Аксиома степенного множества

Понятие в аксиоматической теории множеств

Элементы множества мощности множества { x , y , z } , упорядоченные по включению .

В математике аксиома мощности множества ^[1] является одной из аксиом Цермело–Френкеля аксиоматической теории множеств . Она гарантирует для каждого множества существование множества , мощности множества , состоящего в точности из подмножеств . По аксиоме экстенсиональности множество является единственным. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)}$

Аксиома мощности множества появляется в большинстве аксиоматизаций теории множеств. Она обычно считается бесспорной, хотя конструктивная теория множеств предпочитает более слабую версию, чтобы разрешить проблемы предикативности .

Официальное заявление

Отношение подмножества не является примитивным понятием в формальной теории множеств и не используется в формальном языке аксиом Цермело–Френкеля. Скорее, отношение подмножества определяется в терминах членства множества , . Учитывая это, в формальном языке аксиом Цермело–Френкеля аксиома мощности множества гласит: ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle \in }$

${\displaystyle \forall x\,\exists y\,\forall z\,[z\in y\iff \forall w\,(w\in z\Rightarrow w\in x)]}$

где y — множество степеней x , z — любой элемент y , w — любой член z .

На английском это звучит так:

Для любого множества x существует множество y такое , что для любого множества z это множество z ​​является элементом y тогда и только тогда, когда каждый элемент z также является элементом x .

Последствия

Аксиома множества степеней допускает простое определение декартова произведения двух множеств и : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle X\times Y=\{(x,y):x\in X\land y\in Y\}.}$

Обратите внимание, что

${\displaystyle x,y\in X\cup Y}$

${\displaystyle \{x\},\{x,y\}\in {\mathcal {P}}(X\cup Y)}$

и, например, рассматривая модель, использующую упорядоченную пару Куратовского ,

${\displaystyle (x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}\in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y))}$

и, таким образом, декартово произведение является множеством, поскольку

${\displaystyle X\times Y\subseteq {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y)).}$

Декартово произведение любого конечного набора множеств можно определить рекурсивно:

${\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}=(X_{1}\times \cdots \times X_{n-1})\times X_{n}.}$

Существование декартова произведения можно доказать без использования аксиомы степенного множества, как в случае теории множеств Крипке–Платека .

Ограничения

Аксиома множества мощности не определяет, какие подмножества множества существуют, а только то, что существует множество, содержащее все те, которые существуют. ^[2] Не все мыслимые подмножества гарантированно существуют. В частности, множество мощности бесконечного множества будет содержать только «конструируемые множества», если вселенная является конструируемой вселенной , но в других моделях теории множеств ZF может содержать множества, которые не являются конструируемыми.

Ссылки

1. "Аксиома степенного множества | теория множеств | Britannica". www.britannica.com . Получено 2023-08-06 .
2. Девлин, Кит (1984). Конструктивность. Берлин: Springer-Verlag. С. 56–57. ISBN 3-540-13258-9. Получено 8 января 2023 г. .

• Пол Халмос , Наивная теория множеств . Принстон, Нью-Джерси: Компания Д. Ван Ностранда, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (издание Springer-Verlag). 
• Jech, Thomas, 2003. Теория множеств: издание третьего тысячелетия, исправленное и расширенное . Springer. ISBN 3-540-44085-2 . 
• Кунен, Кеннет, 1980. Теория множеств: Введение в доказательства независимости . Elsevier. ISBN 0-444-86839-9 . 

В данной статье использованы материалы из набора Axiom of power на PlanetMath , лицензированного по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .