Обратимая диффузия

В математике обратимая диффузия является частным примером обратимого стохастического процесса . Обратимые диффузии имеют элегантную характеристику , данную русским математиком Андреем Николаевичем Колмогоровым .

Характеристика обратимых диффузий по Колмогорову

Пусть B обозначает d - мерное стандартное броуновское движение ; пусть b  :  R ^d  →  R ^d будет непрерывным по Липшицу векторным полем . Пусть X  : [0, +∞) × Ω →  R ^d будет диффузией Ито, определенной на вероятностном пространстве (Ω, Σ,  P ) и решающей стохастическое дифференциальное уравнение Ито с квадратично интегрируемым начальным условием, т.е. X ₀  ∈  L ² (Ω, Σ,  P ;  R ^d ). Тогда следующие условия эквивалентны: $${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=b(X_{t})\,\mathrm {d} t+\mathrm {d} B_{t}}$$

• Процесс X обратим со стационарным распределением μ на R ^d .
• Существует скалярный потенциал Φ :  R ^d  →  R такой, что b  = −∇Φ, μ имеет производную Радона–Никодима и $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mu (x)}{\mathrm {d} x}}=\exp \left(-2\Phi (x)\right)}$$ $${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}\exp \left(-2\Phi (x)\right)\,\mathrm {d} x=1.}$$

(Разумеется, условие, что b является отрицательным значением градиента Φ , определяет Φ только с точностью до аддитивной константы; эта константа может быть выбрана так, чтобы exp(−2Φ(·)) была функцией плотности вероятности с интегралом 1.)

Ссылки

• Восс, Йохен (2004). Некоторые результаты о больших отклонениях для диффузионных процессов (Диссертация). Университет Кайзерслаутерна: Кандидатская диссертация.(См. теорему 1.4)