Циклид Дюпена

Геометрическая инверсия тора, цилиндра или двойного конуса

Циклид Дюпена

В математике циклида Дюпена или циклида Дюпена — это любая геометрическая инверсия стандартного тора , цилиндра или двойного конуса . В частности, эти последние сами по себе являются примерами циклид Дюпена. Они были открыты около  1802 года (и названы в честь) Шарля Дюпена , когда он был еще студентом Политехнической школы, слушая лекции Гаспара Монжа . ^[1] Ключевое свойство циклиды Дюпена заключается в том, что она является поверхностью канала (оболочкой однопараметрического семейства сфер) двумя различными способами. Это свойство означает, что циклиды Дюпена являются естественными объектами в геометрии сфер Ли .

Циклиды Дюпена часто называют просто циклидами , но последний термин также используется для обозначения более общего класса поверхностей четвертого порядка , которые важны в теории разделения переменных для уравнения Лапласа в трех измерениях.

Циклиды Дюпена исследовались не только Дюпеном, но и А. Кейли , Дж. К. Максвеллом и Мейбл М. Янг .

Циклиды Дюпена используются в компьютерном проектировании, поскольку фрагменты циклид имеют рациональное представление и подходят для сопряжения поверхностей каналов (цилиндров, конусов, торов и других).

Определения и свойства

Существует несколько эквивалентных определений циклид Дюпена. В они могут быть определены как образы при любой инверсии торов, цилиндров и двойных конусов. Это показывает, что класс циклид Дюпена инвариантен относительно преобразований Мёбиуса (или конформных преобразований) . В комплексном пространстве эти три последних разновидности могут быть отображены друг в друга инверсией, поэтому циклиды Дюпена могут быть определены как инверсии тора (или цилиндра, или двойного конуса). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$

Поскольку стандартный тор является орбитой точки под двумерной абелевой подгруппой группы Мёбиуса, то циклиды также являются таковыми, и это дает второй способ их определения.

Третье свойство, характеризующее циклиды Дюпена, заключается в том, что все их линии кривизны являются окружностями (возможно, проходящими через точку на бесконечности ). Эквивалентно, сферы кривизны, которые являются сферами, касательными к поверхности с радиусами, равными обратным величинам главных кривизн в точке касания, постоянны вдоль соответствующих линий кривизны: они являются касательными сферами, содержащими соответствующие линии кривизны как большие окружности . Эквивалентно снова, оба листа фокальной поверхности вырождаются в коники. ^[2] Из этого следует, что любая циклида Дюпена является канальной поверхностью (т. е. оболочкой однопараметрического семейства сфер) двумя различными способами, и это дает другую характеристику.

Определение в терминах сфер показывает, что класс циклид Дюпена инвариантен относительно большей группы всех преобразований сфер Ли ; любые две циклиды Дюпена являются Ли-эквивалентными . Они образуют (в некотором смысле) простейший класс Ли-инвариантных поверхностей после сфер, и поэтому особенно значимы в геометрии сфер Ли . ^[3]

Определение также означает, что циклида Дюпена является огибающей однопараметрического семейства сфер, касающихся трех данных взаимно касающихся сфер. Из этого следует, что она касается бесконечного числа гекслетных конфигураций сфер Содди .

Параметрическое и неявное представление

(CS): Циклида Дюпена может быть представлена ​​двумя способами как огибающая однопараметрического пучка сфер, т. е. это канальная поверхность с двумя направляющими . Пара направляющих является фокальными кониками и состоит либо из эллипса и гиперболы, либо из двух парабол. В первом случае циклида определяется как эллиптическая , во втором случае как параболическая . В обоих случаях коники содержатся в двух взаимно ортогональных плоскостях. В крайних случаях (если эллипс является окружностью) гипербола вырождается в прямую, а циклида является тором вращения.

Еще одним особым свойством циклиды является:

(CL): Любая линия кривизны циклиды Дюпена является окружностью .

