алгебра Вейля

Дифференциальная алгебра

В абстрактной алгебре алгебры Вейля абстрагируются от кольца дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами. Они названы в честь Германа Вейля , который ввел их для изучения принципа неопределенности Гейзенберга в квантовой механике .

В простейшем случае это дифференциальные операторы. Пусть — поле , а — кольцо многочленов от одной переменной с коэффициентами в . Тогда соответствующая алгебра Вейля состоит из дифференциальных операторов вида ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F[x]}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle f_{m}(x)\partial _{x}^{m}+f_{m-1}(x)\partial _{x}^{m-1}+\cdots +f_{1}(x)\partial _{x}+f_{0}(x)}$

Это первая алгебра Вейля . Аналогично строятся n -ые алгебры Вейля . ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{n}}$

Альтернативно, может быть построено как фактор свободной алгебры с двумя образующими, q и p , по идеалу , порожденному . Аналогично, получается путем факторизации свободной алгебры с 2n образующими по идеалу, порожденному , где — символ Кронекера . ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle ([p,q]-1)}$ ${\displaystyle A_{n}}$ $${\displaystyle ([p_{i},q_{j}]-\delta _{i,j}),\quad \forall i,j=1,\dots ,n}$$ ${\displaystyle \delta _{i,j}}$

В более общем случае пусть будет частичным дифференциальным кольцом с коммутирующими производными . Алгебра Вейля, связанная с — это некоммутативное кольцо, удовлетворяющее соотношениям для всех . Предыдущий случай — это частный случай, где и где — поле. ${\displaystyle (R,\Delta )}$ ${\displaystyle \Delta =\lbrace \partial _{1},\ldots ,\partial _{m}\rbrace }$ ${\displaystyle (R,\Delta )}$ ${\displaystyle R[\partial _{1},\ldots ,\partial _{m}]}$ ${\displaystyle \partial _{i}r=r\partial _{i}+\partial _{i}(r)}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle R=F[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle \Delta =\lbrace \partial _{x_{1}},\ldots ,\partial _{x_{n}}\rbrace }$ ${\displaystyle F}$

В данной статье рассматривается только случай с нулевой базовой характеристикой поля , если не указано иное. ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle F}$

Алгебра Вейля является примером простого кольца , которое не является матричным кольцом над телом . Это также некоммутативный пример области и пример расширения Оре .

Мотивация

Алгебра Вейля возникает естественным образом в контексте квантовой механики и процесса канонического квантования . Рассмотрим классическое фазовое пространство с каноническими координатами . Эти координаты удовлетворяют соотношениям скобок Пуассона : При каноническом квантовании стремятся построить гильбертово пространство состояний и представить классические наблюдаемые (функции на фазовом пространстве) как самосопряженные операторы на этом пространстве. Налагаются канонические коммутационные соотношения: где обозначает коммутатор . Здесь и являются операторами, соответствующими и соответственно. Эрвин Шредингер предложил в 1926 году следующее: ^[1] ${\displaystyle (q_{1},p_{1},\dots ,q_{n},p_{n})}$ $${\displaystyle \{q_{i},q_{j}\}=0,\quad \{p_{i},p_{j}\}=0,\quad \{q_{i},p_{j}\}=\delta _{ij}.}$$ $${\displaystyle [{\hat {q}}_{i},{\hat {q}}_{j}]=0,\quad [{\hat {p}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=0,\quad [{\hat {q}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar \delta _{ij},}$$ ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ ${\displaystyle {\hat {q}}_{i}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}_{i}}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$

• ${\displaystyle {\hat {q_{j}}}}$с умножением на . ${\displaystyle x_{j}}$
• ${\displaystyle {\hat {p}}_{j}}$с . ${\displaystyle -i\hbar \partial _{x_{j}}}$

При таком отождествлении выполняется каноническое коммутационное соотношение.

Конструкции

Алгебры Вейля имеют разные конструкции и разные уровни абстракции.

