Уравнение Юнга – Лапласа

Описание разницы давлений на границе раздела в механике жидкости.

В физике уравнение Юнга -Лапласа ( / l ə ˈ p l ɑː s / ) представляет собой алгебраическое уравнение, которое описывает разницу капиллярного давления , поддерживаемую на границе раздела двух статических жидкостей , таких как вода и воздух , из-за явления поверхностного натяжение или натяжение стены , хотя использование последнего применимо только в том случае, если предположить, что стена очень тонкая. Уравнение Юнга-Лапласа связывает разницу давлений с формой поверхности или стенки и имеет фундаментальное значение при исследовании статических капиллярных поверхностей . Это формулировка нормального баланса напряжений для статических жидкостей, встречающихся на границе раздела, где граница раздела рассматривается как поверхность (нулевой толщины):

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta p&=-\gamma \nabla \cdot {\hat {n}}\\&=-2\gamma H_{f}\\&=-\gamma \left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)\end{aligned}}}$$

давление Лапласаповерхностное натяжениестеночное натяжениесредняя кривизнарадиусами кривизны^[1] ${\displaystyle \Delta p}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle H_{f}}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2}}$

Уравнение названо в честь Томаса Янга , разработавшего качественную теорию поверхностного натяжения в 1805 году, и Пьера-Симона Лапласа , завершившего математическое описание в следующем году. Иногда его также называют уравнением Юнга-Лапласа-Гаусса, поскольку Карл Фридрих Гаусс объединил работы Юнга и Лапласа в 1830 году, выведя как дифференциальное уравнение, так и граничные условия, используя принципы виртуальной работы Иоганна Бернулли . ^[2]

Мыльные пленки

Если разница давлений равна нулю, как в мыльной пленке без гравитации, граница раздела примет форму минимальной поверхности .

Эмульсии

Уравнение также объясняет энергию, необходимую для создания эмульсии . Чтобы сформировать маленькие, сильно изогнутые капли эмульсии, требуется дополнительная энергия для преодоления большого давления, возникающего в результате их небольшого радиуса.

Давление Лапласа, которое выше для капель меньшего размера, вызывает диффузию молекул из самых маленьких капель в эмульсии и приводит к огрублению эмульсии за счет созревания Оствальда . ^{[ нужна цитата ]}

Капиллярное давление в трубке

Сферический мениск с углом смачивания менее 90°.

В достаточно узкой (т. е. с низким числом Бонда ) трубке круглого сечения (радиус а ) граница раздела двух жидкостей образует мениск , представляющий собой участок поверхности сферы радиуса R. Скачок давления на этой поверхности связан с радиусом и поверхностным натяжением γ соотношением

$${\displaystyle \Delta p={\frac {2\gamma }{R}}.}$$

Это можно показать, записав уравнение Юнга – Лапласа в сферической форме с граничным условием угла контакта , а также заданным граничным условием по высоте, скажем, на дне мениска. Решение представляет собой часть сферы, и решение будет существовать только для разности давлений, показанной выше. Это важно, поскольку не существует другого уравнения или закона, определяющего разницу давления; существование решения для одного конкретного значения перепада давлений предписывает это.

Радиус сферы будет функцией только угла контакта θ, который, в свою очередь, зависит от точных свойств жидкостей и материала контейнера, с которым рассматриваемые жидкости контактируют/взаимодействуют:

$${\displaystyle R={\frac {a}{\cos \theta }}}$$

так что разницу давлений можно записать как:

$${\displaystyle \Delta p={\frac {2\gamma \cos \theta }{a}}.}$$

Иллюстрация капиллярного подъема. Красный = угол контакта менее 90°; синий = угол контакта более 90°

Для поддержания гидростатического равновесия индуцированное капиллярное давление уравновешивается изменением высоты h , которое может быть положительным или отрицательным, в зависимости от того, меньше или больше 90° угол смачивания. Для жидкости плотностью ρ:

$${\displaystyle \rho gh={\frac {2\gamma \cos \theta }{a}}.}$$

gускорение свободного падениязаконом Джуринавысотой Джурина ^[3]Джеймса Джурина^[4]

Для стеклянной трубки, наполненной водой, в воздухе на уровне моря :

• γ = 0,0728 Дж/м ² при 20° С
• θ = 20° (0,35 рад )
• ρ = 1000 кг/м ³
• г = 9,8 м/с ²

