Противодействие, которое система оказывает акустическому давлению
Акустический импеданс и удельный акустический импеданс являются мерами сопротивления, которое система оказывает акустическому потоку, возникающему в результате акустического давления , приложенного к системе. Единицей акустического сопротивления в системе СИ является паскаль-секунда на кубический метр (обозначение Па·с/м 3 ), или в системе МКС луч на квадратный метр (Райл/м 2 ), а удельного акустического сопротивления — паскаль . -секунда на метр (Па·с/м), или в системе МКС райл (Rayl). [1] Существует близкая аналогия с электрическим импедансом , который измеряет сопротивление, которое система оказывает электрическому току , возникающему в результате приложенного к системе напряжения .
Математические определения
Акустический импеданс
Для линейной, не зависящей от времени системы, взаимосвязь между акустическим давлением, приложенным к системе, и результирующим акустическим объемным расходом через поверхность, перпендикулярную направлению этого давления в точке приложения, определяется выражением: [ нужна ссылка ]
или эквивалентно
где
- р – акустическое давление;
- Q – акустический объемный расход;
- — оператор свертки ;
- R — акустическое сопротивление во временной области ;
- G = R −1 — акустическая проводимость во временной области ( R −1 — свертка, обратная R ).
Акустический импеданс , обозначаемый Z , представляет собой преобразование Лапласа или преобразование Фурье , или аналитическое представление акустического сопротивления во временной области : [1]
где
- – оператор преобразования Лапласа;
- – оператор преобразования Фурье;
- индекс «а» — оператор аналитического представления;
- Q −1 является сверткой, обратной Q .
Акустическое сопротивление , обозначаемое R , и акустическое реактивное сопротивление , обозначаемое X , представляют собой действительную и мнимую часть акустического импеданса соответственно: [ нужна ссылка ]
где
- я — мнимая единица ;
- в Z ( s ), R ( s ) не является преобразованием Лапласа акустического сопротивления во временной области R ( t ), Z ( s ) есть;
- в Z ( ω ), R ( ω ) не является преобразованием Фурье акустического сопротивления во временной области R ( t ), Z ( ω );
- в Z ( t ), R ( t ) — акустическое сопротивление во временной области, а X ( t ) — преобразование Гильберта акустического сопротивления во временной области R ( t ), согласно определению аналитического представления.
Индуктивное акустическое реактивное сопротивление , обозначаемое X L , и емкостное акустическое реактивное сопротивление , обозначаемое X C , являются положительной и отрицательной частью акустического реактивного сопротивления соответственно: [ нужна ссылка ]
Акустическая проводимость , обозначаемая Y , представляет собой преобразование Лапласа, или преобразование Фурье, или аналитическое представление акустической проводимости во временной области : [1]
где
- Z −1 — свертка, обратная Z ;
- p −1 — это свертка, обратная к p .
Акустическая проводимость , обозначаемая G , и акустическая восприимчивость , обозначаемая B , представляют собой действительную и мнимую часть акустической проводимости соответственно: [ нужна ссылка ]
где
- в Y ( s ), G ( s ) не является преобразованием Лапласа акустической проводимости во временной области G ( t ), Y ( s ) есть;
- в Y ( ω ), G ( ω ) не является преобразованием Фурье акустической проводимости во временной области G ( t ), Y ( ω ) является;
- в Y ( t ), G ( t ) — акустическая проводимость во временной области, а B ( t ) — преобразование Гильберта акустической проводимости во временной области G ( t ), согласно определению аналитического представления.
Акустическое сопротивление представляет собой передачу энергии акустической волны. Давление и движение находятся в фазе, поэтому работа совершается в среде впереди волны. Акустическое реактивное сопротивление представляет собой давление, которое не совпадает по фазе с движением и не вызывает средней передачи энергии. [ нужна цитата ] Например, в закрытую лампу, подключенную к органной трубе, в нее будет поступать воздух и давление, но они не в фазе, поэтому в нее не передается чистая энергия. Когда давление повышается, воздух входит, а когда он падает, он выходит, но среднее давление при входе воздуха такое же, как и при выходе, поэтому энергия течет вперед и назад, но без усредненной по времени энергии. передача. [ нужна цитата ] Еще одна электрическая аналогия — это конденсатор, подключенный к линии электропередачи: ток течет через конденсатор, но он не в фазе с напряжением, поэтому в него не передается чистая мощность .
Удельное акустическое сопротивление
Для линейной, не зависящей от времени системы, связь между звуковым давлением, приложенным к системе, и результирующей скоростью частицы в направлении этого давления в точке ее приложения определяется выражением
или эквивалентно:
где
- р – акустическое давление;
- v – скорость частицы;
- r – удельное акустическое сопротивление во временной области ;
- g = r −1 — удельная акустическая проводимость во временной области ( r −1 — свертка, обратная r ). [ нужна цитата ]
Удельный акустический импеданс , обозначаемый z , представляет собой преобразование Лапласа, или преобразование Фурье, или аналитическое представление удельного акустического сопротивления во временной области : [1]
где v −1 — свертка, обратная v .
Удельное акустическое сопротивление , обозначаемое r , и удельное акустическое реактивное сопротивление , обозначаемое x , представляют собой действительную и мнимую часть удельного акустического импеданса соответственно: [ нужна ссылка ]
где
- в z ( s ), r ( s ) не является преобразованием Лапласа удельного акустического сопротивления во временной области r ( t ), z ( s );
- в z ( ω ), r ( ω ) не является преобразованием Фурье удельного акустического сопротивления во временной области r ( t ), z ( ω );
- в z ( t ), r ( t ) — удельное акустическое сопротивление во временной области, а x ( t ) — преобразование Гильберта удельного акустического сопротивления во временной области r ( t ), согласно определению аналитического представления.
