Аксиомы вероятности

Основы теории вероятностей

Стандартные аксиомы вероятности являются основой теории вероятностей , представленной русским математиком Андреем Колмогоровым в 1933 году. ^[1] Эти аксиомы остаются центральными и вносят прямой вклад в математику, физические науки и реальные вероятностные случаи. ^[2]

Существует несколько других (эквивалентных) подходов к формализации вероятности. Байесианцы часто мотивируют аксиомы Колмогорова, ссылаясь вместо этого на теорему Кокса или аргументы из голландской книги . ^{[3] [4]}

Аксиомы Колмогорова

Предположения относительно установления аксиом можно резюмировать следующим образом: Позвольте быть пространством меры с вероятностью некоторого события , и . Тогда это вероятностное пространство с пространством выборки , пространством событий и вероятностной мерой . ^[1] ${\displaystyle (\Omega ,F,P)}$ ${\displaystyle P(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle P(\Omega )=1}$ ${\displaystyle (\Omega ,F,P)}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle P}$

Первая аксиома

Вероятность события представляет собой неотрицательное действительное число:

${\displaystyle P(E)\in \mathbb {R} ,P(E)\geq 0\qquad \forall E\in F}$

где находится площадка для проведения мероприятий. Отсюда следует (в сочетании со второй аксиомой), что всегда конечна, в отличие от более общей теории меры . Теории, приписывающие отрицательную вероятность, ослабляют первую аксиому. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle P(E)}$

Вторая аксиома

Это предположение о единичной мере : вероятность того, что хотя бы одно из элементарных событий произойдет во всем выборочном пространстве, равна 1.

${\displaystyle P(\Omega )=1}$

Третья аксиома

Это предположение об σ-аддитивности :

Любая счетная последовательность непересекающихся множеств (синонимов взаимоисключающих событий) удовлетворяет ${\displaystyle E_{1},E_{2},\ldots }$

${\displaystyle P\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }P(E_{i}).}$

Некоторые авторы рассматривают просто конечно-аддитивные вероятностные пространства, и в этом случае нужна просто алгебра множеств , а не σ-алгебра . ^[5] Распределения квазивероятностей в целом ослабляют третью аксиому.

Последствия

Из аксиом Колмогорова можно вывести и другие полезные правила изучения вероятностей. Доказательства ^{[6] [7] [8]} этих правил представляют собой очень познавательную процедуру, которая иллюстрирует силу третьей аксиомы и ее взаимодействие с двумя предыдущими аксиомами. Четыре непосредственных следствия и их доказательства показаны ниже:

Монотонность

${\displaystyle \quad {\text{if}}\quad A\subseteq B\quad {\text{then}}\quad P(A)\leq P(B).}$

Если A является подмножеством B или равна ему, то вероятность A меньше или равна вероятности B.

Доказательство монотонности ^[6]

Для проверки свойства монотонности положим и , где и для . Из свойств пустого множества ( ) легко видеть, что множества попарно не пересекаются и . Следовательно, из третьей аксиомы получаем, что ${\displaystyle E_{1}=A}$ ${\displaystyle E_{2}=B\setminus A}$ ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle E_{i}=\varnothing }$ ${\displaystyle i\geq 3}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle E_{1}\cup E_{2}\cup \cdots =B}$

${\displaystyle P(A)+P(B\setminus A)+\sum _{i=3}^{\infty }P(E_{i})=P(B).}$

Поскольку по первой аксиоме левая часть этого уравнения представляет собой ряд неотрицательных чисел и поскольку она сходится к тому, что конечно, мы получаем и . ${\displaystyle P(B)}$ ${\displaystyle P(A)\leq P(B)}$ ${\displaystyle P(\varnothing )=0}$

Вероятность пустого множества

${\displaystyle P(\varnothing )=0.}$

Во многих случаях это не единственное событие с вероятностью 0. ${\displaystyle \varnothing }$

Доказательство вероятности пустого множества

${\displaystyle P(\varnothing \cup \varnothing )=P(\varnothing )}$с , ${\displaystyle \varnothing \cup \varnothing =\varnothing }$

${\displaystyle P(\varnothing )+P(\varnothing )=P(\varnothing )}$применив третью аксиому к левой части (нота не пересекается сама с собой), и так ${\displaystyle \varnothing }$

${\displaystyle P(\varnothing )=0}$путем вычитания из каждой части уравнения. ${\displaystyle P(\varnothing )}$

Правило дополнения

${\displaystyle P\left(A^{c}\right)=P(\Omega -A)=1-P(A)}$

Доказательство правила дополнения

Учитывая и являются взаимоисключающими, и что : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{c}}$ ${\displaystyle A\cup A^{c}=\Omega }$

${\displaystyle P(A\cup A^{c})=P(A)+P(A^{c})}$ ... (по аксиоме 3)

и, ... (по аксиоме 2) ${\displaystyle P(A\cup A^{c})=P(\Omega )=1}$

${\displaystyle \Rightarrow P(A)+P(A^{c})=1}$

${\displaystyle \therefore P(A^{c})=1-P(A)}$

Числовая граница

Из свойства монотонности непосредственно следует, что

${\displaystyle 0\leq P(E)\leq 1\qquad \forall E\in F.}$

Доказательство числовой границы

Учитывая правило дополнения и аксиому 1 : ${\displaystyle P(E^{c})=1-P(E)}$ ${\displaystyle P(E^{c})\geq 0}$

