эффект Оберта

Тип маневра космического корабля

В космонавтике , пролёт с двигателем , или манёвр Оберта , представляет собой манёвр, при котором космический корабль падает в гравитационный колодец , а затем использует свои двигатели для дальнейшего ускорения по мере падения, тем самым достигая дополнительной скорости. ^[1] Результирующий манёвр является более эффективным способом получения кинетической энергии , чем применение того же импульса за пределами гравитационного колодца. Увеличение эффективности объясняется эффектом Оберта , при котором использование реактивного двигателя на более высоких скоростях создаёт большее изменение механической энергии, чем его использование на более низких скоростях. С практической точки зрения это означает, что наиболее энергоэффективным методом сжигания топлива космическим аппаратом является его сжигание на минимально возможном орбитальном перицентре , когда его орбитальная скорость (и, следовательно, его кинетическая энергия) максимальны. ^[1] В некоторых случаях даже стоит тратить топливо на замедление космического аппарата в гравитационном колодце, чтобы воспользоваться эффективностью эффекта Оберта. ^[1] Маневр и эффект названы в честь человека, впервые описавшего их в 1927 году, Германа Оберта , трансильванского саксонского физика и основателя современной ракетной техники . ^[2]

Поскольку транспортное средство остается вблизи перицентра только в течение короткого времени, для того, чтобы маневр Оберта был наиболее эффективным, транспортное средство должно быть способно генерировать как можно больше импульса за кратчайшее время. В результате маневр Оберта гораздо более полезен для ракетных двигателей с высокой тягой, таких как ракеты на жидком топливе , и менее полезен для реактивных двигателей с низкой тягой, таких как ионные двигатели , которым требуется много времени для набора скорости. Ракеты с низкой тягой могут использовать эффект Оберта, разделяя длинный стартовый импульс на несколько коротких импульсов вблизи перицентра. Эффект Оберта также можно использовать для понимания поведения многоступенчатых ракет : верхняя ступень может генерировать гораздо больше полезной кинетической энергии, чем общая химическая энергия топлива, которое она несет. ^[2]

С точки зрения задействованной энергии эффект Оберта более эффективен на более высоких скоростях, поскольку на высокой скорости топливо имеет значительную кинетическую энергию в дополнение к своей химической потенциальной энергии. ^{[2] : 204} На более высокой скорости транспортное средство может использовать большее изменение (уменьшение) кинетической энергии топлива (поскольку оно выбрасывается назад и, следовательно, на меньшей скорости и, следовательно, с меньшей кинетической энергией) для создания большего увеличения кинетической энергии транспортного средства. ^{[2] : 204}

Объяснение в терминах работы и кинетической энергии

Поскольку кинетическая энергия равна mv ² /2, это изменение скорости дает большее увеличение кинетической энергии при высокой скорости, чем при низкой скорости. Например, если рассмотреть ракету весом 2 кг:

• при скорости 1 м/с ракета начинает с 1 ² = 1 Дж кинетической энергии. Добавление 1 м/с увеличивает кинетическую энергию до 2 ² = 4 Дж, то есть выигрыш составляет 3 Дж;
• При скорости 10 м/с ракета стартует с 10 ² = 100 Дж кинетической энергии. Добавление 1 м/с увеличивает кинетическую энергию до 11 ² = 121 Дж, то есть выигрыш составляет 21 Дж.

Это большее изменение кинетической энергии может затем поднять ракету выше в гравитационном колодце, чем если бы топливо сжигалось с меньшей скоростью.

Описание с точки зрения работы

Тяга, создаваемая ракетным двигателем, не зависит от скорости ракеты относительно окружающей атмосферы. Ракета, действующая на неподвижный объект, как при статическом запуске, не производит полезной работы над ракетой; химическая энергия ракеты постепенно преобразуется в кинетическую энергию выхлопа плюс тепло. Но когда ракета движется, ее тяга действует на протяжении всего расстояния, которое она проходит. Сила, умноженная на смещение, является определением механической работы . Чем больше скорость ракеты и полезной нагрузки во время сгорания, тем больше смещение и выполненная работа, и тем больше увеличение кинетической энергии ракеты и ее полезной нагрузки. По мере увеличения скорости ракеты все больше доступной кинетической энергии переходит в ракету и ее полезную нагрузку и меньше в выхлоп.

