Гипотеза Шануэля

Основная нерешенная проблема в теории трансцендентных чисел

В математике , в частности в теории трансцендентных чисел , гипотеза Шануэля — это гипотеза о степени трансцендентности некоторых расширений поля рациональных чисел , которая установила бы трансцендентность большого класса чисел , для которого это в настоящее время неизвестно . Она принадлежит Стивену Шануэлю и была опубликована Сержем Лангом в 1966 году. ^[1] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Заявление

Гипотезу Шануэля можно сформулировать следующим образом: ^{[1] [2]}

Гипотеза Шануэля  —  Для любого набора комплексных чисел , линейно независимых над , расширение поля имеет степень трансцендентности по крайней мере над . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{z_{1},...,z_{n}\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (z_{1},...,z_{n},e^{z_{1}},...,e^{z_{n}})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Последствия

Гипотеза Шануэля, если она будет доказана, обобщит большинство известных результатов в теории трансцендентных чисел и установит большой класс трансцендентных чисел. Особые случаи гипотезы Шануэля включают:

Теорема Линдемана-Вейерштрасса

Рассмотрение гипотезы Шануэльса для только дает, что для ненулевых комплексных чисел , по крайней мере одно из чисел и должно быть трансцендентным. Это было доказано Фердинандом фон Линдеманном в 1882 году. ^[3] ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle e^{z}}$

Если числа считаются алгебраическими и линейно независимыми над , то результат будет трансцендентным и алгебраически независимым над . Первое доказательство этого более общего результата было дано Карлом Вейерштрассом в 1885 году. ^[4] ${\displaystyle z_{1},...,z_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle e^{z_{1}},...,e^{z_{n}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Эта так называемая теорема Линдемана–Вейерштрасса подразумевает трансцендентность чисел e и π . Из нее также следует, что для алгебраических чисел, не равных или 1 , оба и являются трансцендентными. Она также дает трансцендентность тригонометрических функций при ненулевых алгебраических значениях. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle e^{\alpha }}$ ${\displaystyle \ln(\alpha )}$

Теорема Бейкера

Другой особый случай был доказан Аланом Бейкером в 1966 году: если комплексные числа выбраны линейно независимыми относительно рациональных чисел, таких, что являются алгебраическими, то они также линейно независимы относительно алгебраических чисел . ${\displaystyle \lambda _{1},...,\lambda _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle e^{\lambda _{1}},...,e^{\lambda _{n}}}$ ${\displaystyle \lambda _{1},...,\lambda _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {\overline {Q}} }$

Гипотеза Шануэля усилила бы этот результат, подразумевая, что также будет алгебраически независим над (и, что эквивалентно, над ). ^[2] ${\displaystyle \lambda _{1},...,\lambda _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {\overline {Q}} }$

Теорема Гельфонда-Шнайдера

В 1934 году Александр Гельфонд и Теодор Шнайдер доказали , что если и — два алгебраических комплексных числа, причем и , то является трансцендентным. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha \notin \{0,1\}}$ ${\displaystyle \beta \notin \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \alpha ^{\beta }}$

Это устанавливает трансцендентность таких чисел, как постоянная Гильберта и постоянная Гельфонда . ^[5] ${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle e^{\pi }}$

Теорема Гельфонда–Шнайдера следует из гипотезы Шануэля, если положить и . Она также следует из усиленной версии теоремы Бейкера выше. ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle z_{1}=\beta ,z_{2}=\ln \alpha ,z_{3}=\beta \ln \alpha }$

Гипотеза о четырех экспоненциалах

Недоказанная в настоящее время гипотеза о четырех экспоненциальных числах также вытекает из гипотезы Шануэля: если и — две пары комплексных чисел, причем каждая пара линейно независима относительно рациональных чисел, то по крайней мере одно из следующих четырех чисел является трансцендентным : ${\displaystyle z_{1},z_{2}}$ ${\displaystyle w_{1},w_{2}}$

${\displaystyle e^{z_{1}w_{1}},e^{z_{1}w_{2}},e^{z_{2}w_{1}},e^{z_{2}w_{2}}.}$

Четырехэкспоненциальная гипотеза подразумевает, что для любого иррационального числа , по крайней мере одно из чисел и является трансцендентным. Это также подразумевает, что если — положительное действительное число, такое, что и — целые числа, то само должно быть целым числом. ^[2] Соответствующая теорема о шести экспоненциальных числах была доказана. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle 2^{t}}$ ${\displaystyle 3^{t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle 2^{t}}$ ${\displaystyle 3^{t}}$ ${\displaystyle t}$