и поэтому высота столба воды определяется выражением:

$${\displaystyle h\approx {{1.4\times 10^{-5}}\mathrm {m} \over a}.}$$

дюймов

Капиллярное действие в целом

В общем случае для свободной поверхности и при приложении «избыточного давления» Δ p на границе раздела в равновесии существует баланс между приложенным давлением, гидростатическим давлением и эффектами поверхностного натяжения. Уравнение Юнга – Лапласа принимает вид:

$${\displaystyle \Delta p=\rho gh-\gamma \left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)}$$

Уравнение можно обезразмерить с точки зрения его характерного масштаба, длины капилляра :

$${\displaystyle L_{c}={\sqrt {\frac {\gamma }{\rho g}}},}$$

характеристическое давление

$${\displaystyle p_{c}={\frac {\gamma }{L_{c}}}={\sqrt {\gamma \rho g}}.}$$

Для чистой воды при стандартной температуре и давлении длина капилляра составляет ~2 мм .

Тогда безразмерное уравнение принимает вид:

$${\displaystyle h^{*}-\Delta p^{*}=\left({\frac {1}{{R_{1}}^{*}}}+{\frac {1}{{R_{2}}^{*}}}\right).}$$

Таким образом, форма поверхности определяется только одним параметром — избыточным давлением жидкости Δp*, а ^{масштаб} поверхности определяется длиной капилляра . Решение уравнения требует начального условия положения и градиента поверхности в начальной точке.

Осесимметричные уравнения

(Безразмерную) форму r ( z ) осесимметричной поверхности можно найти, подставив общие выражения для главных кривизн в гидростатические уравнения Юнга – Лапласа : ^[5]

$${\displaystyle {\frac {r''}{(1+r'^{2})^{{3}/{2}}}}-{\frac {1}{r(z){\sqrt {1+r'^{2}}}}}=z-\Delta p^{*}}$$

$${\displaystyle {\frac {z''}{(1+z'^{2})^{3/2}}}+{\frac {z'}{r(1+z'^{2})^{{1}/{2}}}}=\Delta p^{*}-z(r).}$$

Применение в медицине

В медицине его часто называют законом Лапласа , используемым в контексте физиологии сердечно-сосудистой системы ^[6] , а также физиологии дыхания , хотя последнее использование часто ошибочно. ^[7]

История

Фрэнсис Хоксби выполнил некоторые из самых ранних наблюдений и экспериментов в 1709 году ^[8], а в 1718 году они были повторены Джеймсом Джурином , который заметил, что высота жидкости в капиллярной колонне является функцией только площади поперечного сечения на поверхности, а не площади поперечного сечения на поверхности. любых других размеров колонны. ^{[4] [9]}

Томас Янг заложил основы уравнения в своей статье 1804 года « Очерк сцепления жидкостей» ^[10] , где он в описательных терминах изложил принципы, управляющие контактом между жидкостями (наряду со многими другими аспектами поведения жидкостей). Пьер Симон Лаплас развил это в «Небесной механике» ^[11] с формальным математическим описанием, приведенным выше, которое воспроизвело в символических терминах взаимосвязь, описанную ранее Янгом.

Лаплас принял идею, выдвинутую Хоксби в его книге « Физико-механические эксперименты» (1709 г.), о том, что это явление возникает из-за силы притяжения, неощутимой на ощутимых расстояниях. ^{[12] [13]} Часть, которая касается действия твердого тела на жидкость и взаимного действия двух жидкостей, не была тщательно разработана, но в конечном итоге была завершена Карлом Фридрихом Гауссом . ^[14] Франц Эрнст Нойман (1798-1895) позже внес некоторые подробности. ^{[15] [9] [16]}