Это показано следующим образом. Механическая работа, совершаемая над ракетой ( ), ${\displaystyle W}$ определяется как скалярное произведение силы тяги двигателя ( ) ${\displaystyle {\vec {F}}}$ и перемещения, которое он совершает во время горения ( ): ${\displaystyle {\vec {s}}}$

${\displaystyle W={\vec {F}}\cdot {\vec {s}}.}$

Если горение производится в прямом направлении, то работа приводит к изменению кинетической энергии. ${\displaystyle {\vec {F}}\cdot {\vec {s}}=\|F\|\cdot \|s\|=F\cdot s}$

${\displaystyle \Delta E_{k}=F\cdot s.}$

Дифференцируя по времени, получаем

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} E_{k}}{\mathrm {d} t}}=F\cdot {\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}},}$

или

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} E_{k}}{\mathrm {d} t}}=F\cdot v,}$

где - скорость. Разделив на мгновенную массу , чтобы выразить это через удельную энергию ( ), получим ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle e_{k}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} e_{k}}{\mathrm {d} t}}={\frac {F}{m}}\cdot v=a\cdot v,}$

где - вектор ускорения . ${\displaystyle a}$

Таким образом, можно легко увидеть, что скорость прироста удельной энергии каждой части ракеты пропорциональна скорости, и, учитывая это, уравнение можно проинтегрировать ( численно или иным образом), чтобы вычислить общее увеличение удельной энергии ракеты.

Импульсивный ожог

Интеграция приведенного выше уравнения энергии часто не нужна, если длительность горения короткая. Короткие горения химических ракетных двигателей вблизи перицентра или в других местах обычно математически моделируются как импульсные горения, где сила двигателя доминирует над любыми другими силами, которые могут изменить энергию транспортного средства в течение горения.

Например, когда транспортное средство падает к перицентру на любой орбите (замкнутой или орбите выхода), скорость относительно центрального тела увеличивается. Кратковременное включение двигателя («импульсное включение») prograde в перицентре увеличивает скорость на тот же прирост, что и в любое другое время ( ). Однако, поскольку кинетическая энергия транспортного средства связана с квадратом его скорости, это увеличение скорости оказывает нелинейное влияние на кинетическую энергию транспортного средства, оставляя его с более высокой энергией, чем если бы включение было достигнуто в любое другое время. ^[3] ${\displaystyle \Delta v}$

Расчет Оберта для параболической орбиты

Если импульсный импульс Δ v выполняется в перицентре параболической орбиты , то скорость в перицентре до импульса равна скорости убегания ( V _esc ), а удельная кинетическая энергия после импульса равна ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{k}&={\tfrac {1}{2}}V^{2}\\&={\tfrac {1}{2}}(V_{\text{esc}}+\Delta v)^{2}\\&={\tfrac {1}{2}}V_{\text{esc}}^{2}+\Delta vV_{\text{esc}}+{\tfrac {1}{2}}\Delta v^{2},\end{aligned}}}$

где . ${\displaystyle V=V_{\text{esc}}+\Delta v}$

Когда транспортное средство покидает поле тяготения, потеря удельной кинетической энергии составляет

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}V_{\text{esc}}^{2},}$

поэтому он сохраняет энергию

${\displaystyle \Delta vV_{\text{esc}}+{\tfrac {1}{2}}\Delta v^{2},}$

что больше энергии от горения вне гравитационного поля ( ) на ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\Delta v^{2}}$

${\displaystyle \Delta vV_{\text{esc}}.}$

Когда транспортное средство покинуло гравитационный колодец, оно движется со скоростью

${\displaystyle V=\Delta v{\sqrt {1+{\frac {2V_{\text{esc}}}{\Delta v}}}}.}$

В случае, когда добавленный импульс Δ v мал по сравнению со скоростью убегания, 1 можно проигнорировать, и можно увидеть, что эффективный Δ v импульсного горения умножается просто на коэффициент

${\displaystyle {\sqrt {\frac {2V_{\text{esc}}}{\Delta v}}}}$

и один получает

${\displaystyle V}$≈ ${\displaystyle {\sqrt {{2V_{\text{esc}}}{\Delta v}}}.}$

Аналогичные эффекты наблюдаются на замкнутых и гиперболических орбитах .

