Аксиальность (геометрия)

В геометрии евклидовой плоскости аксиальность является мерой того, насколько осевая симметрия имеет форма. Она определяется как отношение площадей наибольшего аксиально-симметричного подмножества формы ко всей форме. Эквивалентно это наибольшая доля площади формы, которая может быть покрыта зеркальным отражением формы (с любой ориентацией).

Форма, которая сама по себе является осесимметричной, например, равнобедренный треугольник , будет иметь аксиальность, равную единице, тогда как асимметричная форма, например, разносторонний треугольник , будет иметь аксиальность меньше единицы.

Верхние и нижние границы

Лассак (2002) показал, что каждое выпуклое множество имеет аксиальность не менее 2/3. ^[1] Этот результат улучшил предыдущую нижнюю границу 5/8 Краковского (1963). ^[2] Лучшая известная верхняя граница дается конкретным выпуклым четырехугольником , найденным с помощью компьютерного поиска, аксиальность которого меньше 0,816. ^[3]

Для треугольников и центрально-симметричных выпуклых тел аксиальность всегда несколько выше: каждый треугольник и каждое центрально-симметричное выпуклое тело имеет аксиальность по крайней мере . В наборе тупоугольных треугольников, вершины которых имеют -координаты , , и , аксиальность приближается к пределу, когда -координаты приближаются к нулю, показывая, что нижняя граница максимально велика. Также возможно построить последовательность центрально-симметричных параллелограммов, аксиальность которых имеет тот же предел, снова показывая, что нижняя граница узкая. ^{[4] [5]} ${\displaystyle 2({\sqrt {2}}-1)\approx 0.828}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2({\sqrt {2}}-1)}$ ${\displaystyle y}$

Алгоритмы

Осевая направленность заданной выпуклой формы может быть аппроксимирована произвольно близко за сублинейное время, если к форме будут иметь доступ оракулы для нахождения крайней точки в заданном направлении и для нахождения пересечения формы с линией. ^[6]

Барекет и Роголь (2007) рассматривают задачу точного вычисления аксиальности как для выпуклых, так и для невыпуклых многоугольников. Множество всех возможных линий симметрии отражения на плоскости является (по проективной двойственности ) двумерным пространством, которое они разбивают на ячейки, внутри которых фиксируется рисунок пересечений многоугольника с его отражением, заставляя аксиальность плавно меняться внутри каждой ячейки. Таким образом, они сводят задачу к численному вычислению внутри каждой ячейки, которое они не решают явно. Разбиение плоскости на ячейки имеет ячейки в общем случае и ячейки для выпуклых многоугольников; его можно построить за время, которое больше этих границ на логарифмический множитель. Барекет и Роголь утверждают, что на практике задача максимизации площади внутри одной ячейки может быть решена за время, давая (нестрогие) общие временные границы для выпуклого случая и для общего случая. ^[7] ${\displaystyle O(n^{4})}$ ${\displaystyle O(n^{3})}$ ${\displaystyle O(n)}$ ${\displaystyle O(n^{4})}$ ${\displaystyle O(n^{5})}$

Связанные концепции

де Валькур (1966) перечисляет 11 различных мер осевой симметрии, из которых описанная здесь — третья. ^[8] Он требует, чтобы каждая такая мера была инвариантной относительно преобразований подобия заданной формы, принимала значение один для симметричных форм и принимала значение от нуля до единицы для других форм. Другие меры симметрии с этими свойствами включают отношение площади формы к ее наименьшему охватывающему симметричному надмножеству и аналогичные отношения периметров.

Лассак (2002), а также изучение аксиальности, изучает ограниченную версию аксиальности, в которой цель состоит в том, чтобы найти полупространство, пересечение которого с выпуклой формой имеет большую площадь, полностью лежащую внутри отражения формы через границу полупространства. Он показывает, что такое пересечение всегда может быть найдено с площадью, по крайней мере, 1/8 от всей формы. ^[1]

При изучении компьютерного зрения Марола (1989) предложил измерять симметрию цифрового изображения (рассматриваемого как функция от точек на плоскости до значений интенсивности оттенков серого в интервале ) путем нахождения отражения , которое максимизирует интеграл площади ^[9] ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle 0\leq w(p)\leq 1}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle {\frac {\int \int w(p)w(\sigma (p))dx\,dy}{\int \int w(p)^{2}dx\,dy}}.}$

Когда — индикаторная функция заданной формы, это то же самое, что и аксиальность. ${\displaystyle w}$

Ссылки

1. Lassak, Marek (2002), «Аппроксимация выпуклых тел осесимметричными телами», Труды Американского математического общества , 130 (10): 3075–3084 (электронный), doi : 10.1090/S0002-9939-02-06404-3 , MR  1908932. Ошибка, номер документа : 10.1090/S0002-9939-03-07225-3.
2. Краковски, Ф. (1963), "Bemerkung zu einer Arbeit von W. Nohl", Elemente der Mathematik , 18 : 60–61. Как цитирует де Валькур (1966).
3. Чой, Чанг-Юл (2006), Нахождение наибольшего вписанного осесимметричного многоугольника для выпуклого многоугольника (PDF) , магистерская диссертация, кафедра электротехники и компьютерных наук, Корейский передовой институт науки и технологий.
4. Ноль, В. (1962), "Die Internale axise Symmetrie zentrischer Eibereiche der euklidischen Ebene", Elemente der Mathematik , 17 : 59–63. Как цитирует де Валькур (1966).
5. Буда, Анджей Б.; Мислов, Курт (1991), «О мере аксиальности для треугольных областей», Elemente der Mathematik , 46 (3): 65–73, MR  1113766.
6. Ан, Хи-Кап; Брасс, Питер; Чонг, Отфрид; На, Хён-Сук; Шин, Чан-Су; Виньерон, Антуан (2006), «Вписывание аксиально-симметричного многоугольника и другие алгоритмы аппроксимации для плоских выпуклых множеств», Computational Geometry , 33 (3): 152–164, doi :10.1016/j.comgeo.2005.06.001, hdl : 10203/314 , MR  2188943.
7. Барекет, Гилл; Роголь, Вадим (2007), «Максимизация площади аксиально-симметричного многоугольника, вписанного в простой многоугольник» (PDF) , Компьютеры и графика , 31 (1): 127–136, doi :10.1016/j.cag.2006.10.006.
8. де Валькур, Б. Абель (1966), «Меры осевой симметрии для овалов», Israel Journal of Mathematics , 4 (2): 65–82, doi : 10.1007/BF02937452 , MR  0203589.
9. Марола, Джованни (1989), «Об обнаружении осей симметрии симметричных и почти симметричных плоских изображений», IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence , 11 (1): 104–108, doi :10.1109/34.23119