Цифровая линия задержки

Стандартное представление блок-схемы целочисленной линии задержки М. ^[1]

Цифровая линия задержки (или просто линия задержки , также называемая фильтром задержки ) — это дискретный элемент в цифровом фильтре , который позволяет задерживать сигнал на несколько выборок . Линии задержки обычно используются для задержки аудиосигналов, подаваемых на громкоговорители , чтобы компенсировать скорость звука в воздухе и выравнивать видеосигналы с сопровождающим звуком, что называется синхронизацией аудио-видео . Линии задержки могут компенсировать задержку электронной обработки , чтобы несколько сигналов одновременно покидали устройство, несмотря на разные пути.

Цифровые линии задержки широко используются в качестве строительных блоков в методах моделирования акустики помещения , музыкальных инструментов и блоков эффектов . Цифровой волноводный синтез показывает, как цифровые линии задержки могут использоваться в качестве методов синтеза звука для различных музыкальных инструментов, таких как струнные и духовые инструменты .

Если линия задержки содержит нецелое значение меньше единицы, это приводит к дробной линии задержки (также называемой интерполированной линией задержки или дробным фильтром задержки). Серия из целочисленной линии задержки и дробного фильтра задержки обычно используется для моделирования произвольных фильтров задержки в цифровой обработке сигналов . ^[2] Схема Dattorro является отраслевым стандартом реализации цифровых фильтров с использованием дробных линий задержки. ^[3]

Теория

Стандартная линия задержки с целочисленной задержкой получается из Z-преобразования дискретного по времени сигнала, задержанного на отсчеты ^[4] : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle y[n]=x[n-M]}$ ${\displaystyle {\xrightarrow[{}]{\mathcal {Z}}}}$ ${\displaystyle Y(z)=\overbrace {z^{-M}} ^{H_{M}(z)}X(z).}$

В этом случае это целочисленный фильтр задержки с: ${\displaystyle z^{-M}=H_{M}(z)}$

${\displaystyle {\begin{cases}|\centerdot |=1=0dB,&{\text{zero dB gain}}\\\measuredangle =-\omega M,&{\text{linear phase with }}\omega =2\pi fT_{s}{\text{ where }}T_{s}{\text{ is the sampling period in seconds }}[s].\end{cases}}}$

Фильтр в дискретной области времени для целочисленной задержки как обратного дзета-преобразования тривиален, поскольку он представляет собой импульс, сдвинутый на ^[5] : ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H_{M}(z)}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle h_{m}[n]={\begin{cases}{\text{1}},&{\text{for }}n=M\\0,&{\text{for }}n\neq M.\end{cases}}}$

Работа в дискретно-временной области с дробными задержками менее тривиальна. В своей наиболее общей теоретической форме линия задержки с произвольной дробной задержкой определяется как стандартная линия задержки с задержкой , которая может быть смоделирована как сумма целочисленного компонента и дробного компонента, который меньше одного образца: ${\displaystyle D\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle d\in \mathbb {R} }$

(Дробная) линия задержки - домен ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$

Это доменное представление нетривиальной задачи проектирования цифрового фильтра : решением является фильтр любой временной области, который представляет или аппроксимирует обратное Z-преобразование . ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$ ${\displaystyle H_{D}(z)}$

Решения по проектированию фильтров

Наивное решение

Концептуально самое простое решение получается путем выборки решения домена непрерывного времени, что является тривиальным для любого значения задержки. Учитывая непрерывный сигнал времени, задержанный на выборки или секунды ^[6] : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \tau =DT_{s}}$

${\displaystyle y(t)=x(t-D)}$ ${\displaystyle {\xrightarrow[{}]{\mathcal {F}}}}$ ${\displaystyle Y(\omega )=\overbrace {e^{-j\omega D}} ^{H_{ideal}(\omega )}X(\omega ).}$

В этом случае это фильтр с дробной задержкой в ​​непрерывной временной области с: ${\displaystyle e^{-j\omega D}=H_{ideal}(\omega )}$

${\displaystyle {\begin{cases}|\centerdot |=1=0dB,&{\text{zero dB gain}}\\\measuredangle =-\omega D,&{\text{linear phase}}\\\tau _{gr}=-{d\measuredangle \over {d\omega }}=D,&{\text{constant group delay}}\\\tau _{ph}=-{\measuredangle \over {\omega }}=-D,&{\text{constant phase delay.}}\end{cases}}}$

Наивным решением для выборочного фильтра является выборочное обратное преобразование Фурье , которое создает непричинный БИХ- фильтр в форме кардинального синуса , смещенного на ^[6] : ${\displaystyle h_{ideal}[n]}$ ${\displaystyle H_{ideal}(\omega )}$ ${\displaystyle sinc()}$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle h_{ideal}[n]={\mathcal {F}}^{-1}[H_{ideal}(\omega )]={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{+\pi }e^{j\omega D}e^{j\omega n}d\omega =sinc(n-D)={sin(\pi (n-D)) \over {\pi (n-D)}}}$

Непрерывная область времени смещается на дробную задержку, в то время как выборка всегда выровнена по декартовой плоскости, поэтому: ${\displaystyle sinc}$

• когда задержка составляет целое число выборок , смещенный выборочный сигнал вырождается в смещенный импульс, как и в теоретическом решении. ${\displaystyle D\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle sinc}$
• когда задержка составляет дробное число выборок , смещенная выборка создает непричинный БИХ-фильтр, который невозможно реализовать на практике. ${\displaystyle D\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle sinc}$

Идеальная дробная линия задержки получается путем выборки обратного преобразования Фурье фильтра дробной задержки непрерывной временной области. Обратите внимание, как для целочисленного значения задержки этот случай вырождается в простые смещенные импульсы. Задержка дискретизированного сигнала с помощью этого фильтра концептуально совпадает с повторной выборкой его аналогового источника с равным периодом выборки, но выравнивание выборки смещено на . Также обратите внимание, что изображение показывает только несколько выборок около нуля, но некаузальная БИХ определена для бесконечного числа выборок в обоих направлениях оси x. ${\displaystyle D\in \mathbb {R} }$

Усеченное причинно-следственное решение FIR

Концептуально наиболее простым реализуемым решением является каузальное усечение наивного решения, представленного выше. ^[7]

${\displaystyle h_{\tau }[n]={\begin{cases}sinc(n-D)&{\text{for }}0\leq n\leq N\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}\;\;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;\;{N-1 \over {2}}<D<{N+1 \over {2}}\;\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;\;N\;{\text{is the order of the filter.}}}$

Однако усечение импульсного отклика может привести к нестабильности, которую можно смягчить несколькими способами:

• Окно усеченного импульсного отклика, следовательно, сглаживание его. Обратите внимание, что в этом случае нам нужно добавить дополнительный сдвиг , чтобы выровнять окно и и обеспечить симметричную фильтрацию ^{[7] [8]} . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle sinc()}$

  ${\displaystyle h_{\tau }[n]={\begin{cases}w(n-D)sinc(n-D)&{\text{for }}L\leq n\leq L+N\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}\;\;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;\;L={\begin{cases}round(D)-{N \over {2}}&{\text{for even }}N\\\lfloor D\rfloor -{N-1 \over {2}}&{\text{for odd }}N\end{cases}}}$

• Общий метод наименьших квадратов (GLS): ^[2] итеративно корректирует частотную характеристику путем создания окна с использованием метода наименьших квадратов интегральной ошибки, который минимизирует квадратическую интегральную ошибку между идеальной и усеченной частотными характеристиками фильтра, определяемыми как:

${\displaystyle E_{LS}={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\alpha \pi }^{\alpha \pi }w(\omega )|H_{D}^{truncated}(e^{j\omega })-H_{D}^{id}(e^{j\omega })|^{2}d\omega \;\;\;\;\;{\text{where }}0<\alpha \leq 1{\text{ is the passband width parameter}}}$

• Интерполятор Лагранжа (максимально плоский дробный фильтр задержки): ^[9] добавляет ограничения "плоскости" к первым N производным ошибки наименьшего квадрата интеграла. Этот метод представляет особый интерес, поскольку он имеет решение в замкнутой форме:

Блок-схема формулы интерполятора Лагранжа. ^[10]

${\displaystyle h_{D}[n]=\prod _{k=0,\;k\neq n}^{N}{D-k \over {n-k}}\;\;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;\;0\leq n\leq N}$

Далее следует расширение формулы выше, отображающее результирующие фильтры порядка до : ${\displaystyle N=3}$

Решение с фазовой аппроксимацией на основе всепроходного БИХ-фильтра

Другой подход заключается в проектировании фильтра БИХ порядка со структурой Z-преобразования, которая заставляет его быть всепроходным, при этом все еще приближая задержку ^[7] : ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle H_{D}(z)={z^{-N}A(z) \over {A(z^{-1})}}={a_{N}+a_{N-1}z^{-1}+...+a_{1}z^{-(N-1)}+z^{-N} \over {1+a_{1}z^{-1}+...+a_{N-1}z^{-(N-1)}+a_{N}z^{-N}}}\;\;\;\;\;{\text{which has}}\;\;\;\;\;{\begin{cases}|\centerdot |=1=0dB&0dB{\text{ gain}}\\\measuredangle _{H_{D}(z)}=-N\omega +2\measuredangle _{A(z)}=-D\omega &{\text{desired value for delay }}D\end{cases}}}$

Взаимно расположенные нули и полюса соответственно выравнивают частотную характеристику , в то время как фаза является функцией фазы . Таким образом, проблема становится разработкой КИХ-фильтра , то есть нахождением его коэффициентов как функции D (заметьте, что всегда), так чтобы фаза наилучшим образом приближалась к желаемому значению . ^[7] ${\displaystyle A(z){\text{ and }}A(z^{-1})}$ ${\displaystyle |\centerdot |}$ ${\displaystyle A(z)}$ ${\displaystyle A(z)}$ ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle a_{0}=1}$ ${\displaystyle \measuredangle _{H_{D}(z)}=-D\omega }$

Основные решения:

• Итеративная минимизация наименьшей квадратичной ошибки фазы ^[2] , которая определяется как:

${\displaystyle E_{LS}={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }w(\omega )|\underbrace {\underbrace {-D\omega } _{\measuredangle _{ID}}-\underbrace {(-N\omega +2\measuredangle _{A(z)})} _{\measuredangle _{H}}} _{\Delta \measuredangle _{H_{D}}}|^{2}d\omega }$

• Итеративная минимизация ошибки задержки фазы по методу наименьших квадратов ^[2] , которая определяется как:

${\displaystyle E_{LS}={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }w(\omega )|{{\Delta \measuredangle _{H_{D}}} \over {\omega }}|^{2}}$

• Фильтр нижних частот Тирана с полюсами и максимально плоской групповой задержкой . ^[11] Это дает замкнутое решение для нахождения коэффициентов для положительной задержки : ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle D>0}$

${\displaystyle a_{k}=(-1)^{k}{\binom {N}{k}}\prod _{l=0}^{N}{D+l \over {D+k+l}}\;\;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;\;{\binom {n}{k}}={N! \over {k!(N-k)!}}}$

Далее следует расширение формулы выше, отображающее результирующие коэффициенты порядка до : ${\displaystyle N=3}$

Коммерческая история

Цифровая линия задержки Eventide DDL 1745

Цифровые линии задержки были впервые использованы для компенсации скорости звука в воздухе в 1973 году, чтобы обеспечить соответствующее время задержки для удаленных башен громкоговорителей на рок-фестивале Summer Jam at Watkins Glen в Нью-Йорке, в котором приняли участие 600 000 человек. Компания Eventide Clock Works из Нью-Йорка предоставила цифровые устройства задержки, каждое из которых способно задерживать сигнал на 200 миллисекунд. Четыре башни громкоговорителей были размещены в 200 футах (60 м) от сцены, их сигнал задерживался на 175 мс, чтобы компенсировать скорость звука между главными динамиками сцены и башнями задержки. Еще шесть башен громкоговорителей были размещены в 400 футах от сцены, что потребовало задержки в 350 мс, а еще шесть башен были размещены в 600 футах от сцены, с задержкой в ​​525 мс. Каждый модуль Eventide DDL 1745 содержал сто 1000-битных чипов сдвигового регистра и изготовленный на заказ цифро-аналоговый преобразователь и стоил 3800 долларов США (что эквивалентно 27 679 долларам США в 2023 году). ^{[12] [13]}

