В математике абсолютно интегрируемая функция — это функция , абсолютное значение которой интегрируемо , что означает , что интеграл абсолютного значения по всей области конечен.
Для вещественной функции, поскольку
где
оба и должны быть конечными. В интегрировании по Лебегу это в точности требование, чтобы любая измеримая функция f считалась интегрируемой, при этом интеграл был равен , так что на самом деле «абсолютно интегрируемая» означает то же самое, что и «интегрируемая по Лебегу» для измеримых функций.
То же самое относится и к комплексной функции. Определим,
где и являются вещественной и мнимой частями . Тогда
так.
Это показывает, что сумма четырех интегралов (в середине) конечна тогда и только тогда, когда интеграл по абсолютной величине конечен, а функция интегрируема по Лебегу только в том случае, если все четыре интеграла конечны. Таким образом, наличие конечного интеграла по абсолютному значению эквивалентно условиям, при которых функция является «интегрируемой по Лебегу».
Внешние ссылки
- «Абсолютно интегрируемая функция – Математическая энциклопедия» . Проверено 9 октября 2015 г.
Рекомендации
- Тао, Теренс , Анализ 2 , 3-е изд., Тексты и материалы для чтения по математике, Книжное агентство Hindustan, Нью-Дели.