Рекомендации

1. Модуль поверхностного натяжения. Архивировано 27 октября 2007 г. в Wayback Machine , Джоном У.М. Бушем, в MIT OCW .
2. Роберт Финн (1999). «Капиллярные поверхностные интерфейсы» (PDF) . АМС .
3. «Правило Юрина». Словарь научно-технических терминов МакГроу-Хилла . МакГроу-Хилл на Answers.com. 2003 . Проверено 5 сентября 2007 г.
4. См.:
   • Джеймс Джурин (1718 г.) «Отчет о некоторых экспериментах, показанных перед Королевским обществом; с исследованием причин некоторого подъема и взвешивания воды в капиллярных трубках», Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 30  : 739– 747.
   • Джеймс Джурин (1719) «Отчет о некоторых новых экспериментах, касающихся воздействия стеклянных трубок на воду и ртуть», Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 30  : 1083–1096.
5. Лэмб, Х. Статика, включая гидростатику и элементы теории упругости, 3-е изд. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета, 1928.
6. Басфорд, Джеффри Р. (2002). «Закон Лапласа и его значение для современной медицины и реабилитации». Архив физической медицины и реабилитации . 83 (8): 1165–1170. doi : 10.1053/апрель.2002.33985. ПМИД  12161841.
7. Прейндж, Генри Д. (2003). «Закон Лапласа и альвеолы: неправильное представление об анатомии и неправильное применение физики». Достижения в области физиологического образования . 27 (1): 34–40. дои : 10.1152/advan.00024.2002. PMID  12594072. S2CID  7791096.
8. См.:
   • Фрэнсис Хоксби, Физико-механические эксперименты на различных предметах … (Лондон, Англия: (самоиздание автора; напечатано Р. Бругисом), 1709), страницы 139–169.
   • Фрэнсис Хоксби (1711 г.) «Отчет об эксперименте, касающемся направления капли апельсинового масла между двумя стеклянными плоскостями, к любой из их сторон, которая ближе всего прижата друг к другу», « Философские труды Лондонского королевского общества» , 27  : 374–375.
   • Фрэнсис Хоксби (1712) «Отчет об эксперименте по подъему воды между двумя стеклянными плоскостями в гиперболической фигуре», Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 27  : 539–540.
9. Максвелл, Джеймс Клерк ; Стратт, Джон Уильям (1911). "Капиллярное действие"  . Британская энциклопедия . Том. 5 (11-е изд.). стр. 256–275.
10. Томас Янг (1805) «Очерк о сцеплении жидкостей», Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 95  : 65–87.
11. Пьер Симон, маркиз де Лаплас, Traité de Mécanique Céleste , том 4, (Париж, Франция: Courcier, 1805), Supplement au dixième livre du Traité de Mécanique Céleste , страницы 1–79.
12. Пьер Симон, маркиз де Лаплас, Traité de Mécanique Céleste , том 4, (Париж, Франция: Courcier, 1805), Supplement au dixième livre du Traité de Mécanique Céleste . На странице 2 Приложения Лаплас утверждает, что капиллярное действие обусловлено «… les lois dans lesquelles l'attraction n'est sensible qu'à des distances insensibles;…» (… законы, по которым притяжение чувственно [значительно] только на неощутимых [бесконечно малых] расстояниях…).
13. В 1751 году Иоганн Андреас Зегнер пришел к тому же выводу, к которому пришел Хоксби в 1709 году: Дж. А. фон Зегнер (1751) «De figuris superficierum fluidarum» (О формах жидких поверхностей), Commentarii Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis (Мемуары королевского Научное общество в Геттингене), 1  : 301–372. На странице 303 Сегнер предполагает, что жидкости удерживаются вместе силой притяжения ( vim attractricem ), которая действует на таких коротких расстояниях, «что никто еще не мог воспринять ее своими органами чувств» (… ut nullo adhuc sensu percipi poterit. ).
14. Карл Фридрих Гаусс, Principia Generalia Theoriae Figurae Fluidorum in statu Aequilibrii [Общие принципы теории форм жидкости в состоянии равновесия] (Геттинген, (Германия): Dieterichs, 1830). Доступно в Интернете по адресу: Hathi Trust.
15. Франц Нойман с А. Вангерином, изд., Vorlesungen über die Theorie der Capillarität [Лекции по теории капиллярности] (Лейпциг, Германия: Б. Г. Тойбнер, 1894).
16. Роуз Болл, WW [1908] (2003) «Пьер Симон Лаплас (1749–1827)», в « Кратком обзоре истории математики» , 4-е изд., Дувр, ISBN 0-486-20630-0 

дальнейшее чтение

• Максвелл, Джеймс Клерк ; Стратт, Джон Уильям (1911). "Капиллярное действие"  . В Чисхолме, Хью (ред.). Британская энциклопедия . Том. 5 (11-е изд.). Издательство Кембриджского университета. стр. 256–275.
• Бэтчелор, Г.К. (1967) Введение в гидродинамику , издательство Кембриджского университета
• Юрин, Дж. (1716). «Отчет о некоторых экспериментах, показанных Королевскому обществу; с исследованием причины подъема и взвешивания воды в капиллярных трубках». Философские труды Королевского общества . 30 (351–363): 739–747. дои : 10.1098/rstl.1717.0026. S2CID  186211806.
• Тадрос Т.Ф. (1995) Поверхностно-активные вещества в агрохимикатах , серия Surfactant Science, том 54, Dekker