Представление

Алгебра Вейля может быть конкретно построена как представление . ${\displaystyle A_{n}}$

В представлении дифференциального оператора, аналогичном каноническому квантованию Шредингера, пусть будет представлено умножением слева на , а будет представлено дифференцированием слева на . ${\displaystyle q_{j}}$ ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle p_{j}}$ ${\displaystyle \partial _{x_{j}}}$

В матричном представлении, аналогично матричной механике , представляется как ^[2] ${\displaystyle A_{1}}$ $${\displaystyle P={\begin{bmatrix}0&1&0&0&\cdots \\0&0&2&0&\cdots \\0&0&0&3&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}},\quad Q={\begin{bmatrix}0&0&0&0&\ldots \\1&0&0&0&\cdots \\0&1&0&0&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}}$$

Генератор

${\displaystyle A_{n}}$может быть построена как фактор свободной алгебры в терминах генераторов и отношений. Одна конструкция начинается с абстрактного векторного пространства V (размерности 2 n ), снабженного симплектической формой ω . Определим алгебру Вейля W ( V ) как

${\displaystyle W(V):=T(V)/(\!(v\otimes u-u\otimes v-\omega (v,u),{\text{ for }}v,u\in V)\!),}$

где T ( V ) — тензорная алгебра на V , а обозначение означает « идеал , порожденный». ${\displaystyle (\!()\!)}$

Другими словами, W ( V ) — это алгебра, порожденная V , подчиненная только отношению vu − uv = ω ( v , u ) _. Тогда W ( V ) изоморфна An посредством выбора базиса Дарбу для ω .

${\displaystyle A_{n}}$также является фактором универсальной обертывающей алгебры алгебры Гейзенберга , алгебры Ли группы Гейзенберга , путем установки центрального элемента алгебры Гейзенберга (а именно [ q , p ]) равным единице универсальной обертывающей алгебры (обозначенной выше как 1).

Квантование

Алгебра W ( V ) является квантованием симметрической алгебры Sym( V ). Если V находится над полем нулевой характеристики, то W ( V ) естественным образом изоморфна базовому векторному пространству симметрической алгебры Sym( V ), снабженному деформированным произведением, называемым произведением Гроенвольда–Мойала (считая симметрическую алгебру полиномиальной функцией на V ^∗ , где переменные охватывают векторное пространство V , и заменяя iħ в формуле произведения Мойала на 1).

Изоморфизм задается отображением симметризации из Sym( V ) в W ( V )

${\displaystyle a_{1}\cdots a_{n}\mapsto {\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}a_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes a_{\sigma (n)}~.}$

Если кто-то предпочитает иметь iħ и работать с комплексными числами, то вместо этого можно было бы определить алгебру Вейля выше как сгенерированную q _i и iħ∂ _{q i} (согласно использованию в квантовой механике ).

Таким образом, алгебра Вейля представляет собой квантование симметрической алгебры, которое по сути совпадает с квантованием Мойала (если для последнего ограничиться полиномиальными функциями), но первое из них выражается в терминах генераторов и соотношений (считающихся дифференциальными операторами), а второе — в терминах деформированного умножения.

Другими словами, пусть звездное произведение Мойала обозначается , тогда алгебра Вейля изоморфна . ^[3] ${\displaystyle f\star g}$ ${\displaystyle (\mathbb {C} [x_{1},\dots ,x_{n}],\star )}$

В случае внешних алгебр аналогичным квантованием Вейля является алгебра Клиффорда , которая также называется ортогональной алгеброй Клиффорда . ^{[4] [5]}

Алгебра Вейля также называется симплектической алгеброй Клиффорда . ^{[4] [5] [6]} Алгебры Вейля представляют для симплектических билинейных форм ту же структуру, которую алгебры Клиффорда представляют для невырожденных симметричных билинейных форм. ^[6]

D-модуль

Алгебра Вейля может быть построена как D-модуль . ^[7] В частности, алгебра Вейля, соответствующая кольцу полиномов с его обычной структурой частных дифференциалов, в точности равна кольцу дифференциальных операций Гротендика . ^[7] ${\displaystyle R[x_{1},...,x_{n}]}$ ${\displaystyle D_{\mathbb {A} _{R}^{n}/R}}$

