Разделение переменных

Методика решения дифференциальных уравнений

В математике разделение переменных (также известное как метод Фурье ) — это любой из нескольких методов решения обыкновенных уравнений и уравнений в частных производных , в которых алгебра позволяет переписать уравнение так, чтобы каждая из двух переменных находилась на разных сторонах уравнения . .

Решите пропорциональное дифференциальное ^{уравнение первого порядка}

Решите линейное дифференциальное уравнение первого порядка ^{[ нужна ссылка ]} путем разделения переменных. ^[1]

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)

Дифференциальное уравнение относительно неизвестного будет разделимым, если его можно записать в виде ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=g(x)h(f(x))}$

где и — заданные функции. Возможно, это более прозрачно, если писать с использованием as: ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle y=f(x)}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=g(x)h(y).}$

Итак, теперь, пока h ( y ) ≠ 0, мы можем переставить члены, чтобы получить:

${\displaystyle {dy \over h(y)}=g(x)\,dx,}$

где две переменные x и y были разделены. Примечание dx (и dy ) на простом уровне можно рассматривать как просто удобную запись, которая обеспечивает удобную мнемоническую помощь для помощи в манипуляциях. Формальное определение dx как дифференциала (бесконечно малого) является несколько продвинутым.

Альтернативные обозначения

Те, кому не нравятся обозначения Лейбница, могут предпочесть написать это так:

${\displaystyle {\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}=g(x),}$

но это не делает столь же очевидным, почему это называется «разделением переменных». Интегрируя обе части уравнения по , имеем ${\displaystyle x}$

или эквивалентно,

${\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}\,dy=\int g(x)\,dx}$

из-за правила замены интегралов .

Если можно вычислить два интеграла, можно найти решение дифференциального уравнения. Обратите внимание, что этот процесс эффективно позволяет нам рассматривать производную как дробь, которую можно разделить. Это позволяет нам более удобно решать разделимые дифференциальные уравнения, как показано в примере ниже. ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$

(Обратите внимание, что нам не нужно использовать две константы интегрирования в уравнении ( A1 ), как в

${\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}\,dy+C_{1}=\int g(x)\,dx+C_{2},}$

потому что одна константа эквивалентна.) ${\displaystyle C=C_{2}-C_{1}}$

Пример

Рост населения часто моделируется «логистическим» дифференциальным уравнением.

${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=kP\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}$

где – численность населения по времени , – темпы роста и – несущая способность окружающей среды. Разделение переменных теперь приводит к ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int {\frac {dP}{P\left(1-P/K\right)}}=\int k\,dt\end{aligned}}}$

который легко интегрируется с использованием простейших дробей в левой части, что дает

${\displaystyle P(t)={\frac {K}{1+Ae^{-kt}}}}$

где А — константа интегрирования. Мы можем найти через t=0. Отмечая, что мы получаем ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P\left(0\right)=P_{0}}$ ${\displaystyle e^{0}=1}$

${\displaystyle A={\frac {K-P_{0}}{P_{0}}}.}$

Обобщение сепарабельных ОДУ до n-го порядка

Подобно тому, как можно говорить о сепарабельном ОДУ первого порядка, можно говорить и о сепарабельном ОДУ второго, третьего или n -го порядка. Рассмотрим сепарабельное ОДУ первого порядка:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(y)g(x)}$

Альтернативно производную можно записать следующим образом, чтобы подчеркнуть, что это оператор, работающий с неизвестной функцией y :

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}(y)}$

Таким образом, когда кто-то разделяет переменные для уравнений первого порядка, он фактически перемещает знаменатель dx оператора в сторону с переменной x , а d ( y ) остается на стороне с переменной y . Оператор второй производной, по аналогии, разбивается следующим образом:

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)={\frac {d}{dx}}\left({\frac {d}{dx}}(y)\right)}$

Операторы третьей, четвертой и n -й производных работают таким же образом. Таким образом, подобно сепарабельному ОДУ первого порядка, его можно свести к виду

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(y)g(x)}$

сепарабельное ОДУ второго порядка можно привести к виду

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=f\left(y'\right)g(x)}$

и сепарабельное ОДУ n-го порядка сводится к

${\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}=f\!\left(y^{(n-1)}\right)g(x)}$

Пример

Рассмотрим простое нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка:

$${\displaystyle y''=(y')^{2}.}$$

y''y'xy'

$${\displaystyle {\frac {d(y')}{(y')^{2}}}=dx.}$$

xy'

$${\displaystyle \int {\frac {d(y')}{(y')^{2}}}=\int dx.}$$

$${\displaystyle -{\frac {1}{y'}}=x+C_{1},}$$

$${\displaystyle y'=-{\frac {1}{x+C_{1}}}~.}$$

$${\displaystyle y=C_{2}-\ln |x+C_{1}|.}$$

Уравнения в частных производных

Метод разделения переменных также используется для решения широкого круга линейных дифференциальных уравнений в частных производных с граничными и начальными условиями, таких как уравнение теплопроводности , волновое уравнение , уравнение Лапласа , уравнение Гельмгольца и бигармоническое уравнение .