Удельное индуктивное акустическое сопротивление , обозначаемое x L , и удельное емкостное акустическое реактивное сопротивление , обозначаемое x C , являются положительной частью и отрицательной частью удельного акустического реактивного сопротивления соответственно: [ нужна ссылка ]
Удельная акустическая проводимость , обозначаемая y , представляет собой преобразование Лапласа, или преобразование Фурье, или аналитическое представление удельной акустической проводимости во временной области : [1]
где
- z −1 — свертка, обратная z ;
- p −1 — это свертка, обратная к p .
Удельная акустическая проводимость , обозначаемая g , и удельная акустическая восприимчивость , обозначаемая b , представляют собой действительную и мнимую часть удельной акустической проводимости соответственно: [ нужна ссылка ]
где
- в y ( s ), g ( s ) не является преобразованием Лапласа акустической проводимости во временной области g ( t ), y ( s );
- в y ( ω ), g ( ω ) не является преобразованием Фурье акустической проводимости во временной области g ( t ), y ( ω );
- в y ( t ), g ( t ) — акустическая проводимость во временной области, а b ( t ) — преобразование Гильберта акустической проводимости во временной области g ( t ), согласно определению аналитического представления.
Удельное акустическое сопротивление z — интенсивное свойство конкретной среды (например, можно указать z воздуха или воды); с другой стороны, акустический импеданс Z является обширным свойством конкретной среды и геометрии (например, можно указать Z конкретного воздуховода, заполненного воздухом). [ нужна цитата ]
Акустический Ом
Акустический ом — это единица измерения акустического импеданса. Единицей давления в системе СИ является паскаль, а расхода — кубические метры в секунду, поэтому акустический ом равен 1 Па·с/м 3 .
Акустический ом можно применять к потоку жидкости вне области акустики. Для таких применений можно использовать гидравлическое сопротивление идентичного определения. Измерением гидравлического сопротивления будет отношение гидравлического давления к объемному гидравлическому расходу.
Отношение
Для одномерной волны, проходящей через отверстие площадью A , акустический объемный расход Q — это объем среды, проходящий через отверстие в секунду; если акустический поток перемещается на расстояние d x = v d t , то объем проходящей через него среды равен d V = A d x , поэтому: [ нужна ссылка ]
Если волна одномерна, она дает
Характеристическое акустическое сопротивление
Характеристическое удельное акустическое сопротивление
Основополагающий закон недисперсионной линейной акустики в одном измерении дает связь между напряжением и деформацией: [1]
где
Это уравнение справедливо как для жидкостей, так и для твердых тел. В
Второй закон Ньютона , применяемый локально в среде, дает: [2]
Объединение этого уравнения с предыдущим дает одномерное волновое уравнение :
Самолет волны
которые являются решениями этого волнового уравнения, состоят из суммы двух прогрессивных плоских волн , движущихся вдоль x с одинаковой скоростью и в противоположных направлениях : [ нужна ссылка ]
из чего можно вывести
Для прогрессивных плоских волн: [ нужна ссылка ]
или
Наконец, удельный акустический импеданс z равен
- [ нужна цитата ]
Абсолютное значение этого удельного акустического сопротивления часто называют характеристическим удельным акустическим сопротивлением и обозначают z 0 : [1]
Уравнения также показывают, что
Влияние температуры
Температура влияет на скорость звука и плотность массы и, следовательно, на удельное акустическое сопротивление. [ нужна цитата ]
Характеристическое акустическое сопротивление
Для одномерной волны, проходящей через отверстие площадью A , Z = z / A , поэтому, если волна является прогрессивной плоской волной, то: [ нужна ссылка ]
Абсолютную величину этого акустического сопротивления часто называют характеристическим акустическим сопротивлением и обозначают Z 0 : [1]
а характеристическое удельное акустическое сопротивление равно
Если отверстие площадью А является началом трубы и в трубу посылается плоская волна, то волна, проходящая через отверстие, является прогрессивной плоской волной при отсутствии отражений, и обычно отражения от другого конца трубы , открытые или закрытые, представляют собой сумму волн, бегущих от одного конца к другому. [3] (Если труба очень длинная, отражения могут отсутствовать из-за длительного времени, необходимого для возвращения отраженных волн, и их затухания из-за потерь на стенке трубы. [3] ) Такие отражения и возникающее в результате стояние волны очень важны в конструкции и эксплуатации музыкальных духовых инструментов. [4]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ abcdefgh Кинслер Л., Фрей А., Коппенс А., Сандерс Дж. (2000). Основы акустики . Хобокен: Уайли. ISBN 0-471-84789-5.
- ^ Аттенборо К., Постема М (2008). Карманное введение в акустику. Кингстон-апон-Халл: Университет Халла. дои : 10.5281/zenodo.7504060. ISBN 978-90-812588-2-1.
- ^ ab Россинг Т.Д., Флетчер, Нью-Хэмпшир (2004). Принципы вибрации и звука (2-е изд.). Гейдельберг: Спрингер. ISBN 978-1-4757-3822-3. ОКЛК 851835364.
- ^ Флетчер Н.Х., Россинг Т.Д. (1998). Физика музыкальных инструментов (2-е изд.). Гейдельберг: Спрингер. ISBN 978-0-387-21603-4. ОСЛК 883383570.
Внешние ссылки
- Волновое уравнение звука
- Что такое акустический импеданс и почему он важен?