потенциал Юкавы

Экранированный кулоновский потенциал, который экспоненциально затухает

В физике элементарных частиц , атома и конденсированного состояния потенциал Юкавы ( также называемый экранированным кулоновским потенциалом ) — потенциал, названный в честь японского физика Хидеки Юкавы . Потенциал имеет вид:

${\displaystyle V_{\text{Yukawa}}(r)=-g^{2}{\frac {e^{-\alpha mr}}{r}},}$

где - масштабная константа величины, т. е. амплитуда потенциала, m - масса частицы, r - радиальное расстояние до частицы, а α - еще одна масштабная константа, так что это приблизительный диапазон. Потенциал монотонно увеличивается по r и является отрицательным, что означает , что сила притяжения. В системе СИ единицей потенциала Юкавы является (1/метр). ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle r\approx {\tfrac {1}{\alpha m}}}$

Кулоновский потенциал электромагнетизма является примером потенциала Юкавы с коэффициентом , равным 1, везде. Это можно интерпретировать как утверждение, что масса фотона m равна 0. Фотон является переносчиком силы между взаимодействующими заряженными частицами. ${\displaystyle e^{-\alpha mr}}$

При взаимодействии мезонного поля с фермионным полем константа равна калибровочной константе связи между этими полями. В случае ядерного взаимодействия фермионами будут протон и еще один протон или нейтрон . ${\displaystyle g}$

История

До статьи Хидеки Юкавы 1935 года ^[1] физики пытались объяснить результаты атомной модели Джеймса Чедвика , которая состояла из положительно заряженных протонов и нейтронов, упакованных внутри небольшого ядра радиусом порядка 10–14 ^метров . . Физики знали, что электромагнитные силы такой длины заставят протоны отталкиваться друг от друга и ядро ​​распадется. ^[2] Так появилась мотивация для дальнейшего объяснения взаимодействий между элементарными частицами. В 1932 году Вернер Гейзенберг предложил «Platzwechsel» (миграционное) взаимодействие между нейтронами и протонами внутри ядра, в котором нейтроны представляют собой составные частицы протонов и электронов. Эти составные нейтроны испускают электроны, создавая с протонами силу притяжения, а затем сами превращаются в протоны. Когда в 1933 году на Сольвеевской конференции Гейзенберг предложил свое взаимодействие, физики подозревали, что оно может иметь одну из двух форм:

${\displaystyle J(r)=ae^{-br}\quad {\textrm {or}}\quad J(r)=ae^{-br^{2}}}$

из-за своей малой дальности. ^[3] Однако с его теорией было много проблем. А именно, невозможно, чтобы электрон со спином1/2и протон спина1/2чтобы добавить к спину нейтрона1/2. То, как Гейзенберг рассматривал эту проблему, впоследствии сформировало идеи изоспина .

Идея Гейзенберга об обменном взаимодействии (а не кулоновской силе) между частицами внутри ядра побудила Ферми сформулировать свои идеи о бета-распаде в 1934 году. ^[3] Нейтрон-протонное взаимодействие Ферми не было основано на «миграции» нейтрона и протоны между собой. Вместо этого Ферми предложил испускать и поглощать две легкие частицы: нейтрино и электрон, а не только электрон (как в теории Гейзенберга). В то время как взаимодействие Ферми решило проблему сохранения линейного и углового момента, советские физики Игорь Тамм и Дмитрий Иваненко продемонстрировали, что сила, связанная с нейтрино и эмиссией электронов, недостаточно сильна, чтобы связать протоны и нейтроны в ядре. ^[4]

В своей статье, опубликованной в феврале 1935 года, Хидеки Юкава объединяет идею короткодействующего силового взаимодействия Гейзенберга и идею Ферми об обменной частице, чтобы решить проблему нейтрон-протонного взаимодействия. Он вывел потенциал, который включает в себя член экспоненциального распада ( ) и электромагнитный член ( ). По аналогии с квантовой теорией поля Юкава знал, что потенциал и соответствующее ему поле должны быть результатом обменной частицы. В случае КЭД этой обменной частицей был фотон с массой 0. В случае Юкавы обменная частица имела некоторую массу, которая была связана с диапазоном взаимодействия (задаваемым ). Поскольку диапазон действия ядерной силы был известен, Юкава использовал свое уравнение, чтобы предсказать, что масса частицы-посредника примерно в 200 раз превышает массу электрона. Физики назвали эту частицу « мезоном », так как ее масса находилась между протоном и электроном. Мезон Юкавы был открыт в 1947 году и стал известен как пион . ^[4] ${\displaystyle e^{-\alpha mr}}$ ${\displaystyle 1/r}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{\alpha m}}}$

Связь с кулоновским потенциалом

Рисунок 1: Сравнение потенциалов Юкавы с различными значениями m . ${\displaystyle g=1}$

Рисунок 2: «Дальнее» сравнение сил потенциалов Юкавы и Кулона, где . ${\displaystyle g=1}$

Если частица не имеет массы (т. е. m = 0 ), то потенциал Юкавы сводится к кулоновскому потенциалу, и говорят, что радиус действия бесконечен. Фактически мы имеем:

${\displaystyle m=0\Rightarrow e^{-\alpha mr}=e^{0}=1.}$

Следовательно, уравнение

${\displaystyle V_{\text{Yukawa}}(r)=-g^{2}\;{\frac {e^{-\alpha mr}}{r}}}$

упрощается до формы кулоновского потенциала

${\displaystyle V_{\text{Coulomb}}(r)=-g^{2}\;{\frac {1}{r}}.}$

где мы устанавливаем константу масштабирования: ^[5]

${\displaystyle g^{2}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}}$

Сравнение силы дальнодействующего потенциала Юкавы и Кулона показано на рисунке 2. Можно видеть, что кулоновский потенциал действует на большем расстоянии, тогда как потенциал Юкавы довольно быстро приближается к нулю. Однако любой потенциал Юкавы или кулоновский потенциал отличен от нуля при любом большом r .

преобразование Фурье

Самый простой способ понять, что потенциал Юкавы связан с массивным полем, — это изучить его преобразование Фурье . Надо

${\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {-g^{2}}{(2\pi )^{3}}}\int e^{i\mathbf {k\cdot r} }{\frac {4\pi }{k^{2}+(\alpha m)^{2}}}\,\mathrm {d} ^{3}k}$

где интеграл проводится по всем возможным значениям 3-векторных импульсов k . В этой форме и при установке масштабного коэффициента равным единице дробь рассматривается как пропагатор или функция Грина уравнения Клейна-Гордона . ${\displaystyle \alpha =1}$ ${\textstyle {\frac {4\pi }{k^{2}+m^{2}}}}$

Амплитуда Фейнмана

Обмен одиночными частицами.

Потенциал Юкавы можно определить как амплитуду взаимодействия пары фермионов низшего порядка. Взаимодействие Юкавы связывает фермионное поле с мезонным полем с помощью члена связи ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \phi (x)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }(x)=g~{\overline {\psi }}(x)~\phi (x)~\psi (x)~.}$

Амплитуда рассеяния двух фермионов, одного с начальным импульсом, а другого с импульсом , обменивающихся мезоном с импульсом k , определяется диаграммой Фейнмана справа. ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle p_{2}}$

Правила Фейнмана для каждой вершины связывают коэффициент с амплитудой; поскольку эта диаграмма имеет две вершины, общая амплитуда будет иметь коэффициент . Линия посередине, соединяющая две фермионные линии, представляет собой обмен мезона. Правило Фейнмана для обмена частицами заключается в использовании пропагатора; пропагатор массивного мезона . Таким образом, мы видим, что амплитуда Фейнмана для этого графика есть не что иное, как ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g^{2}}$ ${\textstyle {\frac {-4\pi }{~k^{2}+m^{2}~}}}$

${\displaystyle V(\mathbf {k} )=-g^{2}{\frac {4\pi }{k^{2}+m^{2}}}~.}$

Из предыдущего раздела видно, что это преобразование Фурье потенциала Юкавы.

