней функции», в Олвер, Фрэнк У. Дж .; Лозье, Дэниел М.; Бойсверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз У. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.
• El Attar, Refaat (2009). Полиномы и функции Лежандра . CreateSpace. ISBN 978-1-4414-9012-4.
• Koornwinder, Tom H .; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Ортогональные многочлены", в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (ред.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.

Внешние ссылки

• Быстрый неформальный вывод полинома Лежандра в контексте квантовой механики водорода
• «Многочлены Лежандра», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Статья Wolfram MathWorld о полиномах Лежандра
• Статья доктора Джеймса Б. Калверта о полиномах Лежандра из его личной коллекции математических трудов
• Полиномы Лежандра Карлейля Э. Мура
• Полиномы Лежандра из Гиперфизики