Аналитический метод разделения переменных для решения уравнений в частных производных также был обобщен до вычислительного метода разложения по инвариантным структурам, который можно использовать для решения систем уравнений в частных производных. ^[2]

Пример: однородный случай

Рассмотрим одномерное уравнение теплопроводности . Уравнение

Переменная u обозначает температуру. Граничное условие однородно, т.е.

Попробуем найти решение, которое не является тождественно нулевым, удовлетворяющим граничным условиям, но обладает следующим свойством: u — произведение, в котором зависимость u от x , t разделена, то есть:

Подставляя u обратно в уравнение ( 1 ) и используя правило произведения ,

Поскольку правая часть зависит только от x , а левая часть только от t , обе части равны некоторому постоянному значению − λ . Таким образом:

и

− λ здесь — собственное значение обоих дифференциальных операторов, а T ( t ) и X ( x ) — соответствующие собственные функции .

Теперь мы покажем, что решения для X ( x ) для значений λ ≤ 0 не могут возникнуть:

Предположим, что λ < 0. Тогда существуют действительные числа B , C такие, что

${\displaystyle X(x)=Be^{{\sqrt {-\lambda }}\,x}+Ce^{-{\sqrt {-\lambda }}\,x}.}$

Из ( 2 ) получаем

и, следовательно, B = 0 = C , что означает, что u тождественно равно 0.

Предположим, что λ = 0. Тогда существуют действительные числа B , C такие, что

${\displaystyle X(x)=Bx+C.}$

Из ( 7 ) заключаем так же, как и в 1, что u тождественно равно 0.

Следовательно, должно быть так, что λ > 0. Тогда существуют действительные числа A , B , C такие, что

${\displaystyle T(t)=Ae^{-\lambda \alpha t},}$

и

${\displaystyle X(x)=B\sin({\sqrt {\lambda }}\,x)+C\cos({\sqrt {\lambda }}\,x).}$

Из ( 7 ) получаем C = 0 и что для некоторого натурального числа n

${\displaystyle {\sqrt {\lambda }}=n{\frac {\pi }{L}}.}$

Это решает уравнение теплопроводности в частном случае, когда зависимость u имеет специальную форму ( 3 ).

В общем, сумма решений ( 1 ), удовлетворяющих граничным условиям ( 2 ), также удовлетворяет ( 1 ) и ( 3 ). Следовательно, полное решение может быть представлено в виде

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }D_{n}\sin {\frac {n\pi x}{L}}\exp \left(-{\frac {n^{2}\pi ^{2}\alpha t}{L^{2}}}\right),}$

где D _n – коэффициенты, определяемые начальными условиями.

Учитывая начальное состояние

${\displaystyle u{\big |}_{t=0}=f(x),}$

мы можем получить

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }D_{n}\sin {\frac {n\pi x}{L}}.}$

Это разложение f ( x ) в ряд синуса , которое поддается анализу Фурье. Умножение обеих частей на и интегрирование по [0, L ] приводит к ${\textstyle \sin {\frac {n\pi x}{L}}}$

${\displaystyle D_{n}={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\sin {\frac {n\pi x}{L}}\,dx.}$

Этот метод требует , чтобы собственные функции X были ортогональными и полными . В общем случае это гарантируется теорией Штурма–Лиувилля . ${\textstyle \left\{\sin {\frac {n\pi x}{L}}\right\}_{n=1}^{\infty }}$

Пример: неоднородный случай

Предположим, что уравнение неоднородно,

с граничным условием таким же, как ( 2 ).

Разверните h ( x,t ), u ( x , t ) и f ( x ) в

где h _n ( t ₎ и bn можно вычислить путем интегрирования, а _un ( t ) необходимо определить.

