распределение Эрланга

Семейство непрерывных распределений вероятностей

Распределение Эрланга — это двухпараметрическое семейство непрерывных распределений вероятностей с носителем . Два параметра: ${\displaystyle x\in [0,\infty )}$

• положительное целое число «форма», и ${\displaystyle k,}$
• положительное действительное число "ставка". Иногда вместо нее используется "шкала", обратная ставке. ${\displaystyle \lambda ,}$ ${\displaystyle \beta ,}$

Распределение Эрланга — это распределение суммы независимых экспоненциальных переменных со средним значением для каждой. Эквивалентно, это распределение времени до k- го события пуассоновского процесса со скоростью . Распределения Эрланга и Пуассона являются взаимодополняющими, в том смысле, что в то время как распределение Пуассона подсчитывает события, происходящие за фиксированный промежуток времени, распределение Эрланга подсчитывает количество времени до наступления фиксированного числа событий. Когда , распределение упрощается до экспоненциального распределения . Распределение Эрланга — это особый случай гамма-распределения , в котором форма распределения дискретизирована. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 1/\lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle k=1}$

Распределение Эрланга было разработано А. К. Эрлангом для исследования количества телефонных звонков, которые могут быть сделаны одновременно операторам коммутационных станций. Эта работа по проектированию телефонного трафика была расширена для рассмотрения времени ожидания в системах массового обслуживания в целом. Распределение также используется в области стохастических процессов .

Характеристика

Функция плотности вероятности

Функция плотности вероятности распределения Эрланга имеет вид

${\displaystyle f(x;k,\lambda )={\lambda ^{k}x^{k-1}e^{-\lambda x} \over (k-1)!}\quad {\mbox{for }}x,\lambda \geq 0,}$

Параметр k называется параметром формы, а параметр называется параметром скорости. ${\displaystyle \lambda }$

Альтернативная, но эквивалентная параметризация использует параметр масштаба , который является обратной величиной параметра скорости (т.е. ): ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta =1/\lambda }$

${\displaystyle f(x;k,\beta )={\frac {x^{k-1}e^{-{\frac {x}{\beta }}}}{\beta ^{k}(k-1)!}}\quad {\mbox{for }}x,\beta \geq 0.}$

При параметре масштаба, равном 2, распределение упрощается до распределения хи-квадрат с 2 k степенями свободы. Поэтому его можно рассматривать как обобщенное распределение хи-квадрат для четного числа степеней свободы. ${\displaystyle \beta }$

Кумулятивная функция распределения (CDF)

Кумулятивная функция распределения Эрланга имеет вид

${\displaystyle F(x;k,\lambda )=P(k,\lambda x)={\frac {\gamma (k,\lambda x)}{\Gamma (k)}}={\frac {\gamma (k,\lambda x)}{(k-1)!}},}$

где — нижняя неполная гамма-функция , а — нижняя регуляризованная гамма-функция . CDF также может быть выражена как ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle F(x;k,\lambda )=1-\sum _{n=0}^{k-1}{\frac {1}{n!}}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{n}.}$

Эрланг-к

Распределение Эрланга- k (где k — положительное целое число) определяется путем установки k в функции вероятности распределения Эрланга. ^[1] Например, распределение Эрланга-2 равно , что то же самое, что . ${\displaystyle E_{k}(\lambda )}$ ${\displaystyle E_{2}(\lambda )={\lambda ^{2}x}e^{-\lambda x}\quad {\mbox{for }}x,\lambda \geq 0}$ ${\displaystyle f(x;2,\lambda )}$

Медиана

Известно асимптотическое разложение для медианы распределения Эрланга, ^[2] для которого можно вычислить коэффициенты и известны границы. ^{[3] [4]} Приближение — это то, что ниже среднего ^[5] ${\displaystyle {\frac {k}{\lambda }}\left(1-{\dfrac {1}{3k+0.2}}\right),}$ ${\displaystyle {\frac {k}{\lambda }}.}$

Генерация случайных величин, распределенных по закону Эрланга

Случайные величины, распределенные по Эрлангу, можно сгенерировать из равномерно распределенных случайных чисел ( ), используя следующую формулу: ^[6] ${\displaystyle U\in [0,1]}$

${\displaystyle E(k,\lambda )=-{\frac {1}{\lambda }}\ln \prod _{i=1}^{k}U_{i}=-{\frac {1}{\lambda }}\sum _{i=1}^{k}\ln U_{i}}$

Приложения

Время ожидания

События, которые происходят независимо с некоторой средней скоростью, моделируются с помощью процесса Пуассона . Время ожидания между k появлениями события распределено по Эрлангу. (Связанный с этим вопрос о количестве событий за заданный промежуток времени описывается распределением Пуассона .)

Распределение Эрланга, измеряющее время между входящими вызовами, может использоваться в сочетании с ожидаемой продолжительностью входящих вызовов для получения информации о нагрузке трафика, измеряемой в эрлангах. Это может использоваться для определения вероятности потери или задержки пакетов в соответствии с различными предположениями о том, будут ли заблокированные вызовы отменены (формула Эрланга B) или поставлены в очередь до тех пор, пока не будут обслужены (формула Эрланга C). Формулы Эрланга-B и C по-прежнему используются в повседневной практике для моделирования трафика в таких приложениях, как проектирование колл-центров .

Другие приложения

Распределение заболеваемости раком по возрасту часто следует распределению Эрланга, тогда как параметры формы и масштаба предсказывают, соответственно, количество событий-драйверов и временной интервал между ними. ^{[7] [8]} В более общем плане распределение Эрланга было предложено в качестве хорошего приближения распределения времени клеточного цикла в результате многоступенчатых моделей. ^{[9] [10]}

Кинезин — это молекулярная машина с двумя «ногами» , которая «ходит» вдоль нити. Время ожидания между каждым шагом распределено экспоненциально. Когда зеленый флуоресцентный белок прикреплен к ноге кинезина, то зеленая точка заметно движется с распределением Эрланга k = 2. ^[11]

Он также использовался в маркетинге для описания времени между покупками. ^[12]

Характеристики

• Если тогда с ${\displaystyle X\sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )}$ ${\displaystyle a\cdot X\sim \operatorname {Erlang} \left(k,{\frac {\lambda }{a}}\right)}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$
• Если и то если независимы ${\displaystyle X\sim \operatorname {Erlang} (k_{1},\lambda )}$ ${\displaystyle Y\sim \operatorname {Erlang} (k_{2},\lambda )}$ ${\displaystyle X+Y\sim \operatorname {Erlang} (k_{1}+k_{2},\lambda )}$ ${\displaystyle X,Y}$

Связанные дистрибутивы

• Распределение Эрланга — это распределение суммы k независимых и одинаково распределенных случайных величин , каждая из которых имеет экспоненциальное распределение . Долгосрочная скорость, с которой происходят события, является обратной величиной ожидания, то есть, (Возрастная) скорость события распределения Эрланга равна для монотонно возрастающей от 0 при до , поскольку стремится к бесконечности. ^[13] ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \lambda /k.}$ ${\displaystyle k>1,}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x=0,}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle x}$
  • То есть: если тогда ${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {Exponential} (\lambda ),}$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}{X_{i}}\sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )}$$
• Из-за факториальной функции в знаменателе PDF и CDF распределение Эрланга определено только тогда, когда параметр k является положительным целым числом. Фактически, это распределение иногда называют распределением Эрланга -k (например, распределение Эрланга-2 является распределением Эрланга с ). Гамма-распределение обобщает распределение Эрланга, позволяя k быть любым положительным действительным числом, используя гамма-функцию вместо факториальной функции. ${\displaystyle k=2}$
  • То есть: если k — целое число и тогда ${\displaystyle X\sim \operatorname {Gamma} (k,\lambda ),}$ ${\displaystyle X\sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )}$
• Если и тогда ${\displaystyle U\sim \operatorname {Exponential} (\lambda )}$ ${\displaystyle V\sim \operatorname {Erlang} (n,\lambda )}$ ${\displaystyle {\frac {U}{V}}+1\sim \operatorname {Pareto} (1,n)}$
• Распределение Эрланга является частным случаем распределения Пирсона типа III ^{[ требуется ссылка ]}
• Распределение Эрланга связано с распределением хи-квадрат . Если то ^{[ нужна ссылка ]} ${\displaystyle X\sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda ),}$ ${\displaystyle 2\lambda X\sim \chi _{2k}^{2}.}$
• Распределение Эрланга связано с распределением Пуассона посредством процесса Пуассона : если таково, что и Взяв разности , получаем распределение Пуассона. ${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {Exponential} (\lambda ),}$ $${\displaystyle S_{n}\sim \operatorname {Erlang} (n,\lambda )}$$ $${\displaystyle \operatorname {Pr} (N(x)\leq n-1)=\operatorname {Pr} (S_{n}>x)=1-F_{X}(x;n,\lambda )=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {1}{k!}}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{k}.}$$ ${\displaystyle n}$

Смотрите также

• Распределение Коксиана
• Расчет Энгсета
• Формула Эрланга Б
• единица измерения Эрланга
• Распределение фазового типа
• Модель генерации трафика

Примечания

1. "h1.pdf" (PDF) .
2. Чой, КП (1994). «О медианах гамма-распределений и уравнении Рамануджана». Труды Американского математического общества . 121 : 245–251. doi :10.1090/S0002-9939-1994-1195477-8. JSTOR  2160389.
3. Adell, JA; Jodrá, P. (2010). «Об уравнении Рамануджана, связанном с медианой гамма-распределения». Труды Американского математического общества . 360 (7): 3631. doi : 10.1090/S0002-9947-07-04411-X .
4. Jodrá, P. (2012). «Вычисление асимптотического разложения медианы распределения Эрланга». Математическое моделирование и анализ . 17 (2): 281–292. doi : 10.3846/13926292.2012.664571 .
5. Баннехека, BMSG; Эканаяке, GEMUPD (2009). «Новая точечная оценка медианы гамма-распределения». Вийодая Дж. Наука . 14 : 95–103.
6. Resa. "Статистические распределения - Распределение Эрланга - Генератор случайных чисел". www.xycoon.com . Получено 4 апреля 2018 г. .
7. Беликов, Алексей В. (22 сентября 2017 г.). «Количество основных канцерогенных событий можно предсказать по заболеваемости раком». Scientific Reports . 7 (1). doi :10.1038/s41598-017-12448-7. PMC 5610194 . PMID  28939880. 
8. Беликов, Алексей В.; Вяткин, Алексей; Леонов, Сергей В. (2021-08-06). «Распределение Эрланга аппроксимирует возрастное распределение заболеваемости раком в детском и молодом возрасте». PeerJ . 9 : e11976. doi : 10.7717/peerj.11976 . ISSN  2167-8359. PMC 8351573 . PMID  34434669. 
9. Йейтс, Кристиан А. (21 апреля 2017 г.). «Многоэтапное представление пролиферации клеток как марковского процесса». Бюллетень математической биологии . 79 (1): 2905–2928. doi : 10.1007/s11538-017-0356-4 . PMC 5709504 . 
10. Гаваньин, Энрико (21 ноября 2019 г.). «Модели скорости вторжения в миграционные модели клеток с реалистичными распределениями времени клеточного цикла». Журнал теоретической биологии . 481 : 91–99. arXiv : 1806.03140 . doi : 10.1016/j.jtbi.2018.09.010.
11. Йылдыз, Ахмет; Форки, Джозеф Н.; МакКинни, Шон А.; Ха, Тэкджип; Голдман, Йель Э.; Селвин, Пол Р. (2003-06-27). «Миозин V гуляет из стороны в сторону: визуализация одного флуорофора с локализацией 1,5 нм». Science . 300 (5628): 2061–2065. doi :10.1126/science.1084398. ISSN  0036-8075.
12. Чатфилд, К.; Гудхардт, Г.Дж. (декабрь 1973 г.). «Модель потребительских покупок с интервалами между покупками по Эрлангу». Журнал Американской статистической ассоциации . 68 : 828–835. doi : 10.1080/01621459.1973.10481432.
13. Кокс, Д.Р. (1967) Теория обновления , стр. 20, Метуэн.

Ссылки

• Ян Ангус «Введение в Erlang B и Erlang C», Telemanagement #187 (документ PDF — содержит термины и формулы, а также краткую биографию)
• Стюарт Харрис «Вычисления Эрланга против моделирования»

Внешние ссылки

• Распределение Эрланга
• Измерение ресурсов с использованием Erlang-B и Erlang-C