Хорда (геометрия)

Отрезок геометрической линии, конечные точки которого лежат на кривой.

Общие линии и сегменты окружности, включая хорду синего цвета.

Хорда ( от латинского chorda , что означает « тетива ») круга — это отрезок прямой , обе конечные точки которого лежат на дуге окружности . Если хорду бесконечно продолжать в обоих направлениях в прямую , то объект является секущей линией . Перпендикулярная линия, проходящая через середину хорды, называется сагиттой (от латинского «стрела»).

В более общем смысле хорда — это отрезок линии, соединяющий две точки любой кривой , например, эллипса . Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром окружности .

В кругах

Среди свойств хорд окружности можно выделить следующие:

1. Хорды ​​равноудалены от центра тогда и только тогда, когда их длины равны.
2. Равные хорды стянуты под равными углами из центра круга.
3. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром и является самой длинной хордой этой конкретной окружности.
4. Если продолжения прямых (секущие линии) хорд AB и CD пересекаются в точке P, то их длины удовлетворяют условию AP·PB = CP·PD ( теорема о мощности точки ).

В кониках

Середины множества параллельных хорд коники лежат на одной прямой ( теорема о средней точке для коник ). ^[1]

В тригонометрии

Хорды ​​широко использовались на заре развития тригонометрии . Первая известная тригонометрическая таблица, составленная Гиппархом во II веке до нашей эры, больше не сохранилась, но в ней были указаны значения функции хорды для каждых 7+1/2 градусов . Во II веке нашей эры Птолемей составил в своей книге по астрономии более обширную таблицу хорд , дающую значение хорды для углов в пределах от1/2до 180 градусов с шагом1/2степень. Птолемей использовал круг диаметром 120 и указал длину хорды с точностью до двух шестидесятеричных цифр (по основанию шестьдесят) после целой части. ^[2]

Функция хорды определяется геометрически, как показано на рисунке. Хорда угла — это длина хорды между двумя точками единичной окружности, разделенными этим центральным углом . Угол θ принимается в положительном смысле и должен лежать в интервале 0 < θ ≤ π (радианная мера). Функцию хорды можно связать с современной функцией синуса , приняв одну из точек за (1,0), а другую точку за ( cos θ , sin θ ), а затем используя теорему Пифагора для вычисления хорды длина: ^[2]

${\displaystyle \operatorname {crd} \ \theta ={\sqrt {(1-\cos \theta )^{2}+\sin ^{2}\theta }}={\sqrt {2-2\cos \theta }}=2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right).}$ ^[3]

На последнем этапе используется формула половинного угла . Подобно тому, как современная тригонометрия построена на функции синуса, древняя тригонометрия была построена на функции хорды. Предполагается, что Гиппарх написал двенадцатитомный труд об аккордах, который теперь полностью утерян, поэтому, по-видимому, о них было известно очень многое. В таблице ниже (где c — длина хорды, а D — диаметр круга) можно показать, что функция хорды удовлетворяет многим тождествам, аналогичным хорошо известным современным:

Существует и обратная функция: ^[4]

${\displaystyle \theta =2\arcsin {\frac {c}{2r}}}$

Смотрите также

• Круговой сегмент - часть сектора, оставшаяся после удаления треугольника, образованного центром круга и двумя конечными точками дуги окружности на границе.
• Гамма аккордов
• Таблица аккордов Птолемея
• Теорема Холдича для хорды, вращающейся по выпуклой замкнутой кривой.
• Круговой график
• Эксекант и эксекант
• Версинус и гаверсинус - ( ) ${\displaystyle \operatorname {crd} \theta =2{\sqrt {\operatorname {haversin} \theta }}}$
• Кривая Зиндлера (замкнутая и простая кривая, в которой все хорды, делящие длину дуги пополам, имеют одинаковую длину)
• Парадокс Бертрана (вероятность) Парадокс средней длины хорды

Рекомендации

1. Гибсон, CG (2003). «7.1 Срединные локусы». Элементарная евклидова геометрия: введение . Издательство Кембриджского университета. стр. 65–68. ISBN 9780521834483.
2. Маор, Эли (1998). Тригонометрические наслаждения . Издательство Принстонского университета. стр. 25–27. ISBN 978-0-691-15820-4.
3. Вайсштейн, Эрик В. «Круговой сегмент». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram.
4. Симпсон, Дэвид Г. (08 ноября 2001 г.). «АУКСТРИГ» (исходный код ФОРТРАН-90). Гринбелт, Мэриленд, США: Центр космических полетов имени Годдарда НАСА . Проверено 26 октября 2015 г.

Внешние ссылки

• История тригонометрии.
• Тригонометрические функции. Архивировано 10 марта 2017 г. на Wayback Machine с упором на историю.
• Хорда (окружности) С интерактивной анимацией