Подставим ( 9 ) и ( 10 ) обратно в ( 8 ) и учитывая ортогональность синусоидальных функций, получим

${\displaystyle u'_{n}(t)+\alpha {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}u_{n}(t)=h_{n}(t),}$

которые представляют собой последовательность линейных дифференциальных уравнений , которые можно легко решить, например, с помощью преобразования Лапласа или интегрирующего коэффициента . Наконец, мы можем получить

${\displaystyle u_{n}(t)=e^{-\alpha {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}t}\left(b_{n}+\int _{0}^{t}h_{n}(s)e^{\alpha {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}s}\,ds\right).}$

Если граничное условие неоднородно, то разложение ( 9 ) и ( 10 ) перестает быть справедливым. Нужно найти функцию v , удовлетворяющую только граничному условию, и вычесть ее из u . Тогда функция uv удовлетворяет однородному граничному условию и может быть решена с помощью описанного выше метода.

Пример: смешанные производные финансовые инструменты

Для некоторых уравнений, включающих смешанные производные, уравнение не разделяется так легко, как уравнение теплопроводности в первом примере выше, но, тем не менее, разделение переменных все же можно применять. Рассмотрим двумерное бигармоническое уравнение

${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}u}{\partial x^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}u}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}u}{\partial y^{4}}}=0.}$

Действуя обычным образом, ищем решения вида

${\displaystyle u(x,y)=X(x)Y(y)}$

и мы получаем уравнение

${\displaystyle {\frac {X^{(4)}(x)}{X(x)}}+2{\frac {X''(x)}{X(x)}}{\frac {Y''(y)}{Y(y)}}+{\frac {Y^{(4)}(y)}{Y(y)}}=0.}$

Записав это уравнение в виде

${\displaystyle E(x)+F(x)G(y)+H(y)=0,}$

Взятие производной этого выражения по дает что означает или и аналогично, взятие производной по приводит к и, таким образом , или , следовательно, либо F ( x ), либо G ( y ) должны быть константой, скажем, −λ. Это также означает, что либо или являются постоянными. Возвращаясь к уравнению для X и Y , мы имеем два случая ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E'(x)+F'(x)G(y)=0}$ ${\displaystyle G(y)=const.}$ ${\displaystyle F'(x)=0}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle F(x)G'(y)+H'(y)=0}$ ${\displaystyle F(x)=const.}$ ${\displaystyle G'(y)=0}$ ${\displaystyle -E(x)=F(x)G(y)+H(y)}$ ${\displaystyle -H(y)=E(x)+F(x)G(y)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X''(x)&=-\lambda _{1}X(x)\\X^{(4)}(x)&=\mu _{1}X(x)\\Y^{(4)}(y)-2\lambda _{1}Y''(y)&=-\mu _{1}Y(y)\end{aligned}}}$

и

${\displaystyle {\begin{aligned}Y''(y)&=-\lambda _{2}Y(y)\\Y^{(4)}(y)&=\mu _{2}Y(y)\\X^{(4)}(x)-2\lambda _{2}X''(x)&=-\mu _{2}X(x)\end{aligned}}}$

каждое из которых можно решить, рассмотрев отдельные случаи для и отметив, что . ${\displaystyle \lambda _{i}<0,\lambda _{i}=0,\lambda _{i}>0}$ ${\displaystyle \mu _{i}=\lambda _{i}^{2}}$

Криволинейные координаты

В ортогональных криволинейных координатах разделение переменных все еще может использоваться, но в некоторых деталях отличается от такового в декартовых координатах. Например, регулярность или периодическое условие могут определять собственные значения вместо граничных условий. См., например, сферические гармоники .

Применимость

Уравнения в частных производных

Для многих УЧП, таких как волновое уравнение, уравнение Гельмгольца и уравнение Шрёдингера, применимость разделения переменных является результатом спектральной теоремы . В некоторых случаях разделение переменных может оказаться невозможным. Разделение переменных может быть возможным в некоторых системах координат, но не в других, ^[3] и то, какие системы координат допускают разделение, зависит от свойств симметрии уравнения. ^[4] Ниже приводится схема аргументации, демонстрирующей применимость метода к некоторым линейным уравнениям, хотя точный метод может отличаться в отдельных случаях (например, в приведенном выше бигармоническом уравнении).

