Гамма-распределение

Распределение вероятностей

В теории вероятностей и статистике гамма -распределение представляет собой универсальное двухпараметрическое семейство непрерывных распределений вероятностей . ^[1] Экспоненциальное распределение , распределение Эрланга и распределение хи-квадрат являются частными случаями гамма-распределения. ^[2] Существуют две обычно используемые эквивалентные параметризации:

1. С параметром формы k и параметром масштаба θ
2. С параметром формы и обратным параметром масштаба ⁠ ⁠ , называемым параметром скорости . ${\displaystyle \alpha =k}$ ${\displaystyle \beta =1/\theta }$

В каждой из этих форм оба параметра являются положительными действительными числами.

Распределение имеет важные приложения в различных областях, включая эконометрику , байесовскую статистику , тестирование жизни. ^[3] В эконометрике параметризация (k, θ) распространена для моделирования времени ожидания, такого как время до смерти, где она часто принимает форму распределения Эрланга для целых значений k. Байесовская статистика предпочитает параметризацию (α, β), используя гамма-распределение в качестве сопряженного априорного для нескольких обратных масштабных параметров, что облегчает аналитическую трактовку в вычислениях апостериорного распределения. Плотность вероятности и кумулятивные функции распределения гамма-распределения изменяются в зависимости от выбранной параметризации, обе из которых дают представление о поведении гамма-распределенных случайных величин. Гамма-распределение является неотъемлемой частью моделирования ряда явлений из-за своей гибкой формы, которая может охватывать различные статистические распределения, включая экспоненциальное и хи-квадрат распределения при определенных условиях. Его математические свойства, такие как среднее значение, дисперсия, асимметрия и высшие моменты, предоставляют набор инструментов для статистического анализа и вывода. Практические приложения распределения охватывают несколько дисциплин, подчеркивая его важность в теоретической и прикладной статистике. ^[4]

Гамма-распределение — это распределение вероятности максимальной энтропии (как по отношению к однородной базовой мере, так и к базовой мере) для случайной величины X , для которой E [ X ] = kθ = α / β фиксировано и больше нуля, а E [ln X ] = ψ ( k ) + ln θ = ψ ( α ) − ln β фиксировано ( ψ — дигамма-функция ). ^[5] ${\displaystyle 1/x}$

Определения

Параметризация с k и θ , по-видимому, более распространена в эконометрике и других прикладных областях, где гамма-распределение часто используется для моделирования времени ожидания. Например, в тестировании жизни время ожидания до смерти является случайной величиной , которая часто моделируется с помощью гамма-распределения. См. Hogg and Craig ^[6] для явной мотивации.

Параметризация с α и β более распространена в байесовской статистике , где гамма-распределение используется как сопряженное априорное распределение для различных типов параметров обратной шкалы (скорости), таких как λ экспоненциального распределения или распределения Пуассона ^[7] – или, если на то пошло, β самого гамма-распределения. Тесно связанное обратное гамма-распределение используется как сопряженное априорное распределение для параметров шкалы, таких как дисперсия нормального распределения .

Если k — положительное целое число , то распределение представляет собой распределение Эрланга , т. е. сумму k независимых экспоненциально распределенных случайных величин , каждая из которых имеет среднее значение θ .

Характеристика с использованием формыαи скоростьβ

Гамма-распределение может быть параметризовано в терминах параметра формы α = k и обратного параметра масштаба β = 1/ θ , называемого параметром скорости . Случайная величина X , которая имеет гамма-распределение с формой α и скоростью β, обозначается

${\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,\beta )\equiv \operatorname {Gamma} (\alpha ,\beta )}$

Соответствующая функция плотности вероятности в параметризации скорости формы имеет вид

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;\alpha ,\beta )&={\frac {x^{\alpha -1}e^{-\beta x}\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\quad {\text{ for }}x>0\quad \alpha ,\beta >0,\\[6pt]\end{aligned}}}$

где — гамма-функция . Для всех положительных целых чисел . ${\displaystyle \Gamma (\alpha )}$ ${\displaystyle \Gamma (\alpha )=(\alpha -1)!}$

Кумулятивная функция распределения представляет собой регуляризованную гамма-функцию:

${\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )=\int _{0}^{x}f(u;\alpha ,\beta )\,du={\frac {\gamma (\alpha ,\beta x)}{\Gamma (\alpha )}},}$

где - нижняя неполная гамма-функция . ${\displaystyle \gamma (\alpha ,\beta x)}$

Если α — положительное целое число (т.е. распределение является распределением Эрланга ), кумулятивная функция распределения имеет следующее разложение в ряд: ^[8]

${\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )=1-\sum _{i=0}^{\alpha -1}{\frac {(\beta x)^{i}}{i!}}e^{-\beta x}=e^{-\beta x}\sum _{i=\alpha }^{\infty }{\frac {(\beta x)^{i}}{i!}}.}$

Характеристика с использованием формыки масштабθ

Случайная величина X , которая имеет гамма-распределение с формой k и масштабом θ, обозначается как

${\displaystyle X\sim \Gamma (k,\theta )\equiv \operatorname {Gamma} (k,\theta )}$

Иллюстрация гамма-PDF для значений параметров по k и x с θ, установленным на 1, 2, 3, 4, 5 и  6. Здесь можно увидеть каждый слой θ отдельно [2], а также по  k [3] и  x [4].

Функция плотности вероятности , использующая параметризацию масштаба формы, имеет вид

${\displaystyle f(x;k,\theta )={\frac {x^{k-1}e^{-x/\theta }}{\theta ^{k}\Gamma (k)}}\quad {\text{ for }}x>0{\text{ and }}k,\theta >0.}$

Здесь Γ( k ) — гамма-функция , вычисленная при k .

Кумулятивная функция распределения представляет собой регуляризованную гамма-функцию:

${\displaystyle F(x;k,\theta )=\int _{0}^{x}f(u;k,\theta )\,du={\frac {\gamma \left(k,{\frac {x}{\theta }}\right)}{\Gamma (k)}},}$

где - нижняя неполная гамма-функция . ${\displaystyle \gamma \left(k,{\frac {x}{\theta }}\right)}$

Его также можно выразить следующим образом, если k — положительное целое число (т.е. распределение является распределением Эрланга ): ^[8]

${\displaystyle F(x;k,\theta )=1-\sum _{i=0}^{k-1}{\frac {1}{i!}}\left({\frac {x}{\theta }}\right)^{i}e^{-x/\theta }=e^{-x/\theta }\sum _{i=k}^{\infty }{\frac {1}{i!}}\left({\frac {x}{\theta }}\right)^{i}.}$

Оба варианта параметризации распространены, поскольку любой из них может быть более удобным в зависимости от ситуации.

Характеристики

Среднее значение и дисперсия

Среднее значение гамма-распределения определяется произведением его формы и масштабных параметров:

${\displaystyle \mu =k\theta =\alpha /\beta }$

Дисперсия составляет:

${\displaystyle \sigma ^{2}=k\theta ^{2}=\alpha /\beta ^{2}}$

Квадратный корень обратного параметра формы дает коэффициент вариации :

${\displaystyle \sigma /\mu =k^{-0.5}=1/{\sqrt {\alpha }}}$

Асимметрия

Асимметрия гамма - распределения зависит только от его параметра формы k и равна ${\displaystyle 2/{\sqrt {k}}.}$

Высшие моменты

N - й сырой момент определяется по формуле:

${\displaystyle \mathrm {E} [X^{n}]=\theta ^{n}{\frac {\Gamma (k+n)}{\Gamma (k)}}=\theta ^{n}\prod _{i=1}^{n}(k+i-1)\;{\text{ for }}n=1,2,\ldots .}$

Медианные приближения и границы

Границы и асимптотические приближения к медиане гамма-распределения. Голубая область указывает на большой разрыв между опубликованными нижними и верхними границами до 2021 года.