Смотрите также

• Аналоговая линия задержки
• Память с задержкой
• Интерполяция

Ссылки

1. "Линия задержки M-образца". ccrma.stanford.edu . Получено 2023-07-06 .
2. Laakso, Тимо И.; Вялимяки, Веса; Карьялайнен, Матти А.; Лайне, Унто К. (январь 1996 г.), «Разделение единичной задержки [проектирование FIR/всепроходных фильтров]», IEEE Signal Processing Magazine , vol. 13, нет. 1, стр. 30–60, Бибкод : 1996ISPM...13...30L, номер документа : 10.1109/79.482137.
3. Смит, Джулиус О.; Ли, Нельсон (5 июня 2008 г.), «Вычислительное акустическое моделирование с цифровой задержкой», Центр компьютерных исследований в области музыки и акустики , дата обращения 21 августа 2007 г.
4. "Линии задержки". ccrma.stanford.edu . Получено 2023-07-06 .
5. "ВВЕДЕНИЕ В ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ С АУДИО ПРИЛОЖЕНИЯМИ". ccrma.stanford.edu . Получено 2023-07-06 .
6. "Идеальная интерполяция с ограниченной полосой пропускания (Sinc)". ccrma.stanford.edu . Получено 2023-07-06 .
7. Валимяки, Веса (1998). «Дискретное моделирование акустических труб с использованием фильтров дробной задержки».
8. Харрис, Ф. Дж. (1978). «Об использовании окон для гармонического анализа с дискретным преобразованием Фурье». Труды IEEE . 66 (1): 51–83. doi :10.1109/proc.1978.10837. ISSN  0018-9219. S2CID  426548.
9. Германович, Э. (1992). "Явные формулы [sic] для весовых коэффициентов максимально плоских настраиваемых задержек FIR". Electronics Letters . 28 (20): 1936. doi :10.1049/el:19921239.
10. Смит, Джулиус (5 сентября 2022 г.). «Явная формула для коэффициентов интерполяции Лагранжа». ccrma ​​.
11. Тиран, Ж.-П. (1971). «Рекурсивные цифровые фильтры с максимально плоской групповой задержкой». IEEE Transactions on Circuit Theory . 18 (6): 659–664. doi :10.1109/TCT.1971.1083363. ISSN  0018-9324.
12. Nalia Sanchez (29 июля 2016 г.), «Вспоминая фестиваль в Уоткинс-Глене», Eventide Audio , получено 20 февраля 2020 г.
13. "DDL 1745 Digital Delay". Eventide Audio . Получено 2023-07-22 .

Дальнейшее чтение

• Валимаки, Веса; Лааксо, Тимо; Карьялайнен, Матти; Лайне, Унто (1996). «Разделение единичной задержки». Журнал обработки сигналов IEEE . 13 (1): 30–60. Бибкод : 1996ISPM...13...30л. doi : 10.1109/79.482137 — через IEEE Explore.
• Харрис, Фредерик Дж. (январь 1978 г.). «Об использовании окон для гармонического анализа с дискретным преобразованием Фурье». Труды IEEE . 66 (1): 51–83. doi :10.1109/PROC.1978.10837. S2CID  426548 – через IEEE Explore.

Внешние ссылки

• Введение в цифровые фильтры Джулиуса Смита
• Спектральная обработка аудиосигнала Джулиуса Смита
• Физическая обработка аудиосигнала Джулиуса Смита
• Дискретное моделирование акустических труб с использованием фильтров дробной задержки Валимаки Веса