Собственные значения уравнения Шрёдингера

Радиальное уравнение Шредингера с потенциалом Юкавы можно решить пертурбативно. ^{[6] [7] [8] : гл. 16} Используя радиальное уравнение Шредингера в виде

${\displaystyle \left[{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} r^{2}}}+k^{2}-{\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}-V(r)\right]\Psi \left(\ell ,k;\,r\right)=0,}$

и потенциал Юкавы в степенной форме

${\displaystyle V(r)=\sum _{j=-1}^{\infty }M_{j+1}\,(-r)^{j},}$

и полагая , получаем для углового момента выражение ${\displaystyle K=jk}$ ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle \ell +n+1=-{\frac {\,\Delta _{n}(K)\,}{2K}}}$

для , где ${\displaystyle |K|\to \infty }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Delta _{n}(K)=M_{0}-{\frac {1}{\,2K^{2}\,}}{\Bigl [}\,n(n+1)\,M_{2}+M_{0}\,M_{1}\,{\Bigr ]}-{\frac {\,2n+1\,}{4K^{3}}}\,M_{0}\,M_{2}~+\\&\qquad \qquad \quad +{\frac {1}{\,8K^{4}\,}}\,{\Bigl [}\,3(n-1)n(n+1)(n+2)\,M_{4}+2(3n^{2}+3n-1)\,M_{3}\,M_{0}~+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad ~+~6n(n+1)\,M_{2}\,M_{1}+2\,M_{2}\,M_{0}^{2}+3M_{1}^{2}\,M_{0}\,{\Bigr ]}~+\\&\qquad \qquad \quad +{\frac {\,2n+1\,}{\,8K^{5}\,}}\,{\Bigl [}\,3(n^{2}+n-1)\,M_{4}\,M_{0}+3\,M_{3}\,M_{0}^{2}+n(n+1)\,M_{2}^{2}+4\,M_{2}\,M_{1}\,M_{0}\,{\Bigr ]}~+\\&\qquad \qquad \quad +~\operatorname {\mathcal {O}} {\Bigl (}\,{\frac {1}{\,K^{7}\,}}\,{\Bigr )}~.\end{aligned}}}$

Полагая все коэффициенты , кроме равными нулю, получаем известное выражение для собственного значения Шредингера для кулоновского потенциала, а радиальное квантовое число является целым положительным числом или нулем как следствие граничных условий, которые волновые функции кулоновского потенциала должны удовлетворить. В случае потенциала Юкавы наложение граничных условий сложнее. Таким образом, в случае Юкавы это всего лишь приближение, а параметр , который заменяет целое число n, на самом деле является асимптотическим разложением, подобным приведенному выше, с первым приближением целочисленного значения соответствующего кулоновского случая. Вышеупомянутое разложение для орбитального углового момента или траектории Редже можно обратить вспять, чтобы получить собственные значения энергии или что-то подобное . Получаем: ^[9] ${\displaystyle M_{j}}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle \,n\,}$ ${\displaystyle \nu =n}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \ell (K)}$ ${\displaystyle {\bigl |}K{\bigr |}^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\bigl |}K{\bigr |}^{2}~=~-M_{1}~+~{\frac {1}{\,4(\ell +n+1)^{2}\,}}\,{\biggl \{}\;M_{0}^{2}-4n(n+1)(\ell +n+1)^{2}\,M_{2}\,M_{0}+4(2n+1)(\ell +n+1)^{2}{\frac {M_{2}}{\;M_{0}\,}}~+\\&\quad +~4{\frac {\;(\ell +n+1)^{4}\,}{M_{0}^{3}}}\,{\Bigl [}\,3(n-1)n(n+1)(n+2+3)\,M_{4}\,M_{0}~+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -~3n^{2}(n+1)^{2}\,M_{2}^{2}+2(3n^{2}+3n-1)\,M_{3}\,M_{0}^{2}+2\,M_{2}\,M_{0}^{3}\,{\Bigr ]}~+\\&\quad -~24{\frac {\,(2n+1)(\ell +n+1)^{5}\,}{M_{0}^{4}}}\,{\Bigl [}\,(n^{2}+n-1)\,M_{0}\,M_{4}+M_{0}^{3}\,M_{3}-n(n+1)\,M_{2}^{2}\,{\Bigr ]}~+\\&\quad -~4\,{\frac {\,(\ell +n+1)^{6}\,}{M_{0}^{7}}}\,{\Bigl [}~10(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)\,M_{6}\,M_{0}^{2}~+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +~4\,M_{3}\,M_{0}^{5}+2{\Bigl (}\,5n(n+1)(3n^{2}+3n-10)+12\,{\Bigr )}\,M_{5}\,M_{0}^{3}~+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +~2(6n^{2}+6n-11)\,M_{4}\,M_{0}^{4}+2(9n^{2}+9n-1)\,M_{2}^{2}\,M_{0}^{3}~+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad -~10n(n+1)(3n^{2}+3n+2)\,M_{3}\,M_{2}\,M_{0}^{2}+20n^{3}(n+1)^{3}\,M_{2}^{3}~+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad -~30(n-1)n^{2}(n+1)^{2}(n+2)\,M_{4}\,M_{2}\,M_{0}\,{\Bigr ]}\quad +\quad \cdots {\biggr \}}\quad .\end{aligned}}}$