В отличие от моды и среднего, которые имеют легко вычисляемые формулы на основе параметров, медиана не имеет уравнения замкнутой формы. Медиана для этого распределения — это значение ν, такое что

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (k)\theta ^{k}}}\int _{0}^{\nu }x^{k-1}e^{-x/\theta }dx={\frac {1}{2}}.}$

Строгое рассмотрение проблемы определения асимптотического разложения и границ для медианы гамма-распределения было впервые выполнено Ченом и Рубиным, которые доказали, что (для ) ${\displaystyle \theta =1}$

${\displaystyle k-{\frac {1}{3}}<\nu (k)<k,}$

где — среднее значение, а — медиана распределения . ^[9] Для других значений параметра масштаба среднее значение масштабируется до , а медианные границы и приближения будут аналогичным образом масштабироваться с помощью θ . ${\displaystyle \mu (k)=k}$ ${\displaystyle \nu (k)}$ ${\displaystyle {\text{Gamma}}(k,1)}$ ${\displaystyle \mu =k\theta }$

KP Choi нашел первые пять членов в асимптотическом приближении ряда Лорана медианы, сравнив медиану с функцией Рамануджана ${\displaystyle \theta }$ . ^[10] Берг и Педерсен нашли больше членов: ^[11]

${\displaystyle \nu (k)=k-{\frac {1}{3}}+{\frac {8}{405k}}+{\frac {184}{25515k^{2}}}+{\frac {2248}{3444525k^{3}}}-{\frac {19006408}{15345358875k^{4}}}-O\left({\frac {1}{k^{5}}}\right)+\cdots }$

Две асимптоты медианы гамма-распределения, которые, как было доказано в 2023 году, являются границами (верхняя сплошная красная и нижняя пунктирная красная) из , и интерполяция между ними, которая дает приближение (пунктирная красная), которое является точным при k = 1 и имеет максимальную относительную погрешность около 0,6%. Заштрихованная голубым цветом область представляет собой оставшийся зазор между верхней и нижней границами (или предполагаемыми границами), включая эти новые границы и границы на предыдущем рисунке. ${\displaystyle \nu (k)\approx 2^{-1/k}(A+k)}$

Логарифмический график верхней (сплошной) и нижней (пунктирной) границ медианы гамма-распределения и зазоров между ними. Зеленая, желтая и голубая области представляют зазор до статьи Лиона 2021 года. Зеленая и желтая области сужают этот зазор с помощью нижних границ, которые доказал Лион. Границы Лиона, доказанные в 2023 году, еще больше сужают желтый. В основном в пределах желтого цвета построены предполагаемые границы, интерполированные с помощью рациональной функции в замкнутой форме, вместе с численно рассчитанным значением медианы (пунктиром). Более узкие интерполированные границы существуют, но не построены, так как они не будут разрешены в этом масштабе.

Частичные суммы этих рядов являются хорошими приближениями для достаточно высоких значений k ; они не отображены на рисунке, который сосредоточен на области с низким значением k , которая хуже аппроксимируется.

Берг и Педерсен также доказали многие свойства медианы, показав, что она является выпуклой функцией k [ ^12] и что асимптотическое поведение вблизи равно (где γ — константа Эйлера–Маскерони ), и что для всех медиана ограничена значением ^[11] . ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle \nu (k)\approx e^{-\gamma }2^{-1/k}}$ ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle k2^{-1/k}<\nu (k)<ke^{-1/3k}}$

Более близкая линейная верхняя граница, только для , была предоставлена ​​в 2021 году Гонтом и Мерклем ^[13], опирающимися на результат Берга и Педерсена о том, что наклон везде меньше 1: ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle \nu (k)}$

${\displaystyle \nu (k)\leq k-1+\log 2~~}$для (с равенством при ) ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle k=1}$

который можно расширить до границы для всех, взяв максимум с хордой, показанной на рисунке, поскольку медиана, как было доказано, выпукла. ^[12] ${\displaystyle k>0}$

Приближение к медиане, которое асимптотически точно при высоких k и разумно вплоть до или немного ниже, следует из преобразования Вильсона–Хильферти : ${\displaystyle k=0.5}$

${\displaystyle \nu (k)=k\left(1-{\frac {1}{9k}}\right)^{3}}$

что становится отрицательным для . ${\displaystyle k<1/9}$

В 2021 году Лион предложил несколько приближений вида . Он предположил значения A и B , для которых это приближение является асимптотически точной верхней или нижней границей для всех . ^[14] В частности, он предложил следующие замкнутые границы, которые он доказал в 2023 году: ^[15] ${\displaystyle \nu (k)\approx 2^{-1/k}(A+Bk)}$ ${\displaystyle k>0}$

${\displaystyle \nu _{L\infty }(k)=2^{-1/k}(\log 2-{\frac {1}{3}}+k)\quad }$является нижней границей, асимптотически точной, поскольку ${\displaystyle k\to \infty }$

${\displaystyle \nu _{U}(k)=2^{-1/k}(e^{-\gamma }+k)\quad }$является верхней границей, асимптотически точной, поскольку ${\displaystyle k\to 0}$

Лион также показал (неофициально в 2021 году, строго в 2023 году) две другие нижние границы, которые не являются выражениями в замкнутой форме , включая эту, включающую гамма-функцию , основанную на решении интегрального выражения с заменой 1 на : ${\displaystyle e^{-x}}$

${\displaystyle \nu (k)>\left({\frac {2}{\Gamma (k+1)}}\right)^{-1/k}\quad }$(приближаясь к равенству как ) ${\displaystyle k\to 0}$

и касательная линия, в которой производная была найдена : ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle \nu ^{\prime }(1)\approx 0.9680448}$

${\displaystyle \nu (k)\geq \nu (1)+(k-1)\nu ^{\prime }(1)\quad }$(с равенством при ) ${\displaystyle k=1}$

${\displaystyle \nu (k)\geq \log 2+(k-1)(\gamma -2\operatorname {Ei} (-\log 2)-\log \log 2)}$

где Ei — экспоненциальный интеграл . ^{[14] [15]}

Кроме того, он показал, что интерполяции между границами могут обеспечить отличные приближения или более точные границы для медианы, включая приближение, которое является точным при (где ) и имеет максимальную относительную погрешность менее 0,6%. Все интерполированные приближения и границы имеют вид ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle \nu (1)=\log 2}$

${\displaystyle \nu (k)\approx {\tilde {g}}(k)\nu _{L\infty }(k)+(1-{\tilde {g}}(k))\nu _{U}(k)}$

где — интерполирующая функция, монотонно изменяющаяся от 0 при малых k до 1 при больших k , приближающая идеальный или точный интерполятор : ${\displaystyle {\tilde {g}}}$ ${\displaystyle g(k)}$

${\displaystyle g(k)={\frac {\nu _{U}(k)-\nu (k)}{\nu _{U}(k)-\nu _{L\infty }(k)}}}$

Для простейшей интерполирующей функции рассматривается рациональная функция первого порядка

${\displaystyle {\tilde {g}}_{1}(k)={\frac {k}{b_{0}+k}}}$

самая узкая нижняя граница имеет

${\displaystyle b_{0}={\frac {{\frac {8}{405}}+e^{-\gamma }\log 2-{\frac {\log ^{2}2}{2}}}{e^{-\gamma }-\log 2+{\frac {1}{3}}}}-\log 2\approx 0.143472}$

и самая точная верхняя граница имеет

${\displaystyle b_{0}={\frac {e^{-\gamma }-\log 2+{\frac {1}{3}}}{1-{\frac {e^{-\gamma }\pi ^{2}}{12}}}}\approx 0.374654}$

Интерполированные границы нанесены (в основном внутри желтой области) на показанном графике в логарифмическом масштабе . Еще более узкие границы доступны с использованием различных интерполирующих функций, но обычно не с параметрами замкнутой формы, как эти. ^[14]

Суммирование

Если X _i имеет распределение Гамма( k _i , θ ) для i = 1, 2, ..., N (т.е. все распределения имеют одинаковый параметр масштаба θ ), то

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}X_{i}\sim \mathrm {Gamma} \left(\sum _{i=1}^{N}k_{i},\theta \right)}$

при условии, что все X _i независимы .

Для случаев, когда X _i независимы , но имеют разные параметры масштаба, см. Матаи [ ^16] или Мосхопулос. ^[17]

Гамма-распределение демонстрирует бесконечную делимость .

Масштабирование

Если

${\displaystyle X\sim \mathrm {Gamma} (k,\theta ),}$

тогда, для любого c > 0 ,

${\displaystyle cX\sim \mathrm {Gamma} (k,c\,\theta ),}$функциями генерации моментов,

или, что то же самое, если

${\displaystyle X\sim \mathrm {Gamma} \left(\alpha ,\beta \right)}$(параметризация скорости формирования)

${\displaystyle cX\sim \mathrm {Gamma} \left(\alpha ,{\frac {\beta }{c}}\right),}$

Действительно, мы знаем, что если X является экспоненциальной с.в. со скоростью λ , то cX является экспоненциальной с.в. со скоростью λ / c ; то же самое справедливо и для гамма-переменных (и это можно проверить с помощью функции, генерирующей моменты , см., например, эти примечания, 10.4-(ii)): умножение на положительную константу c делит скорость (или, что эквивалентно, умножает шкалу).

Экспоненциальная семья

Гамма-распределение представляет собой двухпараметрическое экспоненциальное семейство с натуральными параметрами k − 1 и −1/ θ (эквивалентно α − 1 и − β ) и натуральными статистиками X и ln X .

Если параметр формы k остается фиксированным, то результирующее однопараметрическое семейство распределений представляет собой естественное экспоненциальное семейство .

Логарифмическое ожидание и дисперсия

Можно показать, что

${\displaystyle \operatorname {E} [\ln X]=\psi (\alpha )-\ln \beta }$

или эквивалентно,

${\displaystyle \operatorname {E} [\ln X]=\psi (k)+\ln \theta }$

где ψ — дигамма-функция . Аналогично,

${\displaystyle \operatorname {var} [\ln X]=\psi ^{(1)}(\alpha )=\psi ^{(1)}(k)}$

где - тригамма-функция . ${\displaystyle \psi ^{(1)}}$

Это можно вывести с помощью формулы экспоненциального семейства для функции, производящей момент достаточной статистики , поскольку одной из достаточных статистик гамма-распределения является ln x .

Информационная энтропия

Информационная энтропия — это

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {H} (X)&=\operatorname {E} [-\ln p(X)]\\[4pt]&=\operatorname {E} [-\alpha \ln \beta +\ln \Gamma (\alpha )-(\alpha -1)\ln X+\beta X]\\[4pt]&=\alpha -\ln \beta +\ln \Gamma (\alpha )+(1-\alpha )\psi (\alpha ).\end{aligned}}}$

В параметризации k , θ информационная энтропия определяется выражением

${\displaystyle \operatorname {H} (X)=k+\ln \theta +\ln \Gamma (k)+(1-k)\psi (k).}$

Расхождение Кульбака–Лейблера

Иллюстрация расхождения Кульбака–Лейблера (KL) для двух гамма-PDF. Здесь β = β ₀ + 1, которые установлены в 1, 2, 3, 4, 5 и  6. Типичная асимметрия для расхождения KL хорошо видна.

Расхождение Кульбака–Лейблера (KL-расхождение) Gamma( α _p , β _p ) («истинное» распределение) от Gamma( α _q , β _q ) («аппроксимирующее» распределение) определяется выражением ^[18]

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{\mathrm {KL} }(\alpha _{p},\beta _{p};\alpha _{q},\beta _{q})={}&(\alpha _{p}-\alpha _{q})\psi (\alpha _{p})-\log \Gamma (\alpha _{p})+\log \Gamma (\alpha _{q})\\&{}+\alpha _{q}(\log \beta _{p}-\log \beta _{q})+\alpha _{p}{\frac {\beta _{q}-\beta _{p}}{\beta _{p}}}.\end{aligned}}}$

Записанная с использованием параметризации k , θ , KL-дивергенция Gamma( k _p , θ _p ) от Gamma( k _q , θ _q ) задается выражением

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{\mathrm {KL} }(k_{p},\theta _{p};k_{q},\theta _{q})={}&(k_{p}-k_{q})\psi (k_{p})-\log \Gamma (k_{p})+\log \Gamma (k_{q})\\&{}+k_{q}(\log \theta _{q}-\log \theta _{p})+k_{p}{\frac {\theta _{p}-\theta _{q}}{\theta _{q}}}.\end{aligned}}}$

Преобразование Лапласа

Преобразование Лапласа гамма-PDF равно

${\displaystyle F(s)=(1+\theta s)^{-k}={\frac {\beta ^{\alpha }}{(s+\beta )^{\alpha }}}.}$

Связанные дистрибутивы

Общий

• Пусть — независимые и одинаково распределенные случайные величины, подчиняющиеся экспоненциальному распределению с параметром скорости λ, тогда ~ Gamma(n, λ), где n — параметр формы, а λ — скорость, и . ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \sum _{i}X_{i}}$ ${\textstyle {\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i}X_{i}\sim \operatorname {Gamma} (n,n*\lambda )}$
• Если X ~ Gamma(1, λ ) (в параметризации формы–скорости), то X имеет экспоненциальное распределение с параметром скорости λ . В параметризации формы-масштаба X ~ Gamma(1, λ ) имеет экспоненциальное распределение с параметром скорости 1/ λ .
• Если X ~ Gamma( ν /2, 2) (в параметризации формы-масштаба), то X идентично χ ² ( ν ) , распределению хи-квадрат с ν степенями свободы. Наоборот, если Q ~ χ ² ( ν ) и c — положительная константа, то cQ ~ Gamma( ν /2, 2 c ) .
• Если θ = 1/ k , то получаем распределение Шульца-Цимма , которое чаще всего используется для моделирования длин полимерных цепей.
• Если k — целое число , то гамма-распределение является распределением Эрланга и представляет собой распределение вероятностей времени ожидания до k -го «прибытия» в одномерном пуассоновском процессе с интенсивностью 1/ θ . Если

${\displaystyle X\sim \Gamma (k\in \mathbf {Z} ,\theta ),\qquad Y\sim \operatorname {Pois} \left({\frac {x}{\theta }}\right),}$

затем

${\displaystyle P(X>x)=P(Y<k).}$

• Если X имеет распределение Максвелла–Больцмана с параметром a , то

${\displaystyle X^{2}\sim \Gamma \left({\frac {3}{2}},2a^{2}\right).}$

• Если X ~ Gamma( k , θ ) , то следует экспоненциально-гамма (сокращенно exp-gamma) распределение. ^[19] Иногда его называют логарифмическим гамма-распределением. ^[20] Формулы для его среднего значения и дисперсии приведены в разделе #Логарифмическое ожидание и дисперсия. ${\textstyle \log X}$
• Если X ~ Gamma( k , θ ) , то следует обобщенное гамма-распределение с параметрами p = 2 , d = 2k и [ ^{требуется ссылка ]} . ${\displaystyle {\sqrt {X}}}$ ${\displaystyle a={\sqrt {\theta }}}$
• В более общем случае, если X ~ Gamma( k , θ ) , то для следует обобщенное гамма-распределение с параметрами p = 1/ q , d = k / q и . ${\displaystyle X^{q}}$ ${\displaystyle q>0}$ ${\displaystyle a=\theta ^{q}}$
• Если X ~ Gamma( k , θ ) с формой k и масштабом θ , то 1/ X ~ Inv-Gamma( k , θ ⁻¹ ) (вывод см. в разделе Обратное гамма-распределение ).
• Параметризация 1: Если независимы, то , или, что эквивалентно, ${\displaystyle X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\theta _{k})\,}$ ${\displaystyle {\frac {\alpha _{2}\theta _{2}X_{1}}{\alpha _{1}\theta _{1}X_{2}}}\sim \mathrm {F} (2\alpha _{1},2\alpha _{2})}$ ${\displaystyle {\frac {X_{1}}{X_{2}}}\sim \beta '\left(\alpha _{1},\alpha _{2},1,{\frac {\theta _{1}}{\theta _{2}}}\right)}$
• Параметризация 2: Если независимы, то , или, что эквивалентно, ${\displaystyle X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\beta _{k})\,}$ ${\displaystyle {\frac {\alpha _{2}\beta _{1}X_{1}}{\alpha _{1}\beta _{2}X_{2}}}\sim \mathrm {F} (2\alpha _{1},2\alpha _{2})}$ ${\displaystyle {\frac {X_{1}}{X_{2}}}\sim \beta '\left(\alpha _{1},\alpha _{2},1,{\frac {\beta _{2}}{\beta _{1}}}\right)}$
• Если X ~ Gamma( α , θ ) и Y ~ Gamma( β , θ ) распределены независимо, то X /( X + Y ) имеет бета-распределение с параметрами α и β , а X /( X + Y ) не зависит от X + Y , которое является Gamma( α + β , θ ) -распределенным.
• Если X _i ~ Gamma( α _i , 1) распределены независимо, то вектор ( X ₁ / S , ..., X _n / S ) , где S = X ₁ + ... + X _n , следует распределению Дирихле с параметрами α ₁ , ..., α _n .
• При больших k гамма-распределение сходится к нормальному распределению со средним значением μ = kθ и дисперсией σ ² = kθ ² .
• Гамма-распределение является сопряженным априорным распределением для точности нормального распределения с известным средним значением .
• Матричное гамма-распределение и распределение Уишарта являются многомерными обобщениями гамма-распределения (выборки представляют собой положительно-определенные матрицы, а не положительные действительные числа).
• Гамма-распределение является частным случаем обобщенного гамма-распределения , обобщенного целочисленного гамма-распределения и обобщенного обратного гауссова распределения .
• Среди дискретных распределений отрицательное биномиальное распределение иногда считают дискретным аналогом гамма-распределения.
• Распределения Твиди – гамма-распределение является членом семейства моделей экспоненциальной дисперсии Твиди .
• Модифицированное полунормальное распределение – Гамма-распределение является членом семейства модифицированных полунормальных распределений . ^[21] Соответствующая плотность равна , где обозначает пси-функцию Фокса–Райта . ${\displaystyle f(x\mid \alpha ,\beta ,\gamma )={\frac {2\beta ^{\frac {\alpha }{2}}x^{\alpha -1}\exp(-\beta x^{2}+\gamma x)}{\Psi {\left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}}}$ ${\displaystyle \Psi (\alpha ,z)={}_{1}\Psi _{1}\left({\begin{matrix}\left(\alpha ,{\frac {1}{2}}\right)\\(1,0)\end{matrix}};z\right)}$
• Для параметризации формы-масштаба , если параметр масштаба , где обозначает обратное гамма-распределение , то маргинальное распределение , где обозначает бета-штриховое распределение . ${\displaystyle x|\theta \sim \Gamma (k,\theta )}$ ${\displaystyle \theta \sim IG(b,1)}$ ${\displaystyle IG}$ ${\displaystyle x\sim \beta '(k,b)}$ ${\displaystyle \beta '}$

Составная гамма

Если известен параметр формы гамма-распределения, но неизвестен параметр обратной шкалы, то гамма-распределение для обратной шкалы образует сопряженное априорное распределение. Составное распределение , которое получается в результате интегрирования обратной шкалы, имеет решение в замкнутой форме, известное как составное гамма-распределение . ^[22]

Если же параметр формы известен, но среднее значение неизвестно, а априорное значение среднего задано другим гамма-распределением, то это приводит к К-распределению .

Вейбулл и стабильный счет

Гамма-распределение может быть выражено как распределение произведения распределения Вейбулла и вариантной формы устойчивого распределения счетов . Его параметр формы можно рассматривать как обратный параметр устойчивости Леви в устойчивом распределении счетов: где — стандартное устойчивое распределение счетов формы , а — стандартное распределение Вейбулла формы . ${\displaystyle f(x;k)\,(k>1)}$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle f(x;k)=\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{u}}\,W_{k}\left({\frac {x}{u}}\right)\left[ku^{k-1}\,{\mathfrak {N}}_{\frac {1}{k}}\left(u^{k}\right)\right]\,du,}$$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )}$ ${\displaystyle \alpha =1/k}$ ${\displaystyle W_{k}(x)}$ ${\displaystyle k}$

Статистический вывод

Оценка параметров

Оценка максимального правдоподобия

Функция правдоподобия для N iid наблюдений ( x ₁ , ..., x _N ) равна

${\displaystyle L(k,\theta )=\prod _{i=1}^{N}f(x_{i};k,\theta )}$

из которого мы вычисляем логарифмическую функцию правдоподобия

${\displaystyle \ell (k,\theta )=(k-1)\sum _{i=1}^{N}\ln x_{i}-\sum _{i=1}^{N}{\frac {x_{i}}{\theta }}-Nk\ln \theta -N\ln \Gamma (k)}$

Нахождение максимума по отношению к θ путем взятия производной и приравнивания ее к нулю дает оценку максимального правдоподобия параметра θ , которая равна выборочному среднему, деленному на параметр формы k : ${\displaystyle {\bar {x}}}$

${\displaystyle {\hat {\theta }}={\frac {1}{kN}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}={\frac {\bar {x}}{k}}}$

Подстановка этого в функцию логарифмического правдоподобия дает

${\displaystyle \ell (k)=(k-1)\sum _{i=1}^{N}\ln x_{i}-Nk-Nk\ln \left({\frac {\sum x_{i}}{kN}}\right)-N\ln \Gamma (k)}$