В более общем случае пусть будет гладкой схемой над кольцом . Локально факторизуется как этальное покрытие над некоторым , снабженным стандартной проекцией. ^[8] Поскольку « этальное » означает «(плоское и) обладающее нулевым кокасательным пучком», ^[9] это означает, что каждый D-модуль над такой схемой можно локально рассматривать как модуль над алгеброй Вейля. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X\to R}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{R}^{n}}$ ${\displaystyle n^{\text{th}}}$

Пусть — коммутативная алгебра над подкольцом . Кольцо дифференциальных операторов (обозначается, когда это ясно из контекста) индуктивно определяется как градуированная подалгебра : ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle D_{R/S}}$ ${\displaystyle D_{R}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {End} _{S}(R)}$

• ${\displaystyle D_{R}^{0}=R}$
• ${\displaystyle D_{R}^{k}=\left\{d\in \operatorname {End} _{S}(R):[d,a]\in D_{R}^{k-1}{\text{ for all }}a\in R\right\}.}$

Пусть будет объединением всех для . Это подалгебра . ${\displaystyle D_{R}}$ ${\displaystyle D_{R}^{k}}$ ${\displaystyle k\geq 0}$ ${\displaystyle \operatorname {End} _{S}(R)}$

В случае кольцо дифференциальных операторов порядка представляется аналогично частному случаю , но с дополнительным рассмотрением "операторов разделенной мощности"; это операторы, соответствующие операторам в комплексном случае, которые стабилизируют , но которые не могут быть записаны как целочисленные комбинации операторов более высокого порядка, т.е. не обитают в . Одним из таких примеров является оператор . ${\displaystyle R=S[x_{1},...,x_{n}]}$ ${\displaystyle \leq n}$ ${\displaystyle S=\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [x_{1},...,x_{n}]}$ ${\displaystyle D_{\mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{n}/\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle \partial _{x_{1}}^{[p]}:x_{1}^{N}\mapsto {N \choose p}x_{1}^{N-p}}$

Явно, презентация дана

${\displaystyle D_{S[x_{1},\dots ,x_{\ell }]/S}^{n}=S\langle x_{1},\dots ,x_{\ell },\{\partial _{x_{i}},\partial _{x_{i}}^{[2]},\dots ,\partial _{x_{i}}^{[n]}\}_{1\leq i\leq \ell }\rangle }$

с отношениями

${\displaystyle [x_{i},x_{j}]=[\partial _{x_{i}}^{[k]},\partial _{x_{j}}^{[m]}]=0}$

${\displaystyle [\partial _{x_{i}}^{[k]},x_{j}]=\left\{{\begin{matrix}\partial _{x_{i}}^{[k-1]}&{\text{if }}i=j\\0&{\text{if }}i\neq j\end{matrix}}\right.}$

${\displaystyle \partial _{x_{i}}^{[k]}\partial _{x_{i}}^{[m]}={k+m \choose k}\partial _{x_{i}}^{[k+m]}~~~~~{\text{when }}k+m\leq n}$

где по соглашению. Алгебра Вейля тогда состоит из предела этих алгебр как . ^{[10] : Гл. IV.16.II} ${\displaystyle \partial _{x_{i}}^{[0]}=1}$ ${\displaystyle n\to \infty }$

Когда — поле характеристики 0, то порождается как -модуль 1 и -выводами . Более того, порождается как кольцо -подалгеброй . В частности, если и , то . Как уже упоминалось, . [ ^11] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle D_{R}^{1}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle D_{R}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle D_{R}^{1}}$ ${\displaystyle S=\mathbb {C} }$ ${\displaystyle R=\mathbb {C} [x_{1},...,x_{n}]}$ ${\displaystyle D_{R}^{1}=R+\sum _{i}R\partial _{x_{i}}}$ ${\displaystyle A_{n}=D_{R}}$

СвойстваА н

Многие свойства применимы к с практически аналогичными доказательствами, поскольку различные измерения коммутируют. ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{n}}$

Общее правило Лейбница

Теорема  (общее правило Лейбница)  —  $${\displaystyle p^{k}q^{m}=\sum _{l=0}^{k}{\binom {k}{l}}{\frac {m!}{(m-l)!}}q^{m-l}p^{k-l}=q^{m}p^{k}+mkq^{m-1}p^{k-1}+\cdots }$$