Рассмотрим начально-краевую задачу для функции двух переменных: ${\displaystyle u(x,t)}$ ${\displaystyle D=\{(x,t):x\in [0,l],t\geq 0\}}$

${\displaystyle (Tu)(x,t)=(Su)(x,t)}$

где – дифференциальный оператор по и – дифференциальный оператор по с граничными данными: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle (Tu)(0,t)=(Tu)(l,t)=0}$для ${\displaystyle t\geq 0}$

${\displaystyle (Su)(x,0)=h(x)}$для ${\displaystyle 0\leq x\leq l}$

где – известная функция. ${\displaystyle h}$

Ищем решения вида . Разделение PDE на дает ${\displaystyle u(x,t)=f(x)g(t)}$ ${\displaystyle f(x)g(t)}$

${\displaystyle {\frac {Tf}{f}}={\frac {Sg}{g}}}$

Правая часть зависит только от , а левая часть только от, поэтому обе они должны быть равны константе , что дает два обыкновенных дифференциальных уравнения. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle Tf=Kf,Sg=Kg}$

которые мы можем признать как проблемы собственных значений для операторов для и . Если – компактный самосопряженный оператор в пространстве вместе с соответствующими граничными условиями, то по Спектральной теореме существует основа для составления собственных функций для . Пусть спектр be и пусть будет собственной функцией с собственным значением . Тогда для любой функции, которая в каждый момент времени интегрируется с квадратом относительно , ​​мы можем записать эту функцию как линейную комбинацию . В частности, мы знаем, что решение можно записать в виде ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle L^{2}[0,l]}$ ${\displaystyle L^{2}[0,l]}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda \in E}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f_{\lambda }}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{\lambda \in E}c_{\lambda }(t)f_{\lambda }(x)}$

Для некоторых функций . При разделении переменных эти функции задаются решениями задачи ${\displaystyle c_{\lambda }(t)}$ ${\displaystyle Sg=Kg}$

Следовательно, спектральная теорема гарантирует, что разделение переменных (если это возможно) позволит найти все решения.

Для многих дифференциальных операторов, таких как , мы можем показать, что они самосопряжены путем интегрирования по частям. Хотя эти операторы не могут быть компактными, их обратные (если они существуют) могут быть, как и в случае волнового уравнения, и эти обратные имеют те же собственные функции и собственные значения, что и исходный оператор (за возможным исключением нуля). ^[5] ${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}}$

Матрицы

Матричной формой разделения переменных является сумма Кронекера .

В качестве примера мы рассмотрим 2D дискретный лапласиан на регулярной сетке :

${\displaystyle L=\mathbf {D_{xx}} \oplus \mathbf {D_{yy}} =\mathbf {D_{xx}} \otimes \mathbf {I} +\mathbf {I} \otimes \mathbf {D_{yy}} ,\,}$

где и – одномерные дискретные лапласианы в направлениях x и y соответственно, а – тождества соответствующих размеров. Подробности см. в основной статье «Сумма Кронекера дискретных лапласианов» . ${\displaystyle \mathbf {D_{xx}} }$ ${\displaystyle \mathbf {D_{yy}} }$ ${\displaystyle \mathbf {I} }$

Программное обеспечение

Некоторые математические программы способны выполнять разделение переменных: Xcas ^[6] и другие.

Смотрите также

• Неразделимое дифференциальное уравнение

Примечания

1. «Разделение переменных». www.mathsisfun.com . Проверено 18 сентября 2021 г.
2. Мирошников, Виктор А. (15 декабря 2017 г.). Гармонические волновые системы: дифференциальные уравнения в частных производных разложения Гельмгольца. ISBN 9781618964069.
3. Джон Ренце, Эрик В. Вайсштейн , Разделение переменных
4. Уиллард Миллер (1984) Симметрия и разделение переменных , Cambridge University Press
5. Дэвид Бенсон (2007) Музыка: математическое предложение , Cambridge University Press, Приложение W
6. «Символическая алгебра и математика с Xcas» (PDF) .

Рекомендации

• Полянин, Андрей Д. (28 ноября 2001 г.). Справочник по линейным уравнениям в частных производных для инженеров и ученых . Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall/CRC . ISBN 1-58488-299-9.
• Мьинт-У, Тын; Дебнат, Локенат (2007). Линейные дифференциальные уравнения в частных производных для ученых и инженеров . Бостон, Массачусетс: Биркхойзер Бостон . дои : 10.1007/978-0-8176-4560-1. ISBN 978-0-8176-4393-5.
• Тешль, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы. Аспирантура по математике . Том. 140. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-8328-0.

Внешние ссылки

• «Метод Фурье», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Джон Ренц, Эрик В. Вайсштейн , «Разделение переменных» («Дифференциальное уравнение») в MathWorld .
• Методы обобщенного и функционального разделения переменных в EqWorld: мир математических уравнений
• Примеры разделения переменных для решения УЧП
• «Краткое обоснование разделения переменных»