В математике соответствующие полиномы Лежандра являются каноническими решениями общего уравнения Лежандра.
или эквивалентно
где индексы ℓ и m (которые являются целыми числами) называются степенью и порядком соответствующего полинома Лежандра соответственно. Это уравнение имеет ненулевые решения, которые не являются сингулярными на [−1, 1] только в том случае, если ℓ и m являются целыми числами с 0 ≤ m ≤ ℓ или с тривиально эквивалентными отрицательными значениями. Если, кроме того , m четно, функция является полиномом . Когда m равно нулю и ℓ целое число, эти функции идентичны полиномам Лежандра . В общем, когда ℓ и m являются целыми числами, регулярные решения иногда называют «ассоциированными полиномами Лежандра», даже если они не являются полиномами , когда m нечетно. Полностью общий класс функций с произвольными действительными или комплексными значениями ℓ и m — это функции Лежандра . В этом случае параметры обычно обозначаются греческими буквами.
Определение неотрицательных целочисленных параметров ℓ и m
Эти функции обозначены , где верхний индекс указывает порядок, а не степень P . Их наиболее простое определение дано в терминах производных обычных полиномов Лежандра ( m ≥ 0).
Коэффициент (-1) m в этой формуле известен как фаза Кондона – Шортли . Некоторые авторы опускают его. То, что функции, описываемые этим уравнением, удовлетворяют общему дифференциальному уравнению Лежандра с указанными значениями параметров ℓ и m, следует из дифференцирования m раз уравнения Лежандра для P ℓ : [1]
Это уравнение позволяет расширить диапазон m до: − ℓ ≤ m ≤ ℓ . Определения P ℓ ± m , полученные в результате этого выражения путем замены ± m , пропорциональны. Действительно, приравняем коэффициенты при равных степенях в левой и правой частях
Альтернативные обозначения
В литературе также используются следующие альтернативные обозначения: [2]
Соответствующие полиномы Лежандра вообще не являются взаимно ортогональными. Например, не ортогонально . Однако некоторые подмножества ортогональны. Полагая 0 ≤ m ≤ ℓ , они удовлетворяют условию ортогональности при фиксированном m :
Кроме того, они удовлетворяют условию ортогональности при фиксированном ℓ :
Отрицательный м и/или отрицательный ℓ
Дифференциальное уравнение, очевидно, инвариантно относительно изменения знака m .
Выше было показано, что функции для отрицательных m пропорциональны функциям для положительных m :
(Это следует из определения формулы Родригеса. Это определение также заставляет различные рекуррентные формулы работать как для положительного, так и для отрицательного m .)
Дифференциальное уравнение также инвариантно при изменении от ℓ к − ℓ − 1 , а функции для отрицательного ℓ определяются формулой
Паритет
Из их определения можно убедиться, что ассоциированные функции Лежандра либо четные, либо нечетные в соответствии с
Первые несколько связанных функций Лежандра
Соответствующие функции Лежандра для m = 0Соответствующие функции Лежандра для m = 1Соответствующие функции Лежандра для m = 2
Первые несколько связанных функций Лежандра, в том числе для отрицательных значений m , таковы:
Формула повторения
Эти функции имеют ряд свойств повторения:
Полезные тождества (начальные значения для первой рекурсии):
Интеграл по произведению трех связанных полиномов Лежандра (с совпадением порядков, как показано ниже) является необходимым ингредиентом при преобразовании произведений полиномов Лежандра в ряд, линейный по полиномам Лежандра. Например, это оказывается необходимым при атомных вычислениях многообразия Хартри–Фока , где необходимы матричные элементы кулоновского оператора . Для этого у нас есть формула Гонта [3]
степени являются неотрицательными целыми числами
все три порядка являются неотрицательными целыми числами
является крупнейшим из трёх порядков
заказы суммируются
степени подчиняются
Остальные величины, входящие в формулу, определяются как
Интеграл равен нулю, если
сумма степеней четна и является целым числом
условие треугольника выполнено
Донг и Лемус (2002) [4] обобщили вывод этой формулы на интегралы по произведению произвольного числа ассоциированных полиномов Лежандра.
Обобщение с помощью гипергеометрических функций
Эти функции на самом деле могут быть определены для общих комплексных параметров и аргументов:
В более общем смысле они называются функциями Лежандра . Они удовлетворяют тому же дифференциальному уравнению, что и раньше:
Поскольку это дифференциальное уравнение второго порядка, оно имеет второе решение, определяемое как:
и оба подчиняются различным рекуррентным формулам, приведенным ранее.
Репараметризация по углам
Эти функции наиболее полезны, когда аргумент перепараметризуется в терминах углов, позволяя :
Используя отношение , приведенный выше список дает первые несколько полиномов, параметризованных следующим образом:
Отношения ортогональности, приведенные выше, становятся в этой формулировке: при фиксированном m они ортогональны , параметризованы θ над , с весом :
Кроме того, для фиксированного ℓ :
В терминах θ являются решениями
Точнее, для целого числа m 0 приведенное выше уравнение имеет невырожденные решения только тогда, когда для ℓ
целое число ≥ m , и эти решения пропорциональны .
Приложения в физике: сферические гармоники.
Во многих случаях в физике связанные полиномы Лежандра в терминах углов встречаются там, где задействована сферическая симметрия . Угол широты в сферических координатах — это угол, использованный выше. Угол долготы , появляется в умножающем коэффициенте. Вместе они образуют набор функций, называемых сферическими гармониками . Эти функции выражают симметрию двухсферы под действием группы Ли SO(3). [ нужна цитата ]
Полезность этих функций заключается в том, что они играют центральную роль в решении уравнения на поверхности сферы. В сферических координатах θ (широта) и φ (долгота) лапласиан равен
решается методом разделения переменных , получается φ-зависимая часть или для целого числа m≥0 и уравнение для θ-зависимой части
для которых решения имеют
и .
Следовательно, уравнение
имеет невырожденные разделенные решения только тогда , когда и эти решения пропорциональны
и
Для каждого выбора ℓ существует 2ℓ + 1 функция для различных значений m и выбора синуса и косинуса. Все они ортогональны как по ℓ , так и по m при интегрировании по поверхности сферы.
Сферические гармонические функции образуют полный ортонормированный набор функций в смысле рядов Фурье . Работники в области геодезии, геомагнетизма и спектрального анализа используют другую фазу и коэффициент нормализации, чем указано здесь (см. Сферические гармоники ).
При решении трехмерного сферически-симметричного уравнения в частных производных методом разделения переменных в сферических координатах та часть, которая остается после удаления радиальной части, обычно имеет вид
и, следовательно, решения представляют собой сферические гармоники.
Обобщения
Полиномы Лежандра тесно связаны с гипергеометрическими рядами . В виде сферических гармоник они выражают симметрию двухсферы под действием группы Ли SO(3). Помимо SO(3), существует много других групп Ли, и существуют аналогичные обобщения полиномов Лежандра для выражения симметрии полупростых групп Ли и римановых симметрических пространств . Грубо говоря, можно определить лапласиан на симметричных пространствах; собственные функции лапласиана можно рассматривать как обобщение сферических гармоник на другие условия.
↑ Из книги Джона К. Слейтера «Квантовая теория атомной структуры» , McGraw-Hill (Нью-Йорк, 1960), том I, стр. 309, где цитируется оригинальная работа Дж. А. Гонта, « Философские труды Лондонского королевского общества» , A228:151 ( 1929)
^ Донг Ш., Лемус Р., (2002), «Интеграл перекрытия трех связанных полиномов Лежандра», Appl. Математика. Летт. 15, 541–546.
^ Это тождество также можно показать, связав сферические гармоники с D-матрицами Вигнера и используя свойство обращения времени последних. Тогда связь между ассоциированными функциями Лежандра от ± m можно доказать на основе тождества комплексного сопряжения сферических гармоник.
Арфкен, Великобритания; Вебер, HJ (2001), Математические методы для физиков , Academic Press, ISBN 978-0-12-059825-0; Раздел 12.5. (Используется другое соглашение о знаках.)
Белоусов С. Л. (1962), Таблицы нормированных ассоциированных полиномов Лежандра , Математические таблицы, вып. 18, Пергамон Пресс.
Кондон, ЕС; Шортли, GH (1970), Теория атомных спектров , Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета, OCLC 5388084; Глава 3.
Курант, Ричард ; Гильберт, Дэвид (1953), Методы математической физики, Том 1 , Нью-Йорк: Interscience Publishischer, Inc..
Коорнвиндер, Том Х.; Вонг, Родерик СК; Кукук, Рулоф; Свартау, Рене Ф. (2010), «Ортогональные полиномы», в Олвере, Фрэнке В.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, МР 2723248.
Шах, С.Р. (1973) Новые тождества для связанных по Лежандру функций целого порядка и степени , Журнал Общества промышленной и прикладной математики по математическому анализу, 1976, Vol. 7, № 1: стр. 59–69.