Эллиптические циклиды

Эллиптическая циклида может быть представлена ​​параметрически следующими формулами (см. раздел Циклида как поверхность канала):

Значения параметров проектирования : радиус образующей сферы в вершинах эллипса Две окружности в плоскости xz с центрами имеют радиусы . Здесь: и ${\displaystyle a,b,c,d}$
${\displaystyle d}$
${\displaystyle (\pm a,0,0)}$ ${\displaystyle d\mp c}$
${\displaystyle a=1,\;b=0.98\to c=0.199}$ ${\displaystyle d=0.3}$

${\displaystyle x={\frac {d(c-a\cos u\cos v)+b^{2}\cos u}{a-c\cos u\cos v}}\ ,}$

${\displaystyle y={\frac {b\sin u(a-d\cos v)}{a-c\cos u\cos v}}\ ,}$

${\displaystyle z={\frac {b\sin v(c\cos u-d)}{a-c\cos u\cos v}}\ ,}$

${\displaystyle 0\leq u,v<2\pi \ .}$

Числа представляют собой большую и малую полуоси, а также линейный эксцентриситет эллипса: ${\displaystyle a,b,c,d}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,z=0\ .}$

Гипербола является фокальной коникой эллипса. Это означает: Фокусы/вершины эллипса являются вершинами/фокусами гиперболы. Две коники образуют две вырожденные фокальные поверхности циклиды. ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{c^{2}}}-{\frac {z^{2}}{b^{2}}}=1,y=0}$

${\displaystyle d}$можно рассматривать как средний радиус образующих сфер.

Для соответственно получаются линии кривизны (окружности) поверхности. ${\displaystyle u=const}$ ${\displaystyle v=const}$

Соответствующее неявное представление :

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+b^{2}-d^{2})^{2}-4(ax-cd)^{2}-4b^{2}y^{2}=0\ .}$

В случае получается , т.е. эллипс является окружностью, а гипербола вырождается в прямую. Соответствующие циклиды являются торами вращения. ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle c=0}$

Более интуитивными параметрами проектирования являются пересечения циклиды с осью X. См. раздел Циклида через 4 точки на оси X.

Параболические циклиды

Параболическую циклиду можно представить следующим параметрическим представлением (см. раздел Циклида как поверхность русла):

параболическая циклида с ее директрисами (фокальными параболами)

${\displaystyle x={\frac {p}{2}}\,{\frac {2v^{2}+k(1-u^{2}-v^{2})}{1+u^{2}+v^{2}}}\ ,}$

${\displaystyle y=pu\,{\frac {v^{2}+k}{1+u^{2}+v^{2}}}\ ,}$

${\displaystyle z=pv\,{\frac {1+u^{2}-k}{1+u^{2}+v^{2}}}\ ,}$

${\displaystyle -\infty <u,v<\infty \ .}$

Число определяет форму обеих парабол, которые являются фокальными коническими сечениями: ${\displaystyle p}$

${\displaystyle y^{2}=p^{2}-2px,\ z=0\ }$и ${\displaystyle \ z^{2}=2px,\ y=0\ .}$

${\displaystyle k}$определяет отношение диаметров двух отверстий (см. диаграмму). означает: оба диаметра равны. Для диаграммы . ${\displaystyle k=0.5}$ ${\displaystyle k=0.7}$

Соответствующее неявное представление:

${\displaystyle \left(x+\left({\frac {k}{2}}-1\right)p\right)\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-{\frac {k^{2}p^{2}}{4}}\right)+pz^{2}=0\ .}$

Примечание : При отображении окружностей появляются пробелы, которые вызваны необходимым ограничением параметров . ${\displaystyle u,v}$

Циклида как поверхность канала

Циклида Дюпена как поверхность канала ( огибающая семейства сфер)

Существует два способа создания эллиптической циклиды Дюпена как поверхности канала . Первый способ использует эллипс в качестве направляющей, второй — гиперболу: ^[4]

Эллипс как директриса

В плоскости xy директриса представляет собой эллипс с уравнением

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\ ,\ z=0\quad }$и . ${\displaystyle \ a>b}$