Вышеупомянутое асимптотическое разложение углового момента по убывающим степеням также можно получить с помощью метода ВКБ . Однако в этом случае, как и в случае с кулоновским потенциалом , выражение в центробежном члене уравнения Шредингера должно быть заменено на , как первоначально утверждал Лангер ^[10], причина в том, что сингулярность слишком сильна для неизменное применение метода ВКБ . Правильность этого рассуждения следует из вывода ВКБ правильного результата в кулоновском случае (с поправкой Лангера ), ^{[8] : 404} и даже из приведенного выше разложения в случае Юкавы с ВКБ-приближениями более высокого порядка. ^[11] ${\displaystyle \ell (K)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \ell (\ell +1)}$ ${\displaystyle \left(\ell +{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}}$

Поперечное сечение

Мы можем рассчитать дифференциальное сечение между протоном или нейтроном и пионом, используя потенциал Юкавы. Мы используем приближение Борна , которое говорит нам, что в сферически симметричном потенциале мы можем аппроксимировать исходящую рассеянную волновую функцию как сумму входящей плоской волновой функции и небольшого возмущения:

${\displaystyle \psi ({\vec {r}})\approx A\left[(e^{ipr})+{\frac {e^{ipr}}{r}}f(\theta )\right]}$

где – импульс частицы. Функция задается: ${\displaystyle {\vec {p}}=p{\hat {z}}}$ ${\displaystyle f(\theta )}$

${\displaystyle f(\theta )={\frac {-2\mu }{\hbar ^{2}\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|}}\,\int _{0}^{\infty }r\,V(r)\,\sin \left(\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|r\right)~\mathrm {d} r}$

где – исходящий рассеянный импульс частицы, а – масса входящей частицы (не путать с массой пиона). Рассчитаем , подставив : ${\displaystyle {\vec {p}}'=p{\hat {r}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle f(\theta )}$ ${\displaystyle V_{\text{Yukawa}}}$

${\displaystyle f(\theta )={\frac {2\mu }{\hbar ^{2}\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|}}\,g^{2}\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha mr}\,\sin \left(\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|\,r\right)\,\mathrm {d} r}$

Вычисление интеграла дает

${\displaystyle f(\theta )={\frac {2\mu g^{2}}{\hbar ^{2}\,\left[(\alpha m)^{2}+\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|^{2}\right]}}}$

Энергосбережение подразумевает

${\displaystyle {\bigl |}{\vec {p}}{\bigr |}={\bigl |}{\vec {p}}'{\bigr |}=p~}$

так что

${\displaystyle \left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|=2\,p\,\sin \left({\tfrac {1}{2}}\theta \right)~}$

Подключая, мы получаем:

${\displaystyle f(\theta )={\frac {2\mu g^{2}}{\hbar ^{2}\left[(\alpha m)^{2}+4\,p^{2}\,\sin ^{2}\left({{\frac {1}{2}}\theta }\right)\right]}}}$

Таким образом, мы получаем дифференциальное сечение: ^[5]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}=\left|f(\theta )\right|^{2}={\frac {4\mu ^{2}g^{4}}{\hbar ^{4}\ \left[(\alpha m)^{2}+4p^{2}\sin ^{2}\left({\frac {1}{2}}\theta \right)\right]^{2}}}}$

Интегрируя, полное сечение составит:

${\displaystyle \sigma =\int {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}\mathrm {d} \Omega ={\frac {4\mu ^{2}g^{4}}{\hbar ^{4}}}\int _{0}^{\pi }{\frac {2\pi \sin(\theta )\mathrm {d} \theta }{\left[(\alpha m)^{2}+4p^{2}\sin ^{2}\left({\frac {1}{2}}\theta \right)\right]^{2}}}={\frac {4\mu ^{2}g^{4}}{\hbar ^{4}}}{\frac {4\pi }{(\alpha m)^{2}\left[(\alpha m)^{2}+4p^{2}\right]}}}$

Смотрите также

• Юкава взаимодействие
• Экранированное уравнение Пуассона
• Бессель потенциал

Рекомендации

1. Юкава, Х. (1935). «О взаимодействии элементарных частиц». Учеб. Физ.-матем. Соц. Япония . 17:48 .
2. Линкольн, Дон (2004). Понимание Вселенной: от кварков к космосу . Сингапур: World Scientific. стр. 75–78. ISBN 978-9812387035.
3. Миллер, Артур И. (1985). «Вернер Гейзенберг и начало ядерной физики». Физика сегодня . 38 (11): 60–68. Бибкод : 1985PhT....38k..60M. дои : 10.1063/1.880993.
4. Браун, Лори М. (1986). «Хидэки Юкава и мезонная теория». Физика сегодня . 39 (12): 55–62. Бибкод : 1986PhT....39l..55B. дои : 10.1063/1.881048.
5. Гриффитс, Дэвид Дж. (2017). Введение в квантовую механику . Кембридж, Соединенное Королевство: Издательство Кембриджского университета. п. 415. ИСБН 978-1-107-17986-8.
6. Мюллер, HJW (1965). «Редже-Полюс в нихтрелативистском потенциале». Аннален дер Физик (на немецком языке). 470 (7–8): 395–411. Бибкод : 1965АнП...470..395М. дои : 10.1002/andp.19654700708.
7. Мюллер, HJW; Шильчер, К. (февраль 1968 г.). «Высокоэнергетическое рассеяние для потенциалов Юкавы». Журнал математической физики . 9 (2): 255–259. дои : 10.1063/1.1664576.
8. Мюллер-Кирстен, Харальд Дж.В. (2012). Введение в квантовую механику: уравнение Шредингера и интеграл по путям (2-е изд.). Сингапур: World Scientific. ISBN 978-9814397735.
9. Мюллер, HJW (1965). «О расчете траекторий Редже в нерелятивистском потенциальном рассеянии». Физика . 31 (5): 688–692. Бибкод : 1965Phy....31..688M. дои : 10.1016/0031-8914(65)90006-6.
10. Лангер, Рудольф Э. (1937). «О формулах связи и решениях волнового уравнения». Физический обзор . 51 (8): 669–676. Бибкод : 1937PhRv...51..669L. doi : 10.1103/PhysRev.51.669.
11. Букема, JI (1964). «Расчет траекторий Редже в теории потенциала WKB и вариационные методы». Физика . 30 (7): 1320–1325. Бибкод : 1964Phy....30.1320B. дои : 10.1016/0031-8914(64)90084-9.

Источники

• Браун, GE ; Джексон, AD (1976). Нуклон-нуклонное взаимодействие . Амстердам: Издательство Северной Голландии. ISBN 0-7204-0335-9.