Численная ренормгруппа ( NRG ) — это метод, разработанный Кеннетом Уилсоном для решения некоторых многочастичных задач, в которых квантовая физика примесей играет ключевую роль.
Численная группа перенормировки — это по своей сути непертурбативная процедура, которая изначально использовалась для решения модели Кондо . [1] Модель Кондо — это упрощенная теоретическая модель, которая описывает систему магнитных примесей со спином 1/2 , которые связываются с металлическими электронами проводимости (например, примесями железа в золоте). Эта проблема, как известно, трудно поддается теоретическому решению, поскольку методы возмущений не работают при низкой энергии. Однако Уилсону впервые удалось доказать с помощью численной группы перенормировки, что основное состояние модели Кондо является синглетным состоянием. Но, возможно, что еще важнее, понятия перенормировки , неподвижных точек и потока группы перенормировки были введены в область теории конденсированного состояния — именно за это Уилсон получил Нобелевскую премию в 1982 году. Полное поведение модели Кондо, включая как режим высокотемпературного «локального момента», так и режим низкотемпературной «сильной связи», охвачено численной группой перенормировки; Было показано, что экспоненциально малый масштаб энергии T K (недоступный из прямой теории возмущений ) управляет всеми свойствами при низких энергиях, причем все физические наблюдаемые величины, такие как сопротивление, термодинамика, динамика и т. д., демонстрируют универсальное масштабирование. Это характерная черта многих проблем в физике конденсированного состояния и, в частности, центральная тема квантовой физики примесей. В исходном примере модели Кондо локальный момент примеси полностью экранируется ниже T K электронами проводимости посредством знаменитого эффекта Кондо ; и одним из известных следствий является то, что такие материалы демонстрируют минимум сопротивления при низких температурах, вопреки ожиданиям, основанным исключительно на стандартном вкладе фононов , где сопротивление, как предсказывают, монотонно уменьшается с температурой.
Само существование локальных моментов в реальных системах, конечно, предполагает сильные электрон-электронные корреляции. Примесная модель Андерсона описывает квантовый уровень с кулоновским отталкиванием между электронами (а не спином), которое туннельно связано с металлическими электронами проводимости. В однократно занятом режиме примеси можно вывести модель Кондо из модели Андерсона, но последняя содержит другую физику, связанную с флуктуациями заряда. Численная группа перенормировки была расширена для работы с моделью Андерсона (захватывая тем самым как физику Кондо, так и физику валентных флуктуаций) Х. Р. Кришнамурти и др. [2] в 1980 году. Действительно, с тех пор были сделаны различные важные разработки: всеобъемлющий современный обзор был составлен Буллой и др. [3]
Численная ренормгруппа представляет собой итеративную процедуру, которая является примером метода ренормгруппы .
Метод состоит в том, чтобы сначала разделить зону проводимости на логарифмические интервалы (т. е. интервалы, которые экспоненциально уменьшаются по мере приближения к энергии Ферми). Сохраняется одно состояние зоны проводимости из каждого интервала, что является полностью симметричной комбинацией всех состояний в этом интервале. Зона проводимости теперь «логарифмически дискретизирована». Теперь гамильтониан может быть преобразован в так называемую линейную цепочечную форму, в которой примесь связана только с одним состоянием зоны проводимости, которое связано с одним другим состоянием зоны проводимости и так далее. Важно то, что эти связи экспоненциально уменьшаются вдоль цепи, так что, даже если преобразованный гамильтониан предназначен для бесконечной цепи, можно рассмотреть цепь конечной длины и все равно получить полезные результаты.
Единственное ограничение для зоны проводимости заключается в том, что она не взаимодействует. Недавние разработки [4] позволяют отображать общую многоканальную зону проводимости со смешиванием каналов в цепь Вильсона, и вот реализация на Python.
Как только гамильтониан находится в линейной цепной форме, можно начать итерационный процесс. Сначала рассматривается изолированная примесь, которая будет иметь некоторый характерный набор уровней энергии. Затем рассматривается добавление первой орбитали зоны проводимости к цепи. Это вызывает расщепление уровней энергии для изолированной примеси. Затем рассматривается эффект добавления дальнейших орбиталей вдоль цепи, что еще больше расщепляет полученные ранее уровни энергии. Поскольку связи уменьшаются вдоль цепи, последовательные расщепления, вызванные добавлением орбиталей к цепи, уменьшаются.
Когда к цепи добавляется определенное количество орбиталей, у нас есть набор уровней энергии для этой конечной цепи. Это, очевидно, не истинный набор уровней энергии для бесконечной цепи, но это хорошее приближение к истинному набору в диапазоне температур, где: дальнейшее расщепление, вызванное добавлением большего количества орбиталей, пренебрежимо мало, и у нас достаточно орбиталей в цепи, чтобы учесть расщепления, которые имеют значение в этом диапазоне температур. Результатом этого является то, что результаты, полученные для цепи любой конкретной длины, справедливы только в определенном диапазоне температур, диапазоне, который перемещается к более низким температурам по мере увеличения длины цепи. Это означает, что, рассматривая результаты при многих различных длинах цепи, можно построить картину поведения системы в широком диапазоне температур.
Гамильтониан для линейной цепи конечной длины является примером эффективного гамильтониана. Он не является полным гамильтонианом бесконечной линейной цепной системы, но в определенном диапазоне температур дает результаты, близкие к полному гамильтониану.