Имеет параметрическое представление

${\displaystyle \ x=a\cos \varphi \;,\ y=b\sin \varphi \;,\ z=0\ .}$

${\displaystyle a}$- большая и малая полуось. - линейный эксцентриситет эллипса. Следовательно: . Радиусы образующих сфер равны ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c^{2}=a^{2}-b^{2}}$

${\displaystyle r(\varphi )=d-c\cos \varphi \ .}$

${\displaystyle d}$является параметром проектирования. Его можно рассматривать как среднее значение радиусов сфер. В случае эллипса это окружность, а циклиды это тор вращения с радиусом образующей окружности (образующей). ${\displaystyle c=0}$ ${\displaystyle d}$

На схеме: . ${\displaystyle \;a=1,\;b=0.99,\ d=0.25\;}$

Максвелл: Свойство фокусов эллипса-директрисы. Эллипс — это равноудаленное множество синих и фиолетовых кругов.

Максвелл недвижимость

Следующее простое соотношение между фактическим центром сферы (точкой эллипса) и соответствующим радиусом сферы принадлежит Максвеллу: ^[5]

• Разность/сумма радиуса сферы и расстояния центра сферы (точки эллипса) от одного (но фиксированного) из фокусов является постоянной.

Доказательство

Фокусами эллипса являются . Если выбрать и вычислить расстояние , то получим . Вместе с радиусом фактической сферы (см. выше) получим . Выбор другого фокуса дает: ${\displaystyle \ E=(a\cos \varphi ,b\sin \varphi ,0)\ }$ ${\displaystyle \ F_{i}=(\pm c,0,0)\ }$ ${\displaystyle \ F_{1}=(c,0,0)\ }$ ${\displaystyle \ |EF_{1}|\ }$ ${\displaystyle \ |EF_{1}|=a-c\cos \varphi \ }$ ${\displaystyle \ |EF_{1}|-r=a-d\ }$
${\displaystyle \ |EF_{2}|+r=a+d\ .}$

Следовательно:

В плоскости xy огибающие окружностей сфер представляют собой две окружности с центрами в фокусах эллипса и радиусами (см. рисунок). ${\displaystyle a\pm d}$

Циклид через 4 точки на оси x

Определение проектных параметров a,b,c,d, принадлежащих заданным действительным числам ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$

вверху: кольцевая циклида с серединой: роговая циклида с нижней частью: шпиндельная циклида с ${\displaystyle x_{1}=3,x_{2}=1,x_{3}=-3,x_{4}=-7}$
${\displaystyle x_{1}=1,x_{2}=3,x_{3}=-3,x_{4}=-7}$
${\displaystyle x_{1}=3,x_{2}=-3,x_{3}=1,x_{4}=-7}$

Свойство Максвелла дает основание для определения кольцевой циклиды путем задания ее пересечений с осью x:

Дано: Четыре точки на оси x (см. диаграмму). ${\displaystyle x_{1}>x_{2}>x_{3}>x_{4}}$

Требуется: Центр , полуоси , линейный эксцентриситет и фокусы направляющего эллипса и параметр соответствующей кольцевой циклиды. ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d}$

Из свойства Максвелла следует

${\displaystyle 2(a+d)=x_{1}-x_{4}\;,\quad \ 2(a-d)=x_{2}-x_{3}\ .}$

Решение для урожайности ${\displaystyle a,c}$

${\displaystyle a={\frac {1}{4}}\left(x_{1}+x_{2}-x_{3}-x_{4}\right),\quad }$ ${\displaystyle d={\frac {1}{4}}\left(x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}\right)\ .}$

Фокусы (по оси x)

${\displaystyle f_{1}={\frac {1}{2}}(x_{2}+x_{3}),\quad f_{2}={\frac {1}{2}}(x_{1}+x_{4})}$и, следовательно,

${\displaystyle c={\frac {1}{4}}\left(-x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{4}\right)\;,\quad \ b={\sqrt {a^{2}-c^{2}}}\ }$

Центр фокальных коник (эллипса и гиперболы) имеет координату x

${\displaystyle m_{0}={\frac {1}{4}}\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}\right)\ .}$