Нам нужно как минимум два образца: , поскольку для функция неограниченно возрастает как . Для можно проверить, что является строго вогнутой , используя свойства неравенства полигамма-функции . Нахождение максимума по k путем взятия производной и приравнивания ее к нулю дает ${\displaystyle N\geq 2}$ ${\displaystyle N=1}$ ${\displaystyle \ell (k)}$ ${\displaystyle k\to \infty }$ ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle \ell (k)}$

${\displaystyle \ln k-\psi (k)=\ln \left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)-{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\ln x_{i}=\ln {\bar {x}}-{\overline {\ln x}}}$

где ψ — дигамма-функция , а — выборочное среднее значение ln x . Для k не существует замкнутого решения . Функция численно ведет себя очень хорошо, поэтому, если требуется численное решение, его можно найти, например, с помощью метода Ньютона . Начальное значение k можно найти либо с помощью метода моментов , либо с помощью аппроксимации ${\displaystyle {\overline {\ln x}}}$

${\displaystyle \ln k-\psi (k)\approx {\frac {1}{2k}}\left(1+{\frac {1}{6k+1}}\right)}$

Если мы позволим

${\displaystyle s=\ln \left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)-{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\ln x_{i}=\ln {\bar {x}}-{\overline {\ln x}}}$

тогда k приблизительно равно

${\displaystyle k\approx {\frac {3-s+{\sqrt {(s-3)^{2}+24s}}}{12s}}}$

что находится в пределах 1,5% от правильного значения. ^[23] Явная форма для обновления Ньютона-Рафсона этого первоначального предположения: ^[24]

${\displaystyle k\leftarrow k-{\frac {\ln k-\psi (k)-s}{{\frac {1}{k}}-\psi ^{\prime }(k)}}.}$

При оценке максимального правдоподобия ожидаемые значения x и согласуются с эмпирическими средними: ${\displaystyle ({\hat {k}},{\hat {\theta }})}$ ${\displaystyle \ln x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {k}}{\hat {\theta }}&={\bar {x}}&&{\text{and}}&\psi ({\hat {k}})+\ln {\hat {\theta }}&={\overline {\ln x}}.\end{aligned}}}$

Предостережение относительно малого параметра формы

Для данных, , представленных в формате с плавающей точкой , который приводит к потере значимости до 0 для значений, меньших , логарифмы, необходимые для оценки максимального правдоподобия, приведут к сбою, если будут какие-либо потери значимости. Если предположить, что данные были получены с помощью гамма-распределения с cdf , то вероятность того, что будет хотя бы одна потеря значимости, равна: ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{N})}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle F(x;k,\theta )}$

${\displaystyle P({\text{underflow}})=1-(1-F(\varepsilon ;k,\theta ))^{N}}$

Эта вероятность будет приближаться к 1 для малых k и больших N. Например, при , и , . Обходной путь — иметь данные в логарифмическом формате. ${\displaystyle k=10^{-2}}$ ${\displaystyle N=10^{4}}$ ${\displaystyle \varepsilon =2.25\times 10^{-308}}$ ${\displaystyle P({\text{underflow}})\approx 0.9998}$

Для того чтобы протестировать реализацию оценщика максимального правдоподобия, который принимает логарифмические данные в качестве входных данных, полезно иметь возможность генерировать неисчезающие логарифмы случайных гамма-вариаций, когда . Следуя реализации в , это можно сделать следующим образом: ^[25] выборка и независимо. Тогда требуемая логарифмическая выборка равна , так что . ${\displaystyle k<1}$scipy.stats.loggamma ${\displaystyle Y\sim {\text{Gamma}}(k+1,\theta )}$ ${\displaystyle U\sim {\text{Uniform}}}$ ${\displaystyle Z=\ln(Y)+\ln(U)/k}$ ${\displaystyle \exp(Z)\sim {\text{Gamma}}(k,\theta )}$

Оценки в закрытом виде

Существуют последовательные замкнутые оценки k и θ , которые выводятся из правдоподобия обобщенного гамма-распределения . ^[26]

Оценка для формы k составляет

${\displaystyle {\hat {k}}={\frac {N\sum _{i=1}^{N}x_{i}}{N\sum _{i=1}^{N}x_{i}\ln x_{i}-\sum _{i=1}^{N}x_{i}\sum _{i=1}^{N}\ln x_{i}}}}$

и оценка для шкалы θ равна

${\displaystyle {\hat {\theta }}={\frac {1}{N^{2}}}\left(N\sum _{i=1}^{N}x_{i}\ln x_{i}-\sum _{i=1}^{N}x_{i}\sum _{i=1}^{N}\ln x_{i}\right)}$

Использование выборочного среднего значения x , выборочного среднего значения ln x и выборочного среднего значения произведения x ·ln x упрощает выражения до:

${\displaystyle {\hat {k}}={\bar {x}}/{\hat {\theta }}}$

${\displaystyle {\hat {\theta }}={\overline {x\ln {x}}}-{\bar {x}}{\overline {\ln {x}}}.}$

Если используется параметризация скорости, то оценка . ${\displaystyle {\hat {\beta }}=1/{\hat {\theta }}}$

Эти оценщики не являются строго оценщиками максимального правдоподобия, а называются оценщиками смешанного типа логарифмического момента. Однако они имеют схожую эффективность с оценщиками максимального правдоподобия.

Хотя эти оценки последовательны, они имеют небольшое смещение. Вариант оценки с поправкой на смещение для шкалы θ имеет вид

${\displaystyle {\tilde {\theta }}={\frac {N}{N-1}}{\hat {\theta }}}$

Поправка на смещение для параметра формы k определяется как ^[27]

${\displaystyle {\tilde {k}}={\hat {k}}-{\frac {1}{N}}\left(3{\hat {k}}-{\frac {2}{3}}\left({\frac {\hat {k}}{1+{\hat {k}}}}\right)-{\frac {4}{5}}{\frac {\hat {k}}{(1+{\hat {k}})^{2}}}\right)}$

Минимальная средняя квадратическая ошибка Байеса

При известном k и неизвестном θ апостериорная функция плотности для тета (с использованием стандартного масштабно-инвариантного априорного распределения для θ ) равна

${\displaystyle P(\theta \mid k,x_{1},\dots ,x_{N})\propto {\frac {1}{\theta }}\prod _{i=1}^{N}f(x_{i};k,\theta )}$

Обозначая

${\displaystyle y\equiv \sum _{i=1}^{N}x_{i},\qquad P(\theta \mid k,x_{1},\dots ,x_{N})=C(x_{i})\theta ^{-Nk-1}e^{-y/\theta }}$

Интегрирование по θ можно выполнить с помощью замены переменных, показывая, что 1/ θ имеет гамма-распределение с параметрами α = Nk , β = y .

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\theta ^{-Nk-1+m}e^{-y/\theta }\,d\theta =\int _{0}^{\infty }x^{Nk-1-m}e^{-xy}\,dx=y^{-(Nk-m)}\Gamma (Nk-m)\!}$

Моменты можно вычислить, взяв отношение ( m на m = 0 )

${\displaystyle \operatorname {E} [x^{m}]={\frac {\Gamma (Nk-m)}{\Gamma (Nk)}}y^{m}}$

что показывает, что оценка среднего значения ± стандартное отклонение апостериорного распределения для θ равна

${\displaystyle {\frac {y}{Nk-1}}\pm {\sqrt {\frac {y^{2}}{(Nk-1)^{2}(Nk-2)}}}.}$

Байесовский вывод

Сопряженный априор

В байесовском выводе гамма-распределение является сопряженным для многих распределений правдоподобия: Пуассона , экспоненциального , нормального (с известным средним), Парето , гамма с известной формой σ , обратной гамма с известным параметром формы и Гомпертца с известным параметром масштаба.

