Гамма-процесс

Гамма-процесс , также известный как (Моран-)гамма-процесс, ^[1] представляет собой случайный процесс , изучаемый в математике , статистике , теории вероятностей и стохастике . Гамма-процесс — это стохастический или случайный процесс , состоящий из независимо распределенных гамма-распределений , где представляет собой количество появлений событий от момента времени 0 до момента времени . Гамма - распределение имеет параметр масштаба и параметр формы , часто записываемый как . ^[1] Оба значения и должны быть больше 0. Гамма-процесс часто записывается так: где представляет собой время от 0. Этот процесс представляет собой скачкообразный возрастающий процесс Леви с мерой интенсивности для всех положительных значений . Таким образом, скачки, размер которых лежит в интервале, происходят как процесс Пуассона с интенсивностью. Параметр контролирует скорость появления скачков, а параметр масштабирования обратно контролирует размер скачка. Предполагается, что процесс начинается со значения 0 при  t  = 0, что означает .   ${\displaystyle N(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Gamma (\gamma ,\lambda )}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Gamma (t,\gamma ,\lambda )}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \nu (x)=\gamma x^{-1}\exp(-\lambda x),}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [x,x+dx)}$ ${\displaystyle \nu (x)\,dx.}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle N(0)=0}$

Гамма-процесс иногда также параметризуется с точки зрения среднего ( ) и дисперсии ( ) увеличения в единицу времени, что эквивалентно и . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \gamma =\mu ^{2}/v}$ ${\displaystyle \lambda =\mu /v}$

Простое английское определение

Гамма -процесс — это процесс, который измеряет количество появлений независимых переменных с гамма-распределением за определенный промежуток времени . На изображении ниже показаны два разных гамма-процесса, включенных с момента 0 до момента 4. Красный процесс встречается чаще во временном интервале по сравнению с синим процессом, поскольку его параметр формы больше, чем синий параметр формы.

Характеристики

В этих свойствах мы используем гамма-функцию , поэтому читатель должен различать (гамма-функцию) и (гамма-процесс). Иногда мы будем сокращать этот процесс как . ${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$ ${\displaystyle \Gamma (t;\gamma ,\lambda )}$ ${\displaystyle X_{t}\equiv \Gamma (t;\gamma ,\lambda )}$

^{Некоторые основные} свойства гамма-процесса ^:

Маргинальное распределение

Маргинальное распределение гамма-процесса во времени представляет собой гамма-распределение со средним значением и дисперсией. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \gamma t/\lambda }$ ${\displaystyle \gamma t/\lambda ^{2}.}$

То есть распределение вероятностей случайной величины задается плотностью ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X_{t}}$

$${\displaystyle f(x;t,\gamma ,\lambda )={\frac {\lambda ^{\gamma t}}{\Gamma (\gamma t)}}x^{\gamma t\,-\,1}e^{-\lambda x}.}$$

Масштабирование

Умножение гамма-процесса на скалярную константу снова представляет собой гамма-процесс с другой средней скоростью роста. ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha \Gamma (t;\gamma ,\lambda )\simeq \Gamma (t;\gamma ,\lambda /\alpha )}$

Добавление независимых процессов

Сумма двух независимых гамма-процессов снова является гамма-процессом.

${\displaystyle \Gamma (t;\gamma _{1},\lambda )+\Gamma (t;\gamma _{2},\lambda )\simeq \Gamma (t;\gamma _{1}+\gamma _{2},\lambda )}$

Моменты

Функция момента помогает математикам находить ожидаемые значения, дисперсии, асимметрию и эксцесс.

${\displaystyle \operatorname {E} (X_{t}^{n})=\lambda ^{-n}\cdot {\frac {\Gamma (\gamma t+n)}{\Gamma (\gamma t)}},\ \quad n\geq 0,}$ где гамма - функция . ${\displaystyle \Gamma (z)}$

Функция генерации момента

Генерирующая функция момента — это ожидаемое значение, где X — случайная величина . ${\displaystyle \exp(tX)}$

${\displaystyle \operatorname {E} {\Big (}\exp(\theta X_{t}){\Big )}=\left(1-{\frac {\theta }{\lambda }}\right)^{-\gamma t},\ \quad \theta <\lambda }$

Корреляция

Корреляция отображает статистическую связь между любыми двумя гамма-процессами.

${\displaystyle \operatorname {Corr} (X_{s},X_{t})={\sqrt {\frac {s}{t}}},\ s<t}$, для любого гамма-процесса ${\displaystyle X(t).}$

Гамма-процесс используется в качестве распределения случайных изменений во времени в дисперсионном гамма-процессе .

Литература

• Процессы Леви и стохастическое исчисление Дэвида Эпплбаума, CUP 2004, ISBN  0-521-83263-2 .

Рекомендации

1. Кленке, Ахим, изд. (2008), «Процесс точки Пуассона», Теория вероятностей: комплексный курс , Лондон: Springer, стр. 525–542, doi : 10.1007/978-1-84800-048-3_24, ISBN 978-1-84800-048-3, получено 4 апреля 2023 г.