Если вы хотите отобразить циклиду с помощью параметрического представления, приведенного выше, вам придется учесть смещение центра! ${\displaystyle m_{0}}$

Значение порядка чисел ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$

(Вышеприведенный расчет предполагает , см. диаграмму.) ${\displaystyle x_{1}>x_{2}>x_{3}>x_{4}}$

(H) Перестановка порождает циклиду с рогами. (S) Перестановка порождает циклиду со шпинделем. (H1) При этом получается циклида с 1 рогами. (R) При этом получается циклида с кольцом, касающаяся себя в начале координат. ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$
${\displaystyle x_{2},x_{3}}$
${\displaystyle x_{1}=x_{2}=2}$
${\displaystyle x_{2}=x_{3}=0}$

Параллельные поверхности

Параллельные поверхности кольцевой циклиды с параметрами ${\displaystyle a=1,b=0.98,\ d=0.30,0.45,0.60}$

Увеличивая или уменьшая параметр так, чтобы тип не менялся, можно получить параллельные поверхности (подобные параллельным кривым ) одного и того же типа (см. диаграмму). ${\displaystyle d}$

Гипербола как директриса

Второй способ создания кольцевой циклиды как поверхности канала использует фокальную гиперболу как директрису. Он имеет уравнение

Циклида с двумя касающимися сферами с центрами на направляющей гиперболе

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{c^{2}}}-{\frac {z^{2}}{b^{2}}}=1\ ,\ y=0\ .}$

В этом случае сферы касаются циклиды снаружи во втором семействе окружностей (линии кривизны). Каждому плечу гиперболы принадлежит подсемейство окружностей. Сферы одного семейства охватывают циклиду (на схеме: фиолетовые). Сферы другого семейства касаются циклиды снаружи (синие).

Параметрическое представление гиперболы:

${\displaystyle (\pm c\cosh \psi ,0,b\sinh \psi )\ .}$

Радиусы соответствующих сфер равны

${\displaystyle R(\psi )=a\cosh \psi \mp d\ .}$

В случае тора ( ) гипербола вырождается в ось тора. ${\displaystyle c=0}$

Свойство Максвелла для случая гиперболы. Плечо гиперболы является эквидистантной кривой обоих серых кругов. ${\displaystyle H_{+}}$

Свойство Максвелла (случай гиперболы)

Фокусами гиперболы являются . Расстояние от точки гиперболы до фокуса равно и вместе с радиусом сферы получаем . Аналогично получаем . Для точки на втором плече гиперболы выводятся уравнения: ${\displaystyle \;H_{\pm }(\psi )=(\pm c\cosh \psi ,0,b\sinh \psi )\;}$ ${\displaystyle \;F_{i}=(\pm a,0,0)\;}$ ${\displaystyle \;H_{+}(\psi )=(c\cosh \psi ,0,b\sinh \psi )\;}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle \;|H_{+}F_{1}|=a\cosh \psi -c\;}$ ${\displaystyle R_{+}(\psi )=a\cosh \psi -d}$ ${\displaystyle \;|H_{+}F_{1}|-R_{+}=d-c\;}$ ${\displaystyle \;|H_{+}F_{2}|-R_{+}=d+c\;}$ ${\displaystyle \;R_{-}-|H_{-}F_{1}|=d-c\;,\ R_{-}-|H_{-}F_{2}|=d+c\;.}$

Следовательно:

В плоскости xz окружности сфер с центрами и радиусами имеют в качестве огибающих две окружности (на схеме серые) с центрами и радиусами . ${\displaystyle H_{\pm }(\psi )}$ ${\displaystyle R_{\pm }(\psi )}$ ${\displaystyle F_{1/2}=(\pm a,0,0)}$ ${\displaystyle d\mp c}$

Точечная конструкция

Вывод параметрического представления

Эллиптическая циклида

Эллипс и гипербола (фокальные коники) являются вырожденными фокальными поверхностями эллиптической циклиды. Для любой пары точек эллипса и гиперболы справедливо следующее (из-за определения фокальной поверхности): ${\displaystyle E,H}$

