Стрелец (геометрия)

Визуализация сагитты

В геометрии сагитта (иногда сокращенно обозначаемая как провисание ^[1] ) дуги окружности — это расстояние от середины дуги до середины ее хорды . ^[2] Он широко используется в архитектуре при расчете дуги, необходимой для прохождения определенной высоты и расстояния, а также в оптике, где он используется для определения глубины сферического зеркала или линзы. Название происходит непосредственно от латинского sagitta , что означает « стрела ».

Формулы

В следующих уравнениях обозначает сагитту (глубину или высоту дуги), равную радиусу круга и длине хорды , охватывающей основание дуги. Поскольку и являются двумя сторонами прямоугольного треугольника с гипотенузой , теорема Пифагора дает нам ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}l}$ ${\displaystyle r-s}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle r^{2}=\left({\tfrac {1}{2}}l\right)^{2}+\left(r-s\right)^{2}.}$

Это можно переставить, чтобы получить любое из трех остальных:

${\displaystyle {\begin{aligned}s&=r-{\sqrt {r^{2}-{\tfrac {1}{4}}l^{2}}},\\[10mu]l&=2{\sqrt {2rs-s^{2}}},\\[5px]r&={\frac {s^{2}+{\tfrac {1}{4}}l^{2}}{2s}}={\frac {s}{2}}+{\frac {l^{2}}{8s}}.\end{aligned}}}$

Сагитту также можно вычислить по функции версуса для дуги, которая охватывает угол Δ = 2 θ и совпадает с версинусом для единичных кругов.

${\displaystyle s=r\operatorname {versin} \theta =r\left(1-\cos \theta \right)=2r\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}.}$

Приближение

Когда сагитта мала по сравнению с радиусом, ее можно аппроксимировать формулой ^[2]

${\displaystyle s\approx {\frac {l^{2}}{8r}}.}$

Альтернативно, если сагитта мала и известны сагитта, радиус и длина хорды, их можно использовать для оценки длины дуги по формуле

${\displaystyle a\approx l+{\frac {2s^{2}}{r}}\approx l+{\frac {8s^{2}}{3l}},}$

где а — длина дуги ; эта формула была известна китайскому математику Шэнь Го , а более точная формула ^{[ нужны разъяснения ]} , также включающая сагитту, была разработана два столетия спустя Го Шоуцзином . ^[3]

Приложения

Архитекторы, инженеры и подрядчики используют эти уравнения для создания «сплющенных» дуг, которые используются в изогнутых стенах, арочных потолках, мостах и ​​во многих других приложениях.

Сагитта также используется в физике, где она используется вместе с длиной хорды для расчета радиуса кривизны ускоренной частицы. Это особенно используется в экспериментах с пузырьковой камерой , где его используют для определения импульсов частиц распада. Точно так же исторически сагитта также используется в качестве параметра при расчете движущихся тел в центростремительной системе. Этот метод использован в «Началах» Ньютона .

Смотрите также

• Круглый сегмент
• Версина

Рекомендации

1. Шейнифелт, Тед В. «Заметки о кругах, Джонсе и Кейсе: Что такое хаковекозин?». Хило, Гавайи: Гавайский университет . Архивировано из оригинала 19 сентября 2015 г. Проверено 8 ноября 2015 г.
2. Вудворд, Эрнест (декабрь 1978 г.). Геометрия — плоское, твердое тело и аналитическое решение задач. Руководства по решению проблем для решения проблем. Ассоциация исследований и образования (REA). п. 359. ИСБН 978-0-87891-510-1.
3. Нидхэм, Ноэль Джозеф Теренс Монтгомери (1959). Наука и цивилизация в Китае: математика и науки о небе и земле. Том. 3. Издательство Кембриджского университета . п. 39. ИСБН 9780521058018.

Внешние ссылки

• Вычисление сагитты дуги