${\displaystyle 1-P(E)\geq 0}$

${\displaystyle \Rightarrow 1\geq P(E)}$

${\displaystyle \therefore 0\leq P(E)\leq 1}$

Дальнейшие последствия

Еще одним важным свойством является:

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).}$

Это называется законом сложения вероятностей или правилом сумм. То есть вероятность того, что событие в A или B произойдет , равна сумме вероятности события в A и вероятности события в B за вычетом вероятности события, которое происходит как в A , так и в B. Доказательством этого является следующее:

Во-первых,

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B\setminus A)}$ ... (по аксиоме 3)

Так,

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B\setminus (A\cap B))}$(к ). ${\displaystyle B\setminus A=B\setminus (A\cap B)}$

Также,

${\displaystyle P(B)=P(B\setminus (A\cap B))+P(A\cap B)}$

и исключение из обоих уравнений дает нам желаемый результат. ${\displaystyle P(B\setminus (A\cap B))}$

Распространением закона сложения на любое количество множеств является принцип включения-исключения .

Установка B в дополнение A ^c ​​к A в законе сложения дает

${\displaystyle P\left(A^{c}\right)=P(\Omega \setminus A)=1-P(A)}$

То есть вероятность того, что какое-либо событие не произойдет (или дополнение к событию ) равна 1 минус вероятность того, что оно произойдет.

Простой пример: подбрасывание монеты.

Рассмотрим один подбрасывание монеты и предположим, что монета выпадет либо орлом (H), либо решкой (T) (но не тем и другим). Не делается никаких предположений относительно того, честна ли монета или зависит ли какая-либо предвзятость от того, как ее подбрасывают. ^[9]

Мы можем определить:

${\displaystyle \Omega =\{H,T\}}$

${\displaystyle F=\{\varnothing ,\{H\},\{T\},\{H,T\}\}}$

Аксиомы Колмогорова предполагают, что:

${\displaystyle P(\varnothing )=0}$

Вероятность того, что выпадет ни орел , ни решка, равна 0.

${\displaystyle P(\{H,T\}^{c})=0}$

Вероятность выпадения орла или решки равна 1.

${\displaystyle P(\{H\})+P(\{T\})=1}$

Сумма вероятности выпадения орла и вероятности выпадения решки равна 1.

Смотрите также

• Борелевская алгебра  - класс математических множеств.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Условная вероятность  - Вероятность возникновения события при условии, что другое событие уже произошло.
• Полностью вероятностный дизайн
• Интуитивная статистика  - когнитивный феномен, при котором организмы используют данные для обобщений и прогнозов о мире.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Квазивероятность  . Такие объекты, как распределения вероятностей, нарушающие σ-аддитивность; полезен в вычислительной физикеPages displaying short descriptions of redirect targets
• Теория множеств  - раздел математики, изучающий множества.
• σ-алгебра  - алгебраическая структура алгебры множеств.Pages displaying short descriptions of redirect targets

Рекомендации

1. Колмогоров, Андрей (1950) [1933]. Основы теории вероятностей. Нью-Йорк, США: Издательство Челси.
2. Олдос, Дэвид. «В чем смысл аксиом Колмогорова?». Дэвид Олдос . Проверено 19 ноября 2019 г.
3. Кокс, RT (1946). «Вероятность, частота и разумные ожидания». Американский журнал физики . 14 (1): 1–10. Бибкод : 1946AmJPh..14....1C. дои : 10.1119/1.1990764.
4. Кокс, RT (1961). Алгебра вероятного вывода . Балтимор, Мэриленд: Издательство Университета Джонса Хопкинса.
5. Хайек, Алан (28 августа 2019 г.). «Интерпретации вероятности». Стэнфордская энциклопедия философии . Проверено 17 ноября 2019 г.
6. Росс, Шелдон М. (2014). Первый курс теории вероятности (Девятое изд.). Река Аппер-Сэдл, Нью-Джерси. стр. 27, 28. ISBN. 978-0-321-79477-2. ОСЛК  827003384.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
7. Джерард, Дэвид (9 декабря 2017 г.). «Доказательства из аксиом» (PDF) . Проверено 20 ноября 2019 г.
8. Джексон, Билл (2010). «Вероятность (Конспекты лекций — неделя 3)» (PDF) . Школа математики Лондонского университета Королевы Марии . Проверено 20 ноября 2019 г.
9. Диаконис, Перси; Холмс, Сьюзен; Монтгомери, Ричард (2007). «Динамическая предвзятость при подбрасывании монеты» (PDF) . Сиамское ревю . 49 (211–235): 211–235. Бибкод : 2007SIAMR..49..211D. дои : 10.1137/S0036144504446436 . Проверено 5 января 2024 г.

дальнейшее чтение

• ДеГрут, Моррис Х. (1975). Вероятность и статистика. Чтение: Аддисон-Уэсли. стр. 12–16. ISBN 0-201-01503-Х.
• МакКорд, Джеймс Р.; Морони, Ричард М. (1964). «Аксиоматическая вероятность» . Введение в теорию вероятностей . Нью-Йорк: Макмиллан. стр. 13–28.
• Формальное определение вероятности в системе Мицар и список формально доказанных о ней теорем.