Другие последствия

Гипотеза Шануэля, если она будет доказана, также установила бы, что многие нетривиальные комбинации e , π , алгебраических чисел и элементарных функций являются трансцендентными: ^{[2] [6] [7]}

${\displaystyle e+\pi ,e\pi ,e^{\pi ^{2}},e^{e},\pi ^{e},\pi ^{\sqrt {2}},\pi ^{\pi },\pi ^{\pi ^{\pi }},\,\log \pi ,\,\log \log 2,\,\sin e,...}$

В частности, отсюда следует, что e и π алгебраически независимы, просто положив и . ${\displaystyle z_{1}=1}$ ${\displaystyle z_{2}=i\pi }$

Тождество Эйлера утверждает, что . Если гипотеза Шануэля верна, то это, в некотором точном смысле, включающем экспоненциальные кольца , единственное соотношение между e , π и i над комплексными числами. ^[8] ${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$

Сопутствующие предположения и результаты

Обратная гипотеза Шануэля ^[9] представляет собой следующее утверждение:

Предположим, что F — счетное поле с характеристикой 0, а e  : F → F — гомоморфизм из аддитивной группы ( F ,+) в мультипликативную группу ( F ,·), ядро ​​которой циклическое . Предположим далее, что для любых n элементов x ₁ ,..., x _n из F , которые линейно независимы над , поле расширения ( x ₁ ,..., x _n , e ( x ₁ ),..., e ( x _n )) имеет степень трансцендентности по крайней мере n над . Тогда существует гомоморфизм полей h  : F → такой, что h ( e ( x )) = exp( h ( x )) для всех x из F . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Версия гипотезы Шенуэля для формальных степенных рядов , также принадлежащая Шенуэлю, была доказана Джеймсом Эксом в 1971 году. ^[10] Она гласит:

Если заданы любые n формальных степенных рядов f ₁ ,..., f _n в t [[ t ]], которые линейно независимы над , то расширение поля ( t , f ₁ ,..., f _n ,exp( f ₁ ),...,exp( f _n )) имеет степень трансцендентности не менее n над ( t ). ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Хотя гипотеза Шануэля и является проблемой теории чисел, она также имеет значение в теории моделей . Например, Ангус Макинтайр и Алекс Уилки доказали, что теория действительного поля с возведением в степень _exp разрешима при условии, что гипотеза Шануэля верна. ^[11] Фактически, чтобы доказать этот результат, им нужна была только действительная версия гипотезы, которая выглядит следующим образом: ^[12 ] ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Предположим, что x ₁ ,..., x _n — действительные числа и степень трансцендентности поля ( x ₁ ,..., x _n , exp ( x ₁ ),...,exp( x _n )) строго меньше n , тогда существуют целые числа m ₁ ,..., m _n , не все равные нулю, такие, что m ₁ x ₁  +...+  m _n x _n  = 0. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Это было бы положительным решением проблемы экспоненциальной функции Тарского .

Родственная гипотеза, называемая равномерной вещественной гипотезой Шануэля, по сути утверждает то же самое, но накладывает ограничение на целые числа m _i . Равномерная вещественная версия гипотезы эквивалентна стандартной вещественной версии. ^[12] Макинтайр и Уилки показали, что следствие гипотезы Шануэля, которое они назвали слабой гипотезой Шануэля, было эквивалентно разрешимости _exp . Эта гипотеза утверждает, что существует вычислимая верхняя граница нормы невырожденных решений систем экспоненциальных многочленов ; это, неочевидно, следствие гипотезы Шануэля для вещественных чисел. ^[11] ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Также известно, что гипотеза Шануэля будет следствием предположительных результатов в теории мотивов . В этом контексте гипотеза Гротендика о периоде для абелева многообразия A утверждает, что степень трансцендентности его матрицы периодов совпадает с размерностью ассоциированной группы Мамфорда–Тейта , а из работ Пьера Делиня известно , что размерность является верхней границей для степени трансцендентности. Бертолин показал, как обобщенная гипотеза о периоде включает гипотезу Шануэля. ^[13]

Псевдоэкспоненциация Зильбера

Хотя доказательство гипотезы Шануэля, по-видимому, еще очень далеко ^[14], связь с теорией моделей вызвала всплеск исследований этой гипотезы.