Доказательство

При представлении это уравнение получается с помощью общего правила Лейбница. Поскольку общее правило Лейбница доказуемо с помощью алгебраических манипуляций, оно справедливо и для . ${\displaystyle p\mapsto x,q\mapsto \partial _{x}}$ ${\displaystyle A_{1}}$

В частности, и . ${\textstyle [q,q^{m}p^{n}]=-nq^{m}p^{n-1}}$ ${\textstyle [p,q^{m}p^{n}]=mq^{m-1}p^{n}}$

Следствие  —  Центр алгебры Вейля — это базовое поле констант . ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle F}$

Доказательство

Если коммутатор с любым из равен нулю, то по предыдущему утверждению не имеет одночлена с или . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p,q}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p^{n}q^{m}}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle m>0}$

Степень

Теорема  —  имеет основание . ^[12] ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle \{q^{m}p^{n}:m,n\geq 0\}}$

Доказательство

Повторяя коммутаторные соотношения, любой моном можно приравнять к линейной сумме этих. Осталось проверить, что они линейно независимы. Это можно проверить в представлении дифференциального оператора. Для любой линейной суммы с ненулевыми коэффициентами сгруппируем ее в порядке убывания: , где — ненулевой многочлен. Этот оператор, примененный к, дает . ${\displaystyle \sum _{m,n}c_{m,n}x^{m}\partial _{x}^{n}}$ ${\displaystyle p_{N}(x)\partial _{x}^{N}+p_{N-1}(x)\partial _{x}^{N-1}+\cdots +p_{M}(x)\partial _{x}^{M}}$ ${\displaystyle p_{M}}$ ${\displaystyle x^{M}}$ ${\displaystyle M!p_{M}(x)\neq 0}$

Это позволяет быть градуированной алгеброй , где степень находится среди ее ненулевых мономов. Степень определяется аналогично для . ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle \sum _{m,n}c_{m,n}q^{m}p^{n}}$ ${\displaystyle \max(m+n)}$ ${\displaystyle A_{n}}$

Теорема  —  Для : ^[13] ${\displaystyle A_{n}}$

• ${\displaystyle \deg(g+h)\leq \max(\deg(g),\deg(h))}$
• ${\displaystyle \deg([g,h])\leq \deg(g)+\deg(h)-2}$
• ${\displaystyle \deg(gh)=\deg(g)+\deg(h)}$

Доказательство

Докажем это для , так как случай аналогичен. ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{n}}$

Первое отношение определяется по определению. Второе отношение определяется по общему правилу Лейбница. Для третьего отношения следует отметить, что , поэтому достаточно проверить, что содержит хотя бы один ненулевой одночлен степени . Чтобы найти такой одночлен, выберите тот, который имеет наибольшую степень в . Если таких одночленов несколько, выберите тот, который имеет наибольшую степень в . Аналогично для . Эти два одночлена при умножении создают уникальный одночлен среди всех одночленов , и поэтому он остается ненулевым. ${\displaystyle \deg(gh)\leq \deg(g)+\deg(h)}$ ${\displaystyle gh}$ ${\displaystyle \deg(g)+\deg(h)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle gh}$

Теорема  —  это простая область . ^[14] ${\displaystyle A_{n}}$

То есть, он не имеет двусторонних нетривиальных идеалов и не имеет делителей нуля .

Доказательство

Потому что у него нет делителей нуля. ${\displaystyle \deg(gh)=\deg(g)+\deg(h)}$

Предположим от противного, что — ненулевой двусторонний идеал , причем . Выберите ненулевой элемент с наименьшей степенью. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle I\neq A_{1}}$ ${\displaystyle f\in I}$

Если содержит некоторый ненулевой одночлен вида , то содержит ненулевой одночлен вида Таким образом , является ненулевым и имеет степень . Поскольку — двусторонний идеал, то имеем , что противоречит минимальности . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle xx^{m}\partial ^{n}=x^{m+1}\partial ^{n}}$ $${\displaystyle [\partial ,f]=\partial f-f\partial }$$ $${\displaystyle \partial x^{m+1}\partial ^{n}-x^{m+1}\partial ^{n}\partial =(m+1)x^{m}\partial ^{n}.}$$ ${\displaystyle [\partial ,f]}$ ${\displaystyle \leq \deg(f)-1}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle [\partial ,f]\in I}$ ${\displaystyle \deg(f)}$

