Знаковая нотация представляет числа с помощью последовательности цифр, каждая из которых представляет отдельную величину, независимо от их положения в последовательности. Знаковые нотации обычно являются аддитивными, субтрактивными или мультипликативными в зависимости от их соглашений о группировке знаков вместе для коллективного представления чисел. [1]
Хотя абсолютное значение каждого знака не зависит от его положения, значение последовательности в целом может зависеть от порядка знаков, как в числовых системах, которые сочетают аддитивную и субтрактивную запись, например, римские цифры . В знаково-значной записи нет необходимости в нуле.
Аддитивная нотация представляет числа серией цифр, которые в сумме дают значение представленного числа, подобно тому, как знаки подсчета складываются для представления большего числа. Для представления кратных значению знака один и тот же знак просто повторяется. Например, в римских цифрах X означает десять, а L означает пятьдесят, поэтому LXXX означает восемьдесят (50 + 10 + 10 + 10).
Хотя знаки могут быть записаны в обычном порядке, значение каждого знака не зависит от его места в последовательности, а изменение порядка не влияет на общее значение последовательности в аддитивной системе. Часто используемые большие числа часто выражаются с помощью уникальных символов, чтобы избежать чрезмерного повторения. Например, ацтекские цифры используют подсчет точек для чисел меньше двадцати наряду с уникальными символами для степеней двадцати, включая 400 и 8000. [1]
Субтрактивная нотация представляет числа серией цифр, в которой знаки, представляющие меньшие значения, обычно вычитаются из знаков, представляющих большие значения, чтобы получить значение представленного числа. Например, в римских цифрах I означает один, а X означает десять, поэтому IX означает девять (10 − 1). Последовательное использование субтрактивной системы с римскими цифрами не было стандартизировано до широкого распространения печатного станка в Европе. [1]
Знаковая нотация была древним способом записи чисел и лишь постепенно развилась в позиционную нотацию, также известную как позиционная нотация . Знаковая нотация использовалась по всему миру различными культурами на протяжении всей истории.
Когда древние люди хотели написать «две овцы» на глине, они могли вписать в глину изображение двух овец; однако, это было бы непрактично, когда они хотели написать «двадцать овец». В Месопотамии они использовали маленькие глиняные жетоны , чтобы представить количество определенного товара, и нанизывали жетоны, как бусины на нитку, которые использовались для учета. Был жетон для одной овцы и жетон для десяти овец, и другой жетон для десяти коз и т. д.
Чтобы гарантировать, что никто не сможет изменить количество и тип жетонов, они изобрели буллу — глиняный конверт в форме полого шара, в который на веревке помещались жетоны, а затем запекались. Если кто-то оспаривал число, они могли вскрыть глиняный конверт и пересчитать. Чтобы избежать ненужного повреждения записи, они наносили архаичные числовые знаки на внешнюю сторону конверта до его запекания, каждый знак был похож по форме на жетоны, которые они представляли. Поскольку редко возникала необходимость вскрывать конверт, знаки на внешней стороне стали первым письменным языком для записи чисел на глине с использованием знаково-значимой нотации. [2]
Первоначально использовались различные системы счета в зависимости от конкретных видов измерений. [3] Подобно счетным жетонам, ранние месопотамские протоклинописные цифры часто использовали разные знаки для подсчета или измерения разных вещей, и одинаковые знаки могли использоваться для представления разных количеств в зависимости от того, что подсчитывалось или измерялось. [4] В конечном итоге шестидесятеричная система была широко принята культурами, использующими клинопись . [3] Шестидесятеричная система знаков, используемая шумерами и аккадцами , позже превратилась в позиционную систему вавилонских клинописных цифр .