В 2004 году Борис Зильбер систематически построил экспоненциальные поля K _exp , которые алгебраически замкнуты и имеют характеристику ноль, и такие, что одно из этих полей существует для каждой несчетной мощности . ^[15] Он аксиоматизировал эти поля и, используя конструкцию и методы Хрушовского, вдохновленные работой Шелаха по категоричности в бесконечных логиках , доказал, что эта теория «псевдовозведения в степень» имеет уникальную модель в каждой несчетной мощности. Гипотеза Шануэля является частью этой аксиоматизации, и поэтому естественная гипотеза о том, что уникальная модель континуума мощности на самом деле изоморфна комплексному экспоненциальному полю, влечет гипотезу Шануэля. Фактически, Зильбер показал, что эта гипотеза верна тогда и только тогда, когда верны как гипотеза Шануэля, так и гипотеза об экспоненциально-алгебраической замкнутости . ^[16] Поскольку эта конструкция может также давать модели с контрпримерами гипотезы Шануэля, этот метод не может доказать гипотезу Шануэля. ^[17]

Смотрите также

• Гипотеза о четырех экспоненциалах
• Алгебраическая независимость
• Список нерешенных задач по математике
• Гипотеза экзистенциальной замкнутости
• Гипотеза Зильбера-Пинка

Ссылки

1. Lang, Serge (1966). Введение в трансцендентные числа . Addison–Wesley. стр. 30–31.
2. Вальдшмидт, Мишель (2021). «Гипотеза Шануэля: алгебраическая независимость трансцендентных чисел» (PDF) .
3. фон Линдеманн, Фердинанд (1882). «Ueber die Zahl π». Математические Аннален . 20 : 213–225. ISSN  0025-5831.
4. Вейерштрасс 1885, стр. 1067–1086,
5. Weisstein, Eric W. "Теорема Гельфонда". mathworld.wolfram.com . Получено 2024-10-26 .
6. Мурти, М. Рам; Рат, Пурушоттам (2014). Трансцендентные числа. Springer. doi :10.1007/978-1-4939-0832-5. ISBN 978-1-4939-0832-5.
7. Чэн, Чуансюнь; Дитель, Брайан; Херблот, Матильда; Хуан, Цзинцзин; Кригер, Холли; Маркес, Диего; Мейсон, Джонатан; Мереб, Мартин; Уилсон, С. Роберт (2008-05-07). "Некоторые следствия гипотезы Шануэля". arXiv : 0804.3550 [math.NT].
8. Терцо, Джузеппина (2008). «Некоторые следствия гипотезы Шануэля в экспоненциальных кольцах». Сообщения по алгебре . 36 (3): 1171–1189. doi :10.1080/00927870701410694. S2CID  122764821.
9. Скотт В. Уильямс, Проблемы на миллион долларов
10. Акс, Джеймс (1971). «О гипотезах Шануэля». Annals of Mathematics . 93 (2): 252–268. doi :10.2307/1970774. JSTOR  1970774.
11. Macintyre, A. & Wilkie, AJ (1996). «О разрешимости действительного экспоненциального поля». В Odifreddi, Piergiorgio (ред.). Kreiseliana: About and Around Georg Kreisel . Wellesley: Peters. стр. 441–467. ISBN 978-1-56881-061-4.
12. Kirby, Jonathan & Zilber, Boris (2006). «Равномерная гипотеза Шануэля над действительными числами». Bull. London Math. Soc . 38 (4): 568–570. CiteSeerX 10.1.1.407.5667 . doi :10.1112/S0024609306018510. S2CID  122077474. 
13. Бертолин, Кристиана (2002). «Периоды 1-мотивов и трансцендентности». Журнал теории чисел . 97 (2): 204–221. дои : 10.1016/S0022-314X(02)00002-1 . hdl : 2318/103562 .
14. Вальдшмидт, Мишель (2000). Диофантова аппроксимация на линейных алгебраических группах . Берлин: Шпрингер . ISBN 978-3-662-11569-5.
15. Зильбер, Борис (2004). «Псевдоэкспоненциация в алгебраически замкнутых полях нулевой характеристики». Annals of Pure and Applied Logic . 132 (1): 67–95. doi : 10.1016/j.apal.2004.07.001 .
16. Зильбер, Борис (2002). «Уравнения экспоненциальных сумм и гипотеза Шануэля». J. London Math. Soc . 65 (2): 27–44. doi :10.1112/S0024610701002861. S2CID  123143365.
17. Бэйс, Мартин; Кирби, Джонатан (2018). «Псевдоэкспоненциальные отображения, варианты и квазиминимальность». Алгебра Теория чисел . 12 (3): 493–549. arXiv : 1512.04262 . doi :10.2140/ant.2018.12.493. S2CID  119602079.

Источники

• Вейерштрасс, К. (1885), «Abhandlung Зу Линдеманна. «Über die Ludolph'sche Zahl».», Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissen-schaften zu Berlin , 5 : 1067–1085

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза Шануэля». Математический мир .