Аналогично, если содержит некоторый ненулевой одночлен вида , то является ненулевым с меньшей степенью. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x^{m}\partial ^{n}\partial }$ ${\displaystyle [x,f]=xf-fx}$

Вывод

Теорема  —  Выводы находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами с точностью до аддитивного скаляра. ^[15] ${\textstyle A_{n}}$ ${\textstyle A_{n}}$

То есть, любой вывод равен для некоторого ; любой дает вывод ; если удовлетворяет , то . ${\textstyle D}$ ${\textstyle [\cdot ,f]}$ ${\textstyle f\in A_{n}}$ ${\textstyle f\in A_{n}}$ ${\textstyle [\cdot ,f]}$ ${\textstyle f,f'\in A_{n}}$ ${\textstyle [\cdot ,f]=[\cdot ,f']}$ ${\textstyle f-f'\in F}$

Доказательство аналогично вычислению потенциальной функции для консервативного полиномиального векторного поля на плоскости. ^[16]

Теория представления

Нулевая характеристика

В случае, когда основное поле F имеет нулевую характеристику, n -я алгебра Вейля является простой нётеровой областью . ^[17] Она имеет глобальную размерность n , в отличие от кольца, которое она деформирует, Sym( V ), которое имеет глобальную размерность 2 n .

Он не имеет конечномерных представлений. Хотя это следует из простоты, это можно показать более прямо, взяв след σ ( q ) и σ ( Y ) для некоторого конечномерного представления σ (где [ q , p ] = 1 ).

${\displaystyle \mathrm {tr} ([\sigma (q),\sigma (Y)])=\mathrm {tr} (1)~.}$

Поскольку след коммутатора равен нулю, а след тождества — размерности представления, представление должно быть нульмерным.

На самом деле, существуют более сильные утверждения, чем отсутствие конечномерных представлений. Для любого конечно порождённого A _n -модуля M существует соответствующее подмногообразие Char( M ) V × V ^{∗ ,} называемое «характеристическим многообразием» ^{[ требуется разъяснение ],} размер которого примерно соответствует размеру ^{[ требуется разъяснение ]} M (конечномерный модуль имел бы нульмерное характеристическое многообразие). Тогда неравенство Бернштейна утверждает, что для M, отличного от нуля,

${\displaystyle \dim(\operatorname {char} (M))\geq n}$

Еще более сильным утверждением является теорема Габбера, которая гласит, что Char( M ) является коизотропным подмногообразием V × V ^∗ для естественной симплектической формы.

Положительная характеристика

Ситуация существенно иная в случае алгебры Вейля над полем характеристики p > 0 .

В этом случае для любого элемента D алгебры Вейля элемент D ^p является центральным, и поэтому алгебра Вейля имеет очень большой центр. Фактически, это конечно порождённый модуль над своим центром; более того, это алгебра Адзумая над своим центром. Как следствие, существует много конечномерных представлений, которые все построены из простых представлений размерности p .

Обобщения

Идеалы и автоморфизмы хорошо изучены. ^{[18] [19]} Известно пространство модулей для его правого идеала. ^[20] Однако случай для значительно сложнее и связан с гипотезой Якобиана . ^[21] ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{n}}$

Более подробную информацию об этом квантовании в случае n = 1 (и расширении с использованием преобразования Фурье на класс интегрируемых функций, больших, чем полиномиальные функции), см. в преобразовании Вигнера–Вейля .

Алгебры Вейля и алгебры Клиффорда допускают дополнительную структуру *-алгебры и могут быть объединены как четные и нечетные члены супералгебры , как обсуждается в алгебрах CCR и CAR .

Аффинные многообразия

Алгебры Вейля также обобщаются в случае алгебраических многообразий. Рассмотрим кольцо многочленов

${\displaystyle R={\frac {\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{I}}.}$

Тогда дифференциальный оператор определяется как композиция -линейных производных . Это можно явно описать как фактор-кольцо ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\text{Diff}}(R)={\frac {\{D\in A