Сопряженное априорное распределение гамма-распределения равно: ^[28]

${\displaystyle p(k,\theta \mid p,q,r,s)={\frac {1}{Z}}{\frac {p^{k-1}e^{-\theta ^{-1}q}}{\Gamma (k)^{r}\theta ^{ks}}},}$

где Z — нормирующая константа без решения в замкнутой форме. Апостериорное распределение можно найти, обновив параметры следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}p'&=p\prod \nolimits _{i}x_{i},\\q'&=q+\sum \nolimits _{i}x_{i},\\r'&=r+n,\\s'&=s+n,\end{aligned}}}$

где n — количество наблюдений, а x _i — i -е наблюдение.

Возникновение и применение

Рассмотрим последовательность событий, при этом время ожидания каждого события является экспоненциальным распределением со скоростью β . Тогда время ожидания n -го события является гамма-распределением с целочисленной формой . Такая конструкция гамма-распределения позволяет моделировать широкий спектр явлений, где несколько подсобытий, каждое из которых требует времени с экспоненциальным распределением, должны произойти последовательно для того, чтобы произошло основное событие. ^[29] Примерами служат время ожидания событий клеточного деления , ^[30] количество компенсаторных мутаций для данной мутации, ^[31] время ожидания, пока не потребуется ремонт гидравлической системы, ^[32] и так далее. ${\displaystyle \alpha =n}$

В биофизике время задержки между шагами молекулярного мотора, такого как АТФ-синтаза , почти экспоненциально при постоянной концентрации АТФ, показывая, что каждый шаг мотора требует одного гидролиза АТФ. Если бы было n событий гидролиза АТФ, то это было бы гамма-распределение со степенью n. ^[33]

Гамма-распределение использовалось для моделирования размера страховых требований ^[34] и количества осадков. ^[35] Это означает, что совокупные страховые требования и количество осадков, накопленных в водохранилище, моделируются гамма-процессом — подобно тому, как экспоненциальное распределение генерирует процесс Пуассона .

Гамма-распределение также используется для моделирования ошибок в многоуровневых моделях регрессии Пуассона, поскольку смесь распределений Пуассона с гамма-распределенными коэффициентами имеет известную замкнутую форму распределения, называемую отрицательным биномиальным .

В беспроводной связи гамма-распределение используется для моделирования многолучевого затухания мощности сигнала; ^{[ необходима ссылка ]} см. также распределение Рэлея и распределение Райса .

В онкологии возрастное распределение заболеваемости раком часто следует гамма-распределению, где параметры формы и масштаба предсказывают, соответственно, количество драйверных событий и временной интервал между ними. ^{[36] [37]}

В нейронауке гамма-распределение часто используется для описания распределения интервалов между импульсами . ^{[38] [39]}

В бактериальной генной экспрессии число копий конститутивно экспрессируемого белка часто следует гамма-распределению, где параметр масштаба и формы представляет собой, соответственно, среднее число всплесков за клеточный цикл и среднее число молекул белка, продуцируемых одной мРНК в течение ее жизни. ^[40]

В геномике гамма-распределение применялось на этапе распознавания пиков (т. е. при распознавании сигнала) при анализе данных ChIP-chip ^[41] и ChIP-seq ^{[42] .}

В байесовской статистике гамма-распределение широко используется в качестве сопряженного априорного распределения . Это сопряженное априорное распределение для точности (т.е. обратное дисперсии) нормального распределения . Это также сопряженное априорное распределение для экспоненциального распределения .

В филогенетике гамма-распределение является наиболее часто используемым подходом к моделированию вариации скорости между сайтами ^[43], когда для оценки филогенетических деревьев используются методы максимального правдоподобия , байесовские или матричные методы расстояний . Филогенетические анализы, которые используют гамма-распределение для моделирования вариации скорости, оценивают один параметр из данных, поскольку они ограничивают рассмотрение распределениями, где α = β . Эта параметризация означает, что среднее значение этого распределения равно 1, а дисперсия равна 1/ α . Методы максимального правдоподобия и байесовские методы обычно используют дискретное приближение к непрерывному гамма-распределению. ^{[44] [45]}

Генерация случайных величин

Учитывая свойство масштабирования, описанное выше, достаточно сгенерировать гамма-переменные с θ = 1 , поскольку впоследствии мы сможем преобразовать их в любое значение β простым делением.

Предположим, мы хотим сгенерировать случайные величины из Gamma( n + δ , 1) , где n — неотрицательное целое число и 0 < δ < 1. Используя тот факт, что распределение Gamma(1, 1) совпадает с распределением Exp(1) , и учитывая метод генерации экспоненциальных величин , мы приходим к выводу, что если U равномерно распределено на (0, 1], то −ln U распределено Gamma(1, 1) (т. е. выборка обратного преобразования ). Теперь, используя свойство « α -сложения» гамма-распределения, мы расширяем этот результат:

${\displaystyle -\sum _{k=1}^{n}\ln U_{k}\sim \Gamma (n,1)}$

где U _k все равномерно распределены на (0, 1] и независимы . Теперь осталось только сгенерировать переменную, распределенную как Gamma( δ , 1) для 0 < δ < 1 , и еще раз применить свойство « α -сложения». Это самая сложная часть.

Случайная генерация гамма-вариаций подробно обсуждается Девроем ^{[46] : 401–428,} отмечая, что ни один из них не является равномерно быстрым для всех параметров формы. Для малых значений параметра формы алгоритмы часто недействительны. ^{[46] : 406} Для произвольных значений параметра формы можно применить модифицированный метод принятия-отклонения Аренса и Дитера ^{[47] Алгоритм GD (форма} k ≥ 1 ) или метод преобразования ^[48] при 0 < k < 1. Также см. Алгоритм Ченга и Феста GKM 3 ^[49] или метод сжатия Марсальи. ^[50]

Ниже приведена версия метода принятия-отклонения Аренса-Дитера : ^[47]

1. Сгенерировать U , V и W как независимые равномерные (0, 1] переменные.
2. Если то и . В противном случае и . ${\displaystyle U\leq {\frac {e}{e+\delta }}}$ ${\displaystyle \xi =V^{1/\delta }}$ ${\displaystyle \eta =W\xi ^{\delta -1}}$ ${\displaystyle \xi =1-\ln V}$ ${\displaystyle \eta =We^{-\xi }}$
3. Если , то перейдите к шагу 1. ${\displaystyle \eta >\xi ^{\delta -1}e^{-\xi }}$
4. ξ распределяется как Γ( δ , 1) .