Параболический пример

Если транспортное средство движется со скоростью v в начале импульса, который изменяет скорость на Δ v , то изменение удельной орбитальной энергии (SOE) из-за новой орбиты равно

${\displaystyle v\,\Delta v+{\tfrac {1}{2}}(\Delta v)^{2}.}$

Как только космический аппарат снова оказывается далеко от планеты, SOE становится полностью кинетическим, поскольку гравитационная потенциальная энергия приближается к нулю. Поэтому, чем больше v в момент сгорания, тем больше конечная кинетическая энергия и тем выше конечная скорость.

Эффект становится тем более выраженным, чем ближе к центральному телу или, в более общем плане, чем глубже потенциал гравитационного поля, в котором происходит горение, поскольку скорость там выше.

Таким образом, если космический аппарат совершает параболический пролет мимо Юпитера со скоростью перицентра 50 км/с и совершает импульс на скорости 5 км/с, то оказывается, что окончательное изменение скорости на большом расстоянии составляет 22,9 км/с, что дает увеличение импульса в 4,58 раза.

Парадокс

Может показаться, что ракета получает энергию бесплатно, что нарушает закон сохранения энергии . Однако любой прирост кинетической энергии ракеты уравновешивается относительным уменьшением кинетической энергии, остающейся в выхлопе (кинетическая энергия выхлопа может все еще увеличиваться, но не так сильно). ^{[2] : 204} Сравните это с ситуацией статического зажигания, когда скорость двигателя зафиксирована на нуле. Это означает, что его кинетическая энергия вообще не увеличивается, а вся химическая энергия, выделяемая топливом, преобразуется в кинетическую энергию выхлопа (и тепло).

На очень высоких скоростях механическая мощность, сообщаемая ракете, может превышать общую мощность, высвобождаемую при сгорании топлива; это также может показаться нарушением закона сохранения энергии. Но топливо в быстро движущейся ракете переносит энергию не только химически, но и в своей собственной кинетической энергии, которая на скоростях выше нескольких километров в секунду превышает химическую составляющую. Когда это топливо сжигается, часть этой кинетической энергии передается ракете вместе с химической энергией, высвобождаемой при сгорании. ^[5]

Эффект Оберта может, таким образом, частично компенсировать чрезвычайно низкую эффективность на ранних этапах полета ракеты, когда она движется очень медленно. Большая часть работы, выполняемой ракетой на ранних этапах полета, «вкладывается» в кинетическую энергию еще не сгоревшего топлива, часть которой они высвободят позже, когда сгорят.

Смотрите также

• Астрономический портал
• Космический портал

• Биэллиптический перенос
• Гравитационная помощь
• Эффективность тяги

Ссылки

1. Роберт Б. Адамс, Джорджия А. Ричардсон (25 июля 2010 г.). Использование двухпозиционного маневра для быстрых перемещений в Солнечной системе и за ее пределами (PDF) (Отчет). NASA . Архивировано (PDF) из оригинала 11 февраля 2022 г. Получено 15 мая 2015 г.
2. Герман Оберт (1970). «Пути космического полета». Перевод оригинала на немецкий язык "Wege zur Raumschiffahrt" (1920). Тунис, Тунис: Тунисское агентство по связям с общественностью.
3. Веб-сайт Atomic Rockets: [email protected]. Архивировано 1 июля 2007 г. на Wayback Machine
4. Согласно расчетам на rec.arts.sf.science.
5. Бланко, Филипп; Мунган, Карл (октябрь 2019 г.). «Ракетное движение, классическая теория относительности и эффект Оберта». The Physics Teacher . 57 (7): 439–441. Bibcode :2019PhTea..57..439B. doi : 10.1119/1.5126818 .

Внешние ссылки

• эффект Оберта
• Объяснение эффекта Джеффри Лэндиса .

• Ракетное движение, классическая теория относительности и эффект Оберта

• Анимация (MP4) эффекта Оберта на орбите из статьи Бланко и Мунгана, цитируемой выше.