Коэффициент Зенера

Коэффициент Ценера — это безразмерное число, которое используется для количественной оценки анизотропии кубических кристаллов . Иногда его называют коэффициентом анизотропии , и он назван в честь Кларенса Ценера . ^[1] Концептуально он количественно определяет, насколько материал далек от изотропности (где значение 1 означает изотропный материал).

Его математическое определение: ^{[1] [2]}

${\displaystyle a_{r}={\frac {2C_{44}}{C_{11}-C_{12}}},}$

где относится к упругим константам в нотации Фойгта . ${\displaystyle C_{ij}}$

Кубические материалы

Кубические материалы — это специальные ортотропные материалы, которые инвариантны относительно поворотов на 90° относительно главных осей, т. е. материал одинаков вдоль своих главных осей. Благодаря этим дополнительным симметриям тензор жесткости можно записать всего с тремя различными свойствами материала, такими как

${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {C}}}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{11}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{12}&C_{11}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&C_{44}\end{bmatrix}}\quad .}$

Обратная матрица обычно записывается как ^[3]

${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {S}}}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E}}&-{\tfrac {\nu }{E}}&-{\tfrac {\nu }{E}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu }{E}}&{\tfrac {1}{E}}&-{\tfrac {\nu }{E}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu }{E}}&-{\tfrac {\nu }{E}}&{\tfrac {1}{E}}&0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {1}{G}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1}{G}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {1}{G}}\\\end{bmatrix}}\quad .}$

где — модуль Юнга , — модуль сдвига , — коэффициент Пуассона . Поэтому мы можем рассматривать это отношение как соотношение между модулем сдвига для кубического материала и его (изотропного) эквивалента: ${\displaystyle {E}\,}$ ${\displaystyle G\,}$ ${\displaystyle \nu \,}$

${\displaystyle a_{r}={\frac {G}{E/[2(1+\nu )]}}={\frac {2(1+\nu )G}{E}}\equiv {\frac {2C_{44}}{C_{11}-C_{12}}}.}$

Универсальный индекс упругой анизотропии

Коэффициент Ценера применим только к кубическим кристаллам. Чтобы преодолеть это ограничение, был сформулирован «Универсальный индекс упругой анизотропии (AU)» ^[4] из вариационных принципов упругости и тензорной алгебры. В настоящее время AU используется для количественной оценки анизотропии упругих кристаллов всех классов.

Индекс тензорной анизотропии

Индекс тензорной анизотропии A ^{T [5]} расширяет отношение Зенера для полностью анизотропных материалов и преодолевает ограничение AU, разработанного для материалов, демонстрирующих внутреннюю симметрию упругих кристаллов, что не всегда наблюдается в многокомпонентных композитах. Он учитывает все 21 коэффициент полностью анизотропного тензора жесткости и охватывает направленные различия между группами тензора жесткости.

Он состоит из двух основных частей и , первая из которых относится к компонентам, существующим в кубическом тензоре, а вторая — в анизотропном тензоре, так что Этот первый компонент включает модифицированное отношение Ценера и дополнительно учитывает направленные различия в материале, которые существуют, например, в ортотропном материале. Второй компонент этого индекса охватывает влияние коэффициентов жесткости, которые отличны от нуля только для некубических материалов и остаются нулевыми в противном случае. ${\displaystyle A^{I}}$ ${\displaystyle A^{A}}$ ${\displaystyle A^{T}=A^{I}+A^{A}.}$ ${\displaystyle A^{A}}$

${\displaystyle A^{I}=A^{I,z}+A^{I,cov}={\frac {2(C_{44}+C_{55}+C_{66})}{(C_{11}+C_{22}+C_{33})-(C_{12}+C_{13}+C_{23})}}+\sum _{i=1}^{3}{\alpha (C_{Gi})},}$

где — коэффициент вариации для каждой группы жесткости, учитывающий направленные различия жесткости материала, т.е. в кубических материалах каждый компонент жесткости в группах 1-3 имеет одинаковое значение, и, таким образом, это выражение напрямую сводится к коэффициенту Ценера для кубических материалов. ${\displaystyle \alpha (C_{Gi})}$ ${\displaystyle C_{G1}=[C_{11},C_{22},C_{33}],C_{G2}=[C_{44},C_{55},C_{66}],C_{G3}=[C_{12},C_{23},C_{13}].}$

Вторая составляющая этого индекса не равна нулю для сложных материалов или композитов с небольшим количеством или отсутствием симметрии во внутренней структуре. В таких случаях оставшиеся коэффициенты жесткости, объединенные в три группы, не равны нулю ${\displaystyle A^{A}}$ ${\displaystyle C_{G4}=[C_{34},C_{45},C_{56}],C_{G5}=[C_{14},C_{25},C_{36}],C_{G6}=[C_{24},C_{35},C_{46},C_{15},C_{26},C_{16}].}$

Смотрите также

• Анизотропия
• Ортотропный материал
• Линейная эластичность

Ссылки

1. Z. Li и C. Bradt (июль 1987 г.). "Монокристаллические упругие константы кубического (3C) SiC до 1000°C". Journal of Materials Science . 22 (7): 2557–2559. Bibcode : 1987JMatS..22.2557L. doi : 10.1007/BF01082145. S2CID  135637447.
2. Л. Б. Фройнд; С. Суреш (2004). Напряжение, образование дефектов и эволюция поверхности в тонкопленочных материалах . Издательство Кембриджского университета.{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
3. Бореси, А. П., Шмидт, Р. Дж. и Сайдботтом, О. М., 1993, Advanced Mechanics of Materials , Wiley.
4. Ранганатан, СИ; Остоя-Старжевски, М. (2008). «Универсальный индекс упругой анизотропии». Physical Review Letters . 101 (5): 055504–1–4. Bibcode : 2008PhRvL.101e5504R. doi : 10.1103/physrevlett.101.055504. PMID  18764407.
5. Соколовски, Дамиан; Камински, Марцин (2018-09-01). «Гомогенизация углеродно-полимерных композитов с анизотропным распределением частиц и стохастическими дефектами интерфейса». Acta Mechanica . 229 (9): 3727–3765. doi : 10.1007/s00707-018-2174-7 . ISSN  1619-6937.