Резюме этого таково:

${\displaystyle \theta \left(\xi -\sum _{i=1}^{\lfloor k\rfloor }\ln U_{i}\right)\sim \Gamma (k,\theta )}$

где — целая часть k , ξ генерируется с помощью алгоритма выше с δ = { k } (дробная часть k ), а U _k все независимы. ${\displaystyle \scriptstyle \lfloor k\rfloor }$

Хотя вышеприведенный подход технически корректен, Деврой отмечает, что он линеен по значению k и, как правило, не является хорошим выбором. Вместо этого он рекомендует использовать либо методы, основанные на отбраковке, либо методы, основанные на таблицах, в зависимости от контекста. ^{[46] : 401–428}

Например, простой метод преобразования-отбрасывания Марсальи, основанный на одной нормальной переменной X и одной однородной переменной U : ^[25]

1. Установите и . ${\displaystyle d=a-{\frac {1}{3}}}$ ${\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {9d}}}}$
2. Набор . ${\displaystyle v=(1+cX)^{3}}$
3. Если и вернуть , иначе вернуться к шагу 2. ${\displaystyle v>0}$ ${\displaystyle \ln U<{\frac {X^{2}}{2}}+d-dv+d\ln v}$ ${\displaystyle dv}$

С генерирует гамма-распределенное случайное число во времени, которое приблизительно постоянно с k . Скорость принятия зависит от k , с частотой принятия 0,95, 0,98 и 0,99 для k=1, 2 и 4. Для k < 1 можно использовать для повышения k , чтобы этот метод можно было использовать. ${\displaystyle 1\leq a=\alpha =k}$ ${\displaystyle \gamma _{\alpha }=\gamma _{1+\alpha }U^{1/\alpha }}$

В Matlab числа можно генерировать с помощью функции gamrnd(), которая использует представление k, θ.

