Чевианский

Линия, пересекающая вершину и противоположную сторону треугольника

В геометрии чевиан — это отрезок прямой , соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне треугольника. ^{[1] [2]} Медианы и биссектрисы являются частными случаями чевиан. Название «чевиан» происходит от итальянского математика Джованни Чевы , который доказал известную теорему о чевианах , которая также носит его имя. ^[3]

Длина

Треугольник с чевианом длины d

Теорема Стюарта

Длину чевианы можно определить по теореме Стюарта : на диаграмме длина чевианы d определяется по формуле

${\displaystyle \,b^{2}m+c^{2}n=a(d^{2}+mn).}$

Реже это также представляется (с некоторой перестановкой) следующей мнемоникой :

${\displaystyle {\underset {{\text{A }}man{\text{ and his }}dad}{man\ +\ dad}}=\!\!\!\!\!\!{\underset {{\text{put a }}bomb{\text{ in the }}sink.}{bmb\ +\ cnc}}}$^[4]

Медиана

Если чевиан является медианой (делящей сторону пополам ), то ее длину можно определить по формуле

${\displaystyle \,m(b^{2}+c^{2})=a(d^{2}+m^{2})}$

или

${\displaystyle \,2(b^{2}+c^{2})=4d^{2}+a^{2}}$

с

${\displaystyle \,a=2m.}$

Следовательно, в этом случае

${\displaystyle d={\frac {\sqrt {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}}{2}}.}$

Биссектриса угла

Если чевиан является биссектрисой угла , то его длина подчиняется формулам

${\displaystyle \,(b+c)^{2}=a^{2}\left({\frac {d^{2}}{mn}}+1\right),}$

и ^[5]

${\displaystyle d^{2}+mn=bc}$

и

${\displaystyle d={\frac {2{\sqrt {bcs(s-a)}}}{b+c}}}$

где полупериметр ${\displaystyle s={\tfrac {a+b+c}{2}}.}$

Сторона длиной a делится в пропорции b  : c .

Высота

Если чевиан является высотой и, следовательно, перпендикулярен стороне, то его длина подчиняется формулам

${\displaystyle \,d^{2}=b^{2}-n^{2}=c^{2}-m^{2}}$

и

${\displaystyle d={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}},}$

где полупериметр ${\displaystyle s={\tfrac {a+b+c}{2}}.}$

Свойства соотношения

Три чевианы, проходящие через общую точку

Существуют различные свойства соотношений длин, образованных тремя чевианами, проходящими через одну и ту же произвольную внутреннюю точку: ^{[6] : 177–188} Ссылаясь на диаграмму справа,

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\cdot {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\cdot {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}=1\\&\\&{\frac {\overline {AO}}{\overline {OD}}}={\frac {\overline {AE}}{\overline {EC}}}+{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}};\\&\\&{\frac {\overline {OD}}{\overline {AD}}}+{\frac {\overline {OE}}{\overline {BE}}}+{\frac {\overline {OF}}{\overline {CF}}}=1;\\&\\&{\frac {\overline {AO}}{\overline {AD}}}+{\frac {\overline {BO}}{\overline {BE}}}+{\frac {\overline {CO}}{\overline {CF}}}=2.\end{aligned}}}$

Первое свойство известно как теорема Чевы . Последние два свойства эквивалентны, поскольку суммирование двух уравнений дает тождество 1 + 1 + 1 = 3 .

Разделитель

Разделитель треугольника — это чевиан, который делит периметр пополам . Три разделителя сходятся в точке Нагеля треугольника.

Биссектрисы площади

Три из биссектрис площади треугольника являются его медианами, которые соединяют вершины с противоположными серединами сторон. Таким образом, треугольник однородной плотности в принципе балансировал бы на бритве, поддерживающей любую из медиан.

Трисектор угла

Если из каждой вершины треугольника провести две чевианы так, чтобы разделить угол на три равные части, то шесть чевиан пересекутся попарно, образуя равносторонний треугольник , называемый треугольником Морли .

Площадь внутреннего треугольника, образованного чевианами

Теорема Рауса определяет отношение площади данного треугольника к площади треугольника, образованного попарными пересечениями трех чевиан, по одному из каждой вершины.

Смотрите также

• Геометрия точечной массы
• Теорема Менелая

Примечания

1. Coxeter, HSM ; Greitzer, SL (1967). Geometry Revisited . Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки . стр. 4. ISBN 0-883-85619-0.
2. Некоторые авторы исключают две другие стороны треугольника, см. Eves (1963, стр.77)
3. Лайтнер, Джеймс Э. (1975). «Новый взгляд на «центры» треугольника». Учитель математики . 68 (7): 612–615. JSTOR  27960289.
4. "Искусство решения проблем". artofproblemsolving.com . Получено 22.10.2018 .
5. Джонсон, Роджер А., Advanced Euclidean Geometry , Dover Publ., 2007 (ориг. 1929), стр. 70.
6. Альфред С. Посаментье и Чарльз Т. Салкинд, Сложные задачи по геометрии , Dover Publishing Co., второе исправленное издание, 1996.

Ссылки

• Ивс, Говард (1963), Обзор геометрии (т. 1) , Аллин и Бэкон
• Росс Хонсбергер (1995). Эпизоды в евклидовой геометрии девятнадцатого и двадцатого века , страницы 13 и 137. Математическая ассоциация Америки.
• Владимир Карапетов (1929). «Некоторые свойства соотносительных линий вершин в плоском треугольнике». American Mathematical Monthly 36: 476–479.
• Индика Шамира Амарасингхе (2011). «Новая теорема о любом прямоугольном треугольнике Чевиана». Журнал Всемирной федерации национальных математических соревнований , том 24 (02) , стр. 29–37.