1) Линия является нормалью циклиды и ${\displaystyle {\overline {EH}}}$

2) соответствующая точка циклиды делит хорду отношением (см. рисунок). ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle EH}$ ${\displaystyle r:R}$

Из параметрического представления фокальных коник и радиусов сфер

Эллипс: ${\displaystyle \quad \ \ \ E(u)=(a\cos u,b\sin u,0),\quad r(u)=d-c\cos u\ \ ,}$

Гипербола: ${\displaystyle \quad H(v)=({\frac {c}{\cos v}},0,b\tan v),\quad R(u)={\frac {a}{\cos v}}-d\ .}$

получаем соответствующую точку циклиды (см. диаграмму): ${\displaystyle P}$

${\displaystyle \ P(u,v)={\frac {R(v)}{r(u)+R(v)}}\;E(u)+{\frac {r(u)}{r(u)+R(v)}}\;H(v)\ .}$

(Необычное, но удобное параметрическое представление гиперболы: см. гипербола .)

Подробный расчет приводит к параметрическому представлению эллиптической циклиды, приведенному выше.

Если использовать параметрическое представление, приведенное в статье на поверхностях каналов, то, в общем случае, только одно семейство параметрических кривых состоит из окружностей.

Параболический циклид

Образование параболической циклиды как поверхности канала

Вывод параметрического представления для параболического случая осуществляется аналогично:

С параметрическими представлениями фокальных парабол (вырожденных фокальных поверхностей) и радиусов сфер:

${\displaystyle P_{1}(u)=\left({\frac {p}{2}}(1-u^{2}),pu,0\right),\quad r_{1}={\frac {p}{2}}(1-k+u^{2})\;}$

${\displaystyle P_{2}(v)=\left({\frac {p}{2}}v^{2},0,pv\right),\qquad \qquad r_{2}={\frac {p}{2}}(k+v^{2})\ }$

один получает

${\displaystyle \ P(u,v)={\frac {r_{2}(v)}{r_{1}(u)+r_{2}(v)}}\;P_{1}(u)+{\frac {r_{1}(u)}{r_{1}(u)+r_{2}(v)}}\;P_{2}(v)}$

что обеспечивает параметрическое представление параболического циклида, представленного выше.

Циклиды Дюпена и геометрические инверсии

Преимуществом для исследования циклид является свойство:

(I): Любая циклида Дюпена является изображением либо прямого кругового цилиндра , либо прямого кругового двойного конуса , либо тора вращения путем инверсии (отражения относительно сферы).

Инверсию на сфере с уравнением можно описать аналитически: ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}}$

${\displaystyle (x,y,z)\rightarrow {\frac {R^{2}\cdot (x,y,z)}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\ .}$

Наиболее важными свойствами инверсии на сфере являются:

1. Сферы и круги отображаются на одних и тех же объектах.
2. Плоскости и линии, содержащие начало координат (центр инверсии), отображаются сами на себя.
3. Плоскости и линии, не содержащие начало координат, отображаются на сферах или окружностях, проходящих через начало координат.
4. Инверсия инволютивна (идентична обратному отображению).
5. Инверсия сохраняет углы.

Можно отобразить произвольные поверхности инверсией. Формулы выше дают в любом случае параметрические или неявные представления поверхности изображения, если поверхности заданы параметрически или неявно. В случае параметрической поверхности получается:

${\displaystyle (x(u,v),y(u,v),z(u,v))\rightarrow {\frac {R^{2}\cdot (x(u,v),y(u,v),z(u,v))}{x(u,v)^{2}+y(u,v)^{2}+z(u,v)^{2}}}\ .}$

кольцевая циклида, полученная путем инверсии цилиндра в сфере (пурпурный)

параболическая кольцевая циклида, образованная инверсией цилиндра, содержащего начало координат

роговая циклида, образованная инверсией конуса

кольцевая циклида, полученная путем инверсии тора

Но: Только в случае прямых круговых цилиндров, конусов и торов вращения получаются циклиды Дюпена и наоборот.

Пример цилиндра

a) Поскольку прямые, не содержащие начало координат, отображаются инверсией на сфере (на рисунке: пурпурный) на окружностях, содержащих начало координат, изображение цилиндра представляет собой кольцевую циклиду с взаимно касающимися окружностями в начале координат. В качестве изображений отрезков прямых, показанных на рисунке, на прямых появляются отрезки окружностей как изображения. Сферы, которые касаются цилиндра с внутренней стороны, отображаются на первый пучок сфер, которые порождают циклиду как поверхность канала. Образы касательных плоскостей цилиндра становятся вторым пучком сфер, касающихся циклиды. Последние проходят через начало координат.
b) Второй пример инвертирует цилиндр, содержащий начало координат. Прямые, проходящие через начало координат, отображаются сами на себя. Следовательно, поверхность является неограниченной и параболической циклидой.

Пример конуса

Линии, образующие конус, отображаются на окружностях, которые пересекаются в начале координат и образе вершины конуса. Образ конуса — двухрогая циклида. На рисунке показаны образы отрезков прямых (конуса), которые на самом деле являются отрезками окружностей.

Пример тора

Оба пучка окружностей на торе (показаны на рисунке) отображаются на соответствующие пучки окружностей на циклиде. В случае самопересекающегося тора получится веретенообразная циклида.

Круги Вилларсо

Кольцевая циклида с кругами Вилларсо

Поскольку циклиды колец Дюпена можно рассматривать как образы торов посредством соответствующих инверсий, а инверсия отображает окружность на окружность или прямую, образы окружностей Вилларсо образуют еще два семейства окружностей на циклиде (см. диаграмму).

Определение параметров конструкции ${\displaystyle a,b,c,d}$

Формула инверсии параметрической поверхности (см. выше) дает параметрическое представление циклиды (как инверсии тора) с окружностями в качестве параметрических кривых. Но точки параметрической сети распределены неравномерно. Поэтому лучше вычислить параметры конструкции и использовать параметрическое представление выше: ${\displaystyle a,b,c,d}$

Циклида (синяя) как изображение инверсией тора (черная) на единичной сфере (красная)

Дано: Тор, смещенный из стандартного положения вдоль оси x. Пусть — пересечения тора с осью x (см. диаграмму). Все не равны нулю. В противном случае инверсия тора не была бы кольцевой циклидой. Требуется: полуоси и линейный эксцентриситет эллипса (директрисы) и параметр кольцевой циклиды, которая является образом тора при инверсии на единичной сфере. ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$
${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d}$

Инверсия отображается на , которые являются x-координатами 4 точек кольца-циклиды (см. диаграмму). Из сечения Cyclide через 4 точки на оси x получаем ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{x_{i}}}}$

${\displaystyle a={\frac {1}{4}}\left({\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}-{\frac {1}{x_{3}}}-{\frac {1}{x_{4}}}\right),\quad }$ ${\displaystyle d={\frac {1}{4}}\left(-{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}-{\frac {1}{x_{3}}}+{\frac {1}{x_{4}}}\right)\ }$и

${\displaystyle c={\frac {1}{4}}\left({\frac {1}{x_{1}}}-{\frac {1}{x_{2}}}-{\frac {1}{x_{3}}}+{\frac {1}{x_{4}}}\right)\;,\quad \ b={\sqrt {a^{2}-c^{2}}}\ }$

Центр фокальных коник имеет координату x

${\displaystyle m_{0}={\frac {1}{4}}\left({\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+{\frac {1}{x_{3}}}+{\frac {1}{x_{4}}}\right)\ .}$

Разделение переменных

Циклиды Дюпена являются частным случаем более общего понятия циклиды, которое является естественным расширением понятия квадратичной поверхности . В то время как квадрика может быть описана как нуль-множество полинома второго порядка в декартовых координатах ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ), циклида задается нулем-множеством полинома второго порядка в ( x ₁ , x ₂ , x ₃ , r ² ), где r ² = x ₁ ² + x ₂ ² + x ₃ ² . Таким образом, это четверичная поверхность в декартовых координатах с уравнением вида:

${\displaystyle Ar^{4}+\sum _{i=1}^{3}P_{i}x_{i}r^{2}+\sum _{i,j=1}^{3}Q_{ij}x_{i}x_{j}+\sum _{i=1}^{3}R_{i}x_{i}+B=0}$

где Q — матрица 3x3, P и R — трехмерные векторы , а A и B — константы. ^[6]

Семейства циклид порождают различные циклидные координатные геометрии.

В диссертации Максима Бохера 1891 года « Ueber die Reihenentwickelungen der Potentialtheorie » было показано, что уравнение Лапласа с тремя переменными может быть решено с помощью разделения переменных в 17 конформно различных квадратичных и циклических координатных геометриях. Многие другие циклические геометрии могут быть получены путем изучения R-разделения переменных для уравнения Лапласа. ^[7]

Смотрите также

• Инверсия кривых и поверхностей (немецкий)

Внешние ссылки

• Циклиды Дюпена на MathCurve

Примечания

1. О'Коннор и Робертсон 2000
2. Гильберт и Кон-Фоссен 1999
3. Сесил 1992
4. В. Блашке: Аналитическая геометрия , Springer-Verlag, 2013, ISBN  303486812X , S. 115.
5. упомянуто в W. Boehm: On Cyclides in Geometric Modeling . Computer Aided Geometric Design 7, 1990, стр. 243–255.
6. Миллер 1977
7. Мун и Спенсер 1961

Ссылки

• Сесил, Томас Э. (1992), Геометрия сферы Ли , Нью-Йорк: Universitext, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97747-8.
• Эйзенхарт, Лютер П. (1960), «§133 Циклиды Дюпена», Трактат о дифференциальной геометрии кривых и поверхностей , Нью-Йорк: Довер, стр. 312–314.
• Гильберт, Дэвид ; Кон-Фоссен, Стефан (1999), Геометрия и воображение , Американское математическое общество, ISBN 0-8218-1998-4.
• Мун, Парри; Спенсер, Домина Эберле (1961), Справочник по теории поля: включая системы координат, дифференциальные уравнения и их решения , Springer, ISBN 0-387-02732-7.
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. (2000), "Пьер Шарль Франсуа Дюпен", Архив истории математики MacTutor.
• Пинкалл, Ульрих (1986), «§3.3 Циклиды Дюпена», в Г. Фишере (ред.), Математические модели из коллекций университетов и музеев , Брауншвейг, Германия: Vieweg, стр. 28–30.
• Миллер, Уиллард (1977), Симметрия и разделение переменных.
• А. Кейли (1873) «На циклиде», Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики 12: стр. 148–163.
• В. Чандру, Д. Дутта, К. М. Хоффманн (1989) «О геометрии циклид Дюпена», The Visual Computer. (5), стр. 277–290.
• К. Дюпен (1822) «Приложения геометрии и механики». Башелье, Париж.
• Ф. Кляйн, В. Блашке (1926) Vorlesungen Über Höhere Geometry. Springer-Verlag, ISBN 978-3-642-98494-5 , стр. 56. 
• Дж. К. Максвелл (1868) «О циклиде», Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики 9: стр. 111–126.
• MJ Pratt (1989) Циклидное смешивание в твердотельном моделировании. В: Вольфганг Штрассер, Ханс-Петер Зайдель (Hrsg.): Теория и практика геометрического моделирования. Springer-Verlag, ISBN 0-387-51472-4 , стр. 235. 
• YL Srinivas, V. Kumar, D. Dutta (1996) «Проектирование поверхности с использованием циклидных участков», Computer-Aided Design 28(4): 263–276.
• Мейбл М. Янг (1916) «Циклида Дюпена как самодвойственная поверхность», Американский журнал математики 38(3): 269–286

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Циклид». MathWorld .
• Э. Берберих, М. Кербер: Расположение на поверхностях рода один: торы и циклиды Дюпена.