Ссылки

1. "Гамма-распределение | Вероятность, Статистика, Распределение | Britannica". www.britannica.com . Архивировано из оригинала 2024-05-19 . Получено 2024-10-09 .
2. Weisstein, Eric W. "Gamma Distribution". mathworld.wolfram.com . Архивировано из оригинала 2024-05-28 . Получено 2024-10-09 .
3. "Гамма-распределение | Гамма-функция | Свойства | PDF". www.probabilitycourse.com . Архивировано из оригинала 2024-06-13 . Получено 2024-10-09 .
4. "4.5: Экспоненциальное и гамма-распределение". Статистика LibreTexts . 2019-03-11 . Получено 2024-10-10 .
5. Park, Sung Y.; Bera, Anil K. (2009). "Модель условной гетероскедастичности с максимальной энтропией" (PDF) . Journal of Econometrics . 150 (2): 219–230. CiteSeerX 10.1.1.511.9750 . doi :10.1016/j.jeconom.2008.12.014. Архивировано из оригинала (PDF) 2016-03-07 . Получено 2011-06-02 . 
6. Хогг, Р. В .; Крейг, А. Т. (1978). Введение в математическую статистику (4-е изд.). Нью-Йорк: Macmillan. стр. Примечание 3.3.1. ISBN 0023557109.
7. Гопалан, Прем; Хофман, Джейк М.; Блей, Дэвид М. (2013). «Масштабируемая рекомендация с пуассоновской факторизацией». arXiv : 1311.1704 [cs.IR].
8. Papoulis, Pillai, Вероятность, случайные величины и стохастические процессы , четвертое издание
9. Джисен Чен, Герман Рубин, Границы разницы между медианой и средним значением гамма-распределения и распределения Пуассона, Statistics & Probability Letters, том 4, выпуск 6, октябрь 1986 г., страницы 281–283, ISSN  0167-7152, [1] Архивировано 09.10.2024 на Wayback Machine .
10. Чой, К. П. «О медианах гамма-распределений и уравнении Рамануджана». Архивировано 23 января 2021 г. на Wayback Machine , Труды Американского математического общества, т. 121, № 1 (май 1994 г.), стр. 245–251.
11. Berg, Christian & Pedersen, Henrik L. (март 2006 г.). «Гипотеза Чена–Рубина в непрерывной обстановке» (PDF) . Methods and Applications of Analysis . 13 (1): 63–88. doi : 10.4310/MAA.2006.v13.n1.a4 . S2CID  6704865. Архивировано (PDF) из оригинала 16 января 2021 г. . Получено 1 апреля 2020 г. .
12. Берг, Кристиан и Педерсен, Хенрик Л. «Выпуклость медианы в гамма-распределении». Архивировано 26 мая 2023 г. на Wayback Machine .
13. Gaunt, Robert E. и Milan Merkle (2021). «О границах для моды и медианы обобщенных гиперболических и родственных распределений». Journal of Mathematical Analysis and Applications . 493 (1): 124508. arXiv : 2002.01884 . doi :10.1016/j.jmaa.2020.124508. S2CID  221103640.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
14. Lyon, Richard F. (13 мая 2021 г.). «О плотных границах и приближениях в замкнутой форме для медианы гамма-распределения». PLOS One . 16 (5): e0251626. arXiv : 2011.04060 . Bibcode :2021PLoSO..1651626L. doi : 10.1371/journal.pone.0251626 . PMC 8118309 . PMID  33984053. 
15. Lyon, Richard F. (13 мая 2021 г.). «Жесткие границы для медианы гамма-распределения». PLOS One . 18 (9): e0288601. doi : 10.1371/journal.pone.0288601 . PMC 10490949. PMID  37682854 . 
16. Mathai, AM (1982). «Вместимость плотины с входами гамма-типа». Annals of the Institute of Statistical Mathematics . 34 (3): 591–597. doi :10.1007/BF02481056. ISSN  0020-3157. S2CID  122537756.
17. Moschopoulos, PG (1985). «Распределение суммы независимых гамма-случайных величин». Annals of the Institute of Statistical Mathematics . 37 (3): 541–544. doi :10.1007/BF02481123. S2CID  120066454.
18. Пенни, У. Д. «KL-расхождения нормальных, гамма-, Дирихле- и Уишартовских плотностей».
19. «ExpGammaDistribution — Документация по языку Wolfram».
20. "scipy.stats.loggamma — Руководство SciPy v1.8.0". docs.scipy.org .
21. Sun, Jingchao; Kong, Maiying; Pal, Subhadip (22 июня 2021 г.). «Модифицированное полунормальное распределение: свойства и эффективная схема выборки» (PDF) . Communications in Statistics - Theory and Methods . 52 (5): 1591–1613. doi :10.1080/03610926.2021.1934700. ISSN  0361-0926. S2CID  237919587 . Получено 2 сентября 2022 г. .
22. Дубей, Сатья Д. (декабрь 1970 г.). «Составные гамма-, бета- и F-распределения». Метрика . 16 : 27–31. doi :10.1007/BF02613934. S2CID  123366328.
23. Минка, Томас П. (2002). «Оценка гамма-распределения» (PDF) .
24. Чой, С. К.; Ветте, Р. (1969). «Оценка максимального правдоподобия параметров гамма-распределения и их смещения». Технометрика . 11 (4): 683–690. doi :10.1080/00401706.1969.10490731.
25. Marsaglia, G.; Tsang, WW (2000). "Простой метод генерации гамма-переменных". ACM Transactions on Mathematical Software . 26 (3): 363–372. doi :10.1145/358407.358414. S2CID  2634158.
26. Ye, Zhi-Sheng; Chen, Nan (2017). "Closed-Form Estimators for the Gamma Distribution Derived from Likelihood Equations" . The American Statistician . 71 (2): 177–181. doi :10.1080/00031305.2016.1209129. S2CID  124682698. Архивировано из оригинала 2023-05-26 . Получено 2019-07-27 .
27. Louzada, Francisco; Ramos, Pedro L.; Ramos, Eduardo (2019). "A Note on Bias of Closed-Form Estimators for the Gamma Distribution Derived from Likelihood Equations" . The American Statistician . 73 (2): 195–199. doi :10.1080/00031305.2018.1513376. S2CID  126086375. Архивировано из оригинала 26.05.2023 . Получено 27.07.2019 .
28. Финк, Д. 1995 Сборник сопряженных априорных вероятностей. Отчет о ходе работы: Расширение и улучшение методов установления целей качества данных. (Контракт DOE 95‑831).
29. Джессика., Шайнер, Сэмюэл М., 1956- Гуревич (2001). "13. Анализ времени отказа". Разработка и анализ экологических экспериментов. Oxford University Press. ISBN 0-19-513187-8. OCLC  43694448. Архивировано из оригинала 2024-10-09 . Получено 2022-05-26 .{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)
30. Голубев, А. (март 2016 г.). «Применение и последствия экспоненциально модифицированного гамма-распределения как модели для временных изменчивостей, связанных с пролиферацией клеток и экспрессией генов» . Журнал теоретической биологии . 393 : 203–217. Bibcode : 2016JThBi.393..203G. doi : 10.1016/j.jtbi.2015.12.027. ISSN  0022-5193. PMID  26780652. Архивировано из оригинала 2024-10-09 . Получено 2022-05-26 .
31. Пун, Арт; Дэвис, Брэдли Х; Чао, Лин (2005-07-01). «Собиратель купонов и мутация супрессора». Genetics . 170 (3): 1323–1332. doi :10.1534/genetics.104.037259. ISSN  1943-2631. PMC 1451182 . PMID  15879511. Архивировано из оригинала 2024-10-09 . Получено 2022-05-26 . 
32. Vineyard, Michael; Amoako-Gyampah, Kwasi; Meredith, Jack R (июль 1999 г.). "Failure rate distributions for Flexible manufacturing systems: An empirical study" . European Journal of Operational Research . 116 (1): 139–155. doi :10.1016/s0377-2217(98)00096-4. ISSN  0377-2217. Архивировано из оригинала 2024-10-09 . Получено 2022-05-26 .
33. Риф, Маттиас; Рок, Рональд С.; Мехта, Амит Д.; Мусекер, Марк С.; Чейни, Ричард Э.; Спудич, Джеймс А. (2000-08-15). «Кинетика шагового движения миозина-V: молекулярная модель процессивности». Труды Национальной академии наук . 97 (17): 9482–9486. Bibcode : 2000PNAS...97.9482R. doi : 10.1073/pnas.97.17.9482 . ISSN  0027-8424. PMC 16890. PMID 10944217  . 
34. стр. 43, Филип Дж. Боланд, Статистические и вероятностные методы в актуарной науке, Chapman & Hall CRC 2007
35. Уилкс, Дэниел С. (1990). «Оценка максимального правдоподобия для гамма-распределения с использованием данных, содержащих нули». Журнал климата . 3 (12): 1495–1501. Bibcode : 1990JCli....3.1495W. doi : 10.1175/1520-0442(1990)003<1495:MLEFTG>2.0.CO;2 . ISSN  0894-8755. JSTOR  26196366.
36. Беликов, Алексей В. (22 сентября 2017 г.). «Количество ключевых канцерогенных событий можно предсказать по заболеваемости раком». Scientific Reports . 7 (1): 12170. Bibcode :2017NatSR...712170B. doi :10.1038/s41598-017-12448-7. PMC 5610194 . PMID  28939880. 
37. Беликов, Алексей В.; Вяткин, Алексей; Леонов, Сергей В. (2021-08-06). «Распределение Эрланга аппроксимирует возрастное распределение заболеваемости раком в детском и молодом возрасте». PeerJ . 9 : e11976. doi : 10.7717/peerj.11976 . ISSN  2167-8359. PMC 8351573 . PMID  34434669. 
38. JG Robson и JB Troy, «Природа поддерживаемого разряда Q, X и Y ганглиозных клеток сетчатки кошки», J. Opt. Soc. Am. A 4, 2301–2307 (1987)
39. MCM Wright, IM Winter, JJ Forster, S. Bleeck «Реакция на высокочастотные тональные импульсы в вентральном кохлеарном ядре регулируется упорядоченной статистикой межспайковых интервалов», Hearing Research 317 (2014)
40. Н. Фридман, Л. Цай и XS Xie (2006) «Связь стохастической динамики с распределением популяции: аналитическая структура экспрессии генов», Phys. Rev. Lett. 97, 168302.
41. DJ Reiss, MT Facciotti и NS Baliga (2008) «Модельная деконволюция связывания ДНК по всему геному», Биоинформатика , 24, 396–403
42. MA Mendoza-Parra, M Nowicka, W Van Gool, H Gronemeyer (2013) «Характеристика паттернов связывания ChIP-seq с помощью деконволюции формы пика на основе модели» Архивировано 09.10.2024 в Wayback Machine , BMC Genomics , 14:834
43. Yang, Ziheng (сентябрь 1996 г.). «Изменчивость скорости между сайтами и ее влияние на филогенетический анализ». Trends in Ecology & Evolution . 11 (9): 367–372. Bibcode : 1996TEcoE..11..367Y. CiteSeerX 10.1.1.19.99 . doi : 10.1016/0169-5347(96)10041-0. PMID  21237881. Архивировано из оригинала 2024-04-12 . Получено 2023-09-06 . 
44. Yang, Ziheng (сентябрь 1994 г.). «Максимальная вероятность филогенетической оценки последовательностей ДНК с переменными скоростями по сайтам: приблизительные методы». Journal of Molecular Evolution . 39 (3): 306–314. Bibcode :1994JMolE..39..306Y. CiteSeerX 10.1.1.19.6626 . doi :10.1007/BF00160154. ISSN  0022-2844. PMID  7932792. S2CID  17911050. Архивировано из оригинала 2024-10-09 . Получено 2023-09-06 . 
45. Фельзенштейн, Джозеф (2001-10-01). «Учет вариаций эволюционных скоростей между участками при выводе филогений» . Журнал молекулярной эволюции . 53 (4–5): 447–455. Bibcode :2001JMolE..53..447F. doi :10.1007/s002390010234. ISSN  0022-2844. PMID  11675604. S2CID  9791493. Архивировано из оригинала 2024-10-09 . Получено 2023-09-06 .
46. Деврой, Люк (1986). Генерация неравномерных случайных величин. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-96305-1. Архивировано из оригинала 2012-07-17 . Получено 2012-02-26 .См. Главу 9, Раздел 3.
47. Ahrens, JH; Dieter, U (январь 1982). «Генерация гамма-вариаций с помощью модифицированной техники отбрасывания». Communications of the ACM . 25 (1): 47–54. doi : 10.1145/358315.358390 . S2CID  15128188.. См. Алгоритм GD, стр. 53.
48. Аренс, Дж. Х.; Дитер, У. (1974). «Компьютерные методы выборки из гамма-, бета-, пуассоновского и биномиального распределений». Computing . 12 (3): 223–246. CiteSeerX 10.1.1.93.3828 . doi :10.1007/BF02293108. S2CID  37484126. 
49. Cheng, RCH; Feast, GM (1979). "Some Simple Gamma Variate Generators" . Журнал Королевского статистического общества. Серия C (Прикладная статистика) . 28 (3): 290–295. doi :10.2307/2347200. JSTOR  2347200.
50. Марсалья, Г. Метод сжатия для генерации гамма-переменных. Comput, Math. Appl. 3 (1977), 321–325.

Внешние ссылки

• «Гамма-распределение», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Гамма-распределение». Математический мир .
• ModelAssist (2017) Использование гамма-распределения в моделировании риска, включая прикладные примеры в Excel. Архивировано 09.05.2017 на Wayback Machine .
• Справочник по инженерной статистике