Сферическая система координат

3-мерная система координат

Конвенция по физике . Обычно используемые сферические координаты ( r , θ , φ ) : ( ISO 80000-2:2019 ): радиальное расстояние r ( наклонное расстояние до начала координат), полярный угол θ ( тета ) (угол относительно положительной полярной оси) и азимутальный угол φ ( фи ) (угол поворота от начальной плоскости меридиана). Это соглашение, которому следуют в этой статье.

В математике сферическая система координат — это система координат трехмерного пространства , где положение данной точки в пространстве задается тремя числами ( r , θ , φ ): радиальное расстояние радиальной линии r , соединяющей точку. к фиксированной точке начала координат (которая расположена на фиксированной полярной оси, оси зенитного направления или оси z ); полярный угол θ радиальной линии r ; и азимутальный угол φ радиальной линии r .

Полярный угол θ измеряется между осью z и радиальной линией r . Азимутальный угол φ измеряется между ортогональной проекцией радиальной линии r на опорную плоскость xy , которая ортогональна оси z и проходит через фиксированную исходную точку, и либо фиксированной осью x , либо фиксированной осью y . оси, обе из которых ортогональны оси z и друг другу. (См. рисунок, посвященный «физическому соглашению».)

Как только радиус фиксирован, три координаты (r, θ, φ), известные как тройка , образуют систему координат на сфере , обычно называемую сферическими полярными координатами . Примечание: в этой статье соблюдаются правила физики; (См. графики «соглашение по физике» и «соглашение по математике») .

Радиальное расстояние от фиксированной точки начала координат также называют радиусом , или радиальной линией , или радиальной координатой . Полярный угол можно назвать углом наклона , зенитным углом , нормальным углом или широтой . Пользователь может игнорировать угол наклона и вместо этого использовать угол возвышения , который измеряется вверх между базовой плоскостью и радиальной линией, т. е. от базовой плоскости вверх (в направлении положительной оси z) к радиальной линии. Угол склонения является отрицательным по отношению к углу возвышения. (См. рисунок, посвященный «физическому соглашению», а не «математическому соглашению».)

Как использование символов, так и порядок именования координат кортежа различаются в разных источниках и дисциплинах. В этой статье будет использоваться соглашение ISO ^[1] , часто встречающееся в физике , где кортеж именования задает следующий порядок: радиальное расстояние, полярный угол, азимутальный угол или . (См. рисунок, посвященный «физическому соглашению».) Напротив, соглашения во многих книгах и текстах по математике определяют порядок именования по-разному: радиальное расстояние, «азимутальный угол», «полярный угол» и / или - что меняет использование и значения символов θ и φ . Могут также использоваться другие соглашения, например, r для радиуса от оси z , который не исходит от начальной точки. Особое внимание необходимо уделить проверке значения символов . ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle (\rho ,\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$

Математическая конвенция . Обычно используемые сферические координаты ( r , θ , φ ) : радиальное расстояние r , азимутальный угол θ и полярный угол φ . + Значения θ и φ поменялись местами — по сравнению с физическим соглашением . Ось X в направлении «юг» изображена, а ось X в направлении «север» — нет. (Как и в физике, ρ ( rho ) часто используется вместо r , чтобы избежать путаницы со значением r в цилиндрических и двумерных полярных координатах.)

Согласно соглашениям о географических системах координат , положения измеряются широтой, долготой и высотой (высотой). Существует ряд небесных систем координат , основанных на разных фундаментальных плоскостях и с разными терминами для разных координат. В сферических системах координат, используемых в математике, обычно используются радианы , а не градусы ; (обратите внимание, что 90 градусов равны π _/2 радиан). И эти системы математического соглашения могут измерять азимутальный угол против часовой стрелки (т. е. от южного направления оси X , или 180°, к восточному направлению оси Y , или +90°), а не измерять по часовой стрелке (т. е. от направление оси X на север, или 0°, по отношению к оси Y, направление на восток, или +90°), как это сделано в горизонтальной системе координат . ^[2] (См. рисунок «Математическое соглашение».)

Сферическую систему координат физического соглашения можно рассматривать как обобщение полярной системы координат в трехмерном пространстве . Ее можно далее распространить на пространства более высокой размерности, и тогда ее называют гиперсферической системой координат .

Определение

Чтобы определить сферическую систему координат, необходимо обозначить исходную точку в пространстве O и два ортогональных направления: опорное направление зенита и опорное направление азимута . Эти варианты выбора определяют опорную плоскость, которая обычно определяется как содержащая исходную точку и оси x и y , каждая из которых может быть обозначена как опорное направление азимута. Базовая плоскость перпендикулярна (ортогональна) направлению зенита и обычно обозначается «горизонтально» по отношению к «вертикали» зенитного направления. Тогда сферические координаты точки P определяются следующим образом:

• Радиус или радиальное расстояние — это евклидово расстояние от начала координат O до P.
• Наклонение (или полярный угол ) — это угол со знаком от опорного направления зенита до отрезка OP . ( Высота может использоваться как полярный угол вместо наклона ; см. ниже.)
• Азимут (или азимутальный угол ) — это угол со знаком, измеренный от опорного направления азимута до ортогональной проекции радиального отрезка OP на опорную плоскость .

Знак азимута определяется путем обозначения вращения, которое представляет собой положительный смысл поворота вокруг зенита. Этот выбор произволен и является частью определения системы координат. (Если наклон равен нулю или 180 градусам (= π радиан), азимут произволен. Если радиус равен нулю, то и азимут, и наклонение произвольны.)

Высота — это угол со знаком от базовой плоскости xy до сегмента радиальной линии OP , где положительные углы обозначены как направленные вверх, по направлению к зениту . Высота составляет 90 градусов (=π/2радианы) минус наклонение . Таким образом, если наклон составляет 60 градусов (=π/3радиан), то угол места равен 30 градусам (=π/6радианы).

В линейной алгебре вектор от начала координат O до точки P часто называют вектором положения точки P.

Конвенции

Существует несколько различных соглашений для представления сферических координат и предписания порядка именования их символов. Набор из трех чисел обозначает радиальное расстояние, полярный угол - «наклон» или, альтернативно, «возвышение» - и азимутальный угол. Это обычная практика в рамках физического соглашения, как указано в стандарте ISO 80000-2:2019 и ранее в ISO 31-11 (1992). ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$

Как указано выше, в этой статье описывается «физическое соглашение» ISO, если не указано иное.

Однако некоторые авторы (в том числе математики) используют символ ρ (rho) для обозначения радиуса или радиального расстояния, φ для обозначения наклона (или возвышения) и θ для азимута, в то время как другие продолжают использовать r для обозначения радиуса; все это «обеспечивает логическое расширение обычных обозначений полярных координат». ^[3] Что касается порядка, некоторые авторы указывают азимут перед углом наклона (или места). Некоторые комбинации этих вариантов приводят к левой системе координат. Стандартный набор из трех кортежей «физического соглашения» конфликтует с обычными обозначениями двумерных полярных координат и трехмерных цилиндрических координат , где θ часто используется для обозначения азимута. ^[3] ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$

Углы обычно измеряются в градусах (°) или радианах (рад), где 360° = 2 π рад. Использование градусов наиболее распространено в географии, астрономии и технике, где радианы обычно используются в математике и теоретической физике. Единица радиального расстояния обычно определяется контекстом, как это происходит в приложениях «единичной сферы», см. #Приложения.

Когда система используется для обозначения физического трехпространства, принято присваивать положительные углы азимута, измеренные против часовой стрелки от исходного направления на опорной плоскости, если смотреть с «зенитной» стороны плоскости. Это соглашение используется, в частности, для географических координат, где направление «зенита» — север , а положительные углы азимута (долготы) отсчитываются на восток от некоторого нулевого меридиана .

Примечание: восточное направление ( E ), северное направление ( N ) , восходящее направление ( U ). В случае ( U , S , E ) местный азимутальный угол будет измеряться против часовой стрелки от S до E.

Уникальные координаты

Любая тройка (или кортеж) сферических координат определяет одну точку трехмерного пространства. С другой стороны, любая отдельная точка имеет бесконечное множество эквивалентных сферических координат. То есть пользователь может прибавлять или вычитать любое количество полных витков к угловым мерам, не изменяя сами углы и, следовательно, не меняя точку. Во многих контекстах удобно использовать отрицательные радиальные расстояния, при этом соглашение , что эквивалентно для любых r , θ и φ . Более того, эквивалентно . ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle (-r,-\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle (r,-\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi {+}180^{\circ })}$

Когда необходимо определить уникальный набор сферических координат для каждой точки, пользователь должен ограничить диапазон , или интервал , каждой координаты. Обычный выбор:

• радиальное расстояние: r ≥ 0,
• полярный угол: 0° ≤ θ ≤ 180° или 0 рад ≤ θ ≤ π рад ,
• азимут: 0° ≤ φ < 360° или 0 рад ≤ φ < 2 π рад .

Но вместо интервала [0°, 360°) азимут φ обычно ограничивается полуоткрытым интервалом (−180°, +180°] или (− π , + π ] радиан, что является стандартным соглашением. для географической долготы.

Для полярного угла θ диапазон (интервал) наклона составляет [0°, 180°] , что эквивалентно диапазону возвышений (интервалу) [−90°, +90°] . В географии широта – это высота.

Даже с учетом этих ограничений, если полярный угол (наклонение) равен 0 ° или 180 °, а высота равна -90 ° или +90 °, то азимутальный угол является произвольным; а если r равно нулю, то азимут и полярные углы произвольны. Чтобы определить координаты как уникальные, пользователь может установить соглашение, согласно которому (в этих случаях) произвольные координаты устанавливаются в ноль.

Построение графика

Чтобы построить любую точку по ее сферическим координатам ( r , θ , φ ) , где θ — наклон, пользователь должен: переместить r единиц от начала координат в опорном направлении зенита (ось z); затем повернуть на величину азимутального угла ( φ ) вокруг начала координат от назначенного опорного направления азимута (т. е. либо по оси x, либо по оси y, см. определение выше); а затем повернуть от оси Z на угол θ .

Приложения

В математическом соглашении : глобус, показывающий единичную сферу с кортежем координат точки P (красный): ее радиальное расстояние r (красный, без обозначения); его азимутальный угол θ (не обозначен); и его полярный угол наклона φ (не обозначен). Радиальному расстоянию вверх вдоль оси зенита от начальной точки до поверхности сферы присвоено значение единица, или 1. + На этом изображении r кажется равным 4/6, или 0,67 (единицы). ; т.е. четыре из шести «гнездовых оболочек» вышли на поверхность. Угол азимута θ кажется положительным и составляет 90 ° при повороте против часовой стрелки от оси x отсчета азимута; и наклонение φ кажется равным 30 ° при повороте от оси зенита. (Обратите внимание, что «полное» вращение или наклон от оси зенита к оси Y составляет 90 °).

Точно так же, как двумерная декартова система координат полезна (имеет широкий спектр применений) на плоской поверхности, двумерная сферическая система координат полезна на поверхности сферы. Например, одна сфера, которая описывается в декартовых координатах уравнением x ² + y ² + z ² = c ^{2 ,} может быть описана в сферических координатах простым уравнением r = c . (В этой системе, показанной здесь в математическом соглашении , сфера адаптирована как единичная сфера , где радиус установлен равным единице, а затем его обычно можно игнорировать, см. рисунок.)

Это упрощение (единичная сфера) также полезно при работе с такими объектами, как матрицы вращения . Сферические координаты также полезны при анализе систем, имеющих некоторую степень симметрии относительно точки, включая: интегралы объема внутри сферы; поле потенциальной энергии, окружающее концентрированную массу или заряд; или глобальное моделирование погоды в атмосфере планеты.

Показанная здесь диаграмма выходного сигнала промышленного громкоговорителя использует сферические полярные графики, полученные на шести частотах.

Трехмерное моделирование выходных характеристик громкоговорителей можно использовать для прогнозирования их характеристик. Требуется ряд полярных графиков, снятых при широком выборе частот, поскольку картина сильно меняется с частотой. Полярные графики помогают показать, что многие громкоговорители имеют тенденцию к всенаправленности на более низких частотах.

Важное применение сферических координат обеспечивает разделение переменных в двух уравнениях в частных производных — уравнениях Лапласа и Гельмгольца , — возникающих во многих физических задачах. Угловые части решений таких уравнений принимают форму сферических гармоник . Другое применение — эргономичный дизайн , где r — длина руки неподвижного человека, а углы описывают направление вытянутой руки. Сферическая система координат также широко используется при разработке 3D-игр для вращения камеры вокруг положения игрока ^[4].

В географии

Вместо наклона географическая система координат использует угол возвышения (или широту ) в диапазоне (также известный как область ) −90° ≤ φ ≤ 90° и повернутый на север от плоскости экватора . Широта (т. е. угол широты) может быть либо геоцентрической широтой , измеренной (повернутой) от центра Земли и обозначаемой по-разному ψ , q , φ ′, φ _c , φ _g , либо геодезической широтой , измеренной (повернутой) от центра Земли. локальная вертикаль наблюдателя и обычно обозначается φ . Полярный угол (наклонение), составляющий 90° минус широта и колеблющийся от 0 до 180°, в географии называется широтой .

Угол азимута (или долгота ) данной позиции на Земле, обычно обозначаемый λ , измеряется в градусах к востоку или западу от некоторого обычного эталонного меридиана (чаще всего эталонного меридиана IERS ); таким образом, его область действия (или диапазон) составляет -180 ° ≤ λ ≤ 180 ° , и данное значение обычно обозначается «Восток» или «Запад». Для положений на Земле или другом твердом небесном теле за отсчетную плоскость обычно принимают плоскость, перпендикулярную оси вращения .

Вместо радиального расстояния r географы обычно используют высоту над или под некоторой местной базовой поверхностью ( вертикальной базой ), которой, например, может быть средний уровень моря . При необходимости радиальное расстояние можно вычислить по высоте, добавив радиус Земли , который составляет примерно 6360 ± 11 км (3952 ± 7 миль).

Однако современные географические системы координат довольно сложны, и координаты, определяемые этими простыми формулами, могут быть неточными на несколько километров. Точные стандартные значения широты, долготы и высоты в настоящее время определяются Всемирной геодезической системой (WGS) и учитывают сплющивание Земли на полюсах (около 21 км или 13 миль) и многие другие детали.

В планетарных системах координат используются формулировки, аналогичные географической системе координат.

В астрономии

Ряд астрономических систем координат используется для измерения угла места в нескольких фундаментальных плоскостях . Эти опорные плоскости включают в себя: горизонт наблюдателя , галактический экватор (определяемый вращением Млечного Пути ), небесный экватор (определяемый вращением Земли), плоскость эклиптики ( определяемую вращением Земли вокруг Солнца ) и плоскость земного терминатора (нормаль к мгновенному направлению на Солнце ) .

Преобразования системы координат

Поскольку сферическая система координат является лишь одной из многих трехмерных систем координат, существуют уравнения для преобразования координат между сферической системой координат и другими.

Декартовы координаты

Сферические координаты точки в соглашении ISO (т.е. для физики: радиус r , наклонение θ , азимут φ ) можно получить из ее декартовых координат ( x , y , z ) по формулам

$${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\theta &=\arccos {\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}=\arccos {\frac {z}{r}}={\begin{cases}\arctan {\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}&{\text{if }}z>0\\\pi +\arctan {\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}&{\text{if }}z<0\\+{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}z=0{\text{ and }}xy\neq 0\\{\text{undefined}}&{\text{if }}x=y=z=0\\\end{cases}}\\\varphi &=\operatorname {sgn}(y)\arccos {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\text{if }}x>0,\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0,\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y<0,\\+{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y>0,\\-{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y<0,\\{\text{undefined}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Обратный тангенс , обозначенный через φ = arctanй/Иксдолжно быть соответствующим образом определено с учетом правильного квадранта ( x , y ) . См. статью на atan2 .

Альтернативно, преобразование можно рассматривать как два последовательных прямоугольных преобразования в полярные : первое в декартовой плоскости xy от ( x , y ) до ( R , φ ) , где R — проекция r на плоскость xy , и второй в декартовой плоскости zR от ( z , R ) до ( r , θ ) . Правильные квадранты для φ и θ подразумеваются правильностью преобразования плоских прямоугольных в полярные.

Эти формулы предполагают, что две системы имеют одно и то же происхождение, что сферическая плоскость отсчета является декартовой плоскостью xy , что θ представляет собой наклон от направления z и что азимутальные углы отсчитываются от декартовой оси x (так что ось y имеет φ = +90° ). Если θ измеряет высоту от базовой плоскости, а не наклон от зенита, то arccos выше становится arcsin, а cos θ и sin θ ниже меняются местами.

И наоборот, декартовы координаты могут быть получены из сферических координат ( радиус r , наклонение θ , азимут φ ), где r ∈ [0, ∞) , θ ∈ [0, π ] , φ ∈ [0, 2 π ) , по формуле

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\sin \theta \,\cos \varphi ,\\y&=r\sin \theta \,\sin \varphi ,\\z&=r\cos \theta .\end{aligned}}}$$

Цилиндрические координаты

Цилиндрические координаты ( осевой радиус ρ , азимут φ , высота z ) можно преобразовать в сферические координаты ( центральный радиус r , наклонение θ , азимут φ ) по формулам

$${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}},\\\theta &=\arctan {\frac {\rho }{z}}=\arccos {\frac {z}{\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}},\\\varphi &=\varphi .\end{aligned}}}$$

И наоборот, сферические координаты можно преобразовать в цилиндрические по формулам

$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=r\sin \theta ,\\\varphi &=\varphi ,\\z&=r\cos \theta .\end{aligned}}}$$

Эти формулы предполагают, что две системы имеют одно и то же начало координат и одну и ту же плоскость отсчета, измеряют угол азимута φ в одинаковых направлениях от одной и той же оси и что сферический угол θ представляет собой наклон от цилиндрической оси z .

Обобщение

Также можно иметь дело с эллипсоидами в декартовых координатах, используя модифицированную версию сферических координат.

Пусть P — эллипсоид, заданный множеством уровня

$${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=d.}$$

Модифицированные сферические координаты точки в P в соглашении ISO (т.е. для физики: радиус r , наклонение θ , азимут φ ) можно получить из ее декартовых координат ( x , y , z ) по формулам

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {1}{\sqrt {a}}}r\sin \theta \,\cos \varphi ,\\y&={\frac {1}{\sqrt {b}}}r\sin \theta \,\sin \varphi ,\\z&={\frac {1}{\sqrt {c}}}r\cos \theta ,\\r^{2}&=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}.\end{aligned}}}$$

Бесконечно малый элемент объема определяется выражением

$${\displaystyle \mathrm {d} V=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}\right|\,dr\,d\theta \,d\varphi ={\frac {1}{\sqrt {abc}}}r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi ={\frac {1}{\sqrt {abc}}}r^{2}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \Omega .}$$

Коэффициент квадратного корня происходит из свойства определителя , который позволяет извлечь константу из столбца:

$${\displaystyle {\begin{vmatrix}ka&b&c\\kd&e&f\\kg&h&i\end{vmatrix}}=k{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}.}$$

Интегрирование и дифференцирование в сферических координатах

Единичные векторы в сферических координатах

Следующие уравнения (Iyanaga 1977) предполагают, что широта θ представляет собой наклон от положительной оси z , как в обсуждаемом физическом соглашении .

Линейный элемент для бесконечно малого перемещения от ( r , θ , φ ) до ( r + d r , θ + d θ , φ + d φ ) равен

$${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} =\mathrm {d} r\,{\hat {\mathbf {r} }}+r\,\mathrm {d} \theta \,{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r\sin {\theta }\,\mathrm {d} \varphi \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\varphi }}} ,}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {r} }}&=\sin \theta \cos \varphi \,{\hat {\mathbf {x} }}+\sin \theta \sin \varphi \,{\hat {\mathbf {y} }}+\cos \theta \,{\hat {\mathbf {z} }},\\{\hat {\boldsymbol {\theta }}}&=\cos \theta \cos \varphi \,{\hat {\mathbf {x} }}+\cos \theta \sin \varphi \,{\hat {\mathbf {y} }}-\sin \theta \,{\hat {\mathbf {z} }},\\{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}&=-\sin \varphi \,{\hat {\mathbf {x} }}+\cos \varphi \,{\hat {\mathbf {y} }}\end{aligned}}}$$

единичные векторыrθφx̂ŷẑматрицу вращения

$${\displaystyle R={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\sin \theta \sin \varphi &{\hphantom {-}}\cos \theta \\\cos \theta \cos \varphi &\cos \theta \sin \varphi &-\sin \theta \\-\sin \varphi &\cos \varphi &{\hphantom {-}}0\end{pmatrix}}.}$$

Это дает преобразование из сферического в декартовое, обратное - обратное. Примечание: матрица является ортогональной матрицей , то есть ее инверсия — это просто ее транспонирование .

Таким образом, декартовы единичные векторы связаны со сферическими единичными векторами следующим образом:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\cos \theta \cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\cos \theta \sin \varphi &{\hphantom {-}}\cos \varphi \\\cos \theta &-\sin \theta &{\hphantom {-}}0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\hat {r}}}\\{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\\{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\end{bmatrix}}}$$

Общая форма формулы для доказательства элемента дифференциальной линии такова: ^[5]

$${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} =\sum _{i}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\,\mathrm {d} x_{i}=\sum _{i}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\right|{\frac {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}{\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\right|}}\,\mathrm {d} x_{i}=\sum _{i}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\right|\,\mathrm {d} x_{i}\,{\hat {\boldsymbol {x}}}_{i},}$$

${\displaystyle \mathbf {r} }$

Чтобы применить это к настоящему случаю, нужно вычислить, как меняется каждая из координат. В используемых соглашениях ${\displaystyle \mathbf {r} }$

$${\displaystyle \mathbf {r} ={\begin{bmatrix}r\sin \theta \,\cos \varphi \\r\sin \theta \,\sin \varphi \\r\cos \theta \end{bmatrix}}.}$$

Таким образом,

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial r}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \,\cos \varphi \\\sin \theta \,\sin \varphi \\\cos \theta \end{bmatrix}}=\mathbf {\hat {r}} ,\quad {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}={\begin{bmatrix}r\cos \theta \,\cos \varphi \\r\cos \theta \,\sin \varphi \\-r\sin \theta \end{bmatrix}}=r\,{\hat {\boldsymbol {\theta }}},\quad {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}={\begin{bmatrix}-r\sin \theta \,\sin \varphi \\{\hphantom {-}}r\sin \theta \,\cos \varphi \\0\end{bmatrix}}=r\sin \theta \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\varphi }}} .}$$

Искомые коэффициенты — это величины этих векторов: ^[5]

$${\displaystyle \left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial r}}\right|=1,\quad \left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right|=r,\quad \left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}\right|=r\sin \theta .}$$

Элемент поверхности , простирающийся от θ до θ + d θ и от φ до φ + d φ на сферической поверхности с (постоянным) радиусом r , тогда равен

$${\displaystyle \mathrm {d} S_{r}=\left\|{\frac {\partial {\mathbf {r} }}{\partial \theta }}\times {\frac {\partial {\mathbf {r} }}{\partial \varphi }}\right\|\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =\left|r{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\times r\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\right|=r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi ~.}$$

Таким образом, дифференциальный телесный угол равен

$${\displaystyle \mathrm {d} \Omega ={\frac {\mathrm {d} S_{r}}{r^{2}}}=\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .}$$

Элемент поверхности на поверхности с постоянным полярным углом θ (конус с вершиной в начале координат) равен

$${\displaystyle \mathrm {d} S_{\theta }=r\sin \theta \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} r.}$$

Элемент поверхности на поверхности постоянного азимута φ (вертикальная полуплоскость) равен

$${\displaystyle \mathrm {d} S_{\varphi }=r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta .}$$

Элемент объема , простирающийся от r до r + d r , от θ до θ + d θ и от φ до φ + d φ, определяется определителем матрицы Якоби частных производных ,

$${\displaystyle J={\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &{\hphantom {-}}r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &{\hphantom {-}}0\end{pmatrix}},}$$

$${\displaystyle \mathrm {d} V=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}\right|\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \Omega ~.}$$

Так, например, функция f ( r , θ , φ ) может быть проинтегрирована по каждой точке в R ³ тройным интегралом

$${\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }\int \limits _{0}^{\infty }f(r,\theta ,\varphi )r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi ~.}$$

Оператор del в этой системе приводит к следующим выражениям для градиента и лапласиана для скалярных полей:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla f&={\partial f \over \partial r}{\hat {\mathbf {r} }}+{1 \over r}{\partial f \over \partial \theta }{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+{1 \over r\sin \theta }{\partial f \over \partial \varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}},\\[8pt]\nabla ^{2}f&={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}\\[8pt]&=\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)f+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)f+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}f~,\\[8pt]\end{aligned}}}$$

дивергенцииротораполей

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} ={\frac {1}{r^{2}}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}A_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta A_{\theta }\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial A_{\varphi } \over \partial \varphi },}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {A} ={}&{\frac {1}{r\sin \theta }}\left[{\partial \over \partial \theta }\left(A_{\varphi }\sin \theta \right)-{\partial A_{\theta } \over \partial \varphi }\right]{\hat {\mathbf {r} }}\\[4pt]&{}+{\frac {1}{r}}\left[{1 \over \sin \theta }{\partial A_{r} \over \partial \varphi }-{\partial \over \partial r}\left(rA_{\varphi }\right)\right]{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\\[4pt]&{}+{\frac {1}{r}}\left[{\partial \over \partial r}\left(rA_{\theta }\right)-{\partial A_{r} \over \partial \theta }\right]{\hat {\boldsymbol {\varphi }}},\end{aligned}}}$$

Далее, обратный якобиан в декартовых координатах равен

$${\displaystyle J^{-1}={\begin{pmatrix}{\dfrac {x}{r}}&{\dfrac {y}{r}}&{\dfrac {z}{r}}\\\\{\dfrac {xz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\dfrac {yz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\dfrac {-\left(x^{2}+y^{2}\right)}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}\\\\{\dfrac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\end{pmatrix}}.}$$

тензор ${\displaystyle g=J^{T}J}$

Расстояние в сферических координатах

В сферических координатах даны две точки, где φ является азимутальной координатой.

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {r} }&=(r,\theta ,\varphi ),\\{\mathbf {r} '}&=(r',\theta ',\varphi ')\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {D} }&={\sqrt {r^{2}+r'^{2}-2rr'(\sin {\theta }\sin {\theta '}\cos {(\varphi -\varphi ')}+\cos {\theta }\cos {\theta '})}}\end{aligned}}}$$

Кинематика

В сферических координатах положение точки или частицы (хотя лучше записать в виде тройки ) можно записать как ^[6] ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$

$${\displaystyle \mathbf {r} =r\mathbf {\hat {r}} .}$$

^[6]

$${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\dot {r}}\mathbf {\hat {r}} +r\,{\dot {\theta }}\,{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r\,{\dot {\varphi }}\sin \theta \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\varphi }}} }$$

^[6]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} ={}&{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\\[1ex]={}&{\hphantom {+}}\;\left({\ddot {r}}-r\,{\dot {\theta }}^{2}-r\,{\dot {\varphi }}^{2}\sin ^{2}\theta \right)\mathbf {\hat {r}} \\&{}+\left(r\,{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}\,{\dot {\theta }}-r\,{\dot {\varphi }}^{2}\sin \theta \cos \theta \right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}\\&{}+\left(r{\ddot {\varphi }}\,\sin \theta +2{\dot {r}}\,{\dot {\varphi }}\,\sin \theta +2r\,{\dot {\theta }}\,{\dot {\varphi }}\,\cos \theta \right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\end{aligned}}}$$

Угловой момент _

$${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v} =mr^{2}\left(-{\dot {\varphi }}\sin \theta \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\theta }}} +{\dot {\theta }}\,{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\right)}$$

φθ = ${\displaystyle m}$π/2векторному исчислению в полярных координатах

Соответствующий оператор углового момента следует из приведенной выше переформулировки в фазовом пространстве:

$${\displaystyle \mathbf {L} =-i\hbar ~\mathbf {r} \times \nabla =i\hbar \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\theta }}}{\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}-{\hat {\boldsymbol {\phi }}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\right).}$$

Крутящий момент определяется как ^[6]

$${\displaystyle \mathbf {\tau } ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =-m\left(2r{\dot {r}}{\dot {\varphi }}\sin \theta +r^{2}{\ddot {\varphi }}\sin {\theta }+2r^{2}{\dot {\theta }}{\dot {\varphi }}\cos {\theta }\right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}+m\left(r^{2}{\ddot {\theta }}+2r{\dot {r}}{\dot {\theta }}-r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}\sin \theta \cos \theta \right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}}$$

Кинетическая энергия определяется как ^[6]

$${\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}m\left[\left({\dot {r}}^{2}\right)+\left(r{\dot {\theta }}\right)^{2}+\left(r{\dot {\varphi }}\sin \theta \right)^{2}\right]}$$

Смотрите также

• Небесная система координат  - Система определения положения небесных объектов.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Система координат  – метод указания положения точек.
• Del в цилиндрических и сферических координатах  - математический оператор градиента в некоторых системах координат.
• Метод двойной сферы Фурье
• Высота (баллистика)  - Угол в баллистике.
• Углы Эйлера  - Описание ориентации твердого тела.
• Блокировка карданного подвеса  - потеря одной степени свободы в трехмерном трехкарданном механизме.
• Гиперсфера  - Обобщенная сфера размерности n (математика)Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Матрица и определитель Якобиана  - матрица всех частных производных первого порядка вектор-функции.
• Список канонических преобразований координат
• Сфера  - набор точек, равноудаленных от центра.
• Сферическая гармоника  - специальные математические функции, определенные на поверхности сферы.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Теодолит  - Оптический геодезический прибор.
• Векторные поля в цилиндрических и сферических координатах  . Представление векторных полей в трехмерных криволинейных системах координат.
• Рыскание, тангаж и крен  - Основные направления авиации.Pages displaying short descriptions of redirect targets

Примечания

1. «ISO 80000-2:2019 Величины и единицы. Часть 2: Математика». ИСО . 19 мая 2020 г. стр. 20–21. Предмет номер. 2-17.3 . Проверено 12 августа 2020 г.
2. Даффетт-Смит, П. и Цварт, Дж., стр. 34.
3. Эрик В. Вайсштейн (26 октября 2005 г.). «Сферические координаты». Математический мир . Проверено 15 января 2010 г.
4. «Математика видеоигр: полярная и сферическая нотация». Академия интерактивных развлечений (АИЕ) . Проверено 16 февраля 2022 г.
5. «Линейный элемент (dl) в выводе/диаграмме сферических координат». Обмен стеками . 21 октября 2011 г.
6. Рид, Брюс Кэмерон (2019). Кеплеровы эллипсы: физика гравитационной задачи двух тел. Издательство Morgan & Claypool, Институт физики. Сан-Рафаэль [Калифорния] (40 Oak Drive, Сан-Рафаэль, Калифорния, 94903, США). ISBN 978-1-64327-470-6. ОКЛК  1104053368.{{cite book}}: CS1 maint: location (link) CS1 maint: location missing publisher (link)

Библиография

• Иянага, Сёкити; Кавада, Юкиёси (1977). Энциклопедический словарь математики . МТИ Пресс. ISBN 978-0262090162.
• Морс П.М. , Фешбах Х. (1953). Методы теоретической физики. Часть I. Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 658. ИСБН 0-07-043316-Х. LCCN  52011515.
• Маргенау Х. , Мерфи Г.М. (1956). Математика физики и химии . Нью-Йорк: Д. ван Ностранд. стр. 177–178. LCCN  55010911.
• Корн Г.А., Корн ТМ (1961). Математический справочник для ученых и инженеров . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 174–175. LCCN  59014456. ASIN B0000CKZX7.
• Зауэр Р., Сабо I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs . Нью-Йорк: Springer Verlag. стр. 95–96. LCCN  67025285.
• Мун П., Спенсер Д.Э. (1988). «Сферические координаты (r, θ, ψ)». Справочник по теории поля, включая системы координат, дифференциальные уравнения и их решения (исправленное 2-е изд., 3-е печатное изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 24–27 (табл. 1.05). ISBN 978-0-387-18430-2.
• Даффетт-Смит П., Цварт Дж. (2011). Практическая астрономия с помощью калькулятора или электронной таблицы, 4-е издание . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. п. 34. ISBN 978-0521146548.

Внешние ссылки

• «Сферические координаты», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Описание сферических координат в MathWorld
• Конвертер координат – преобразует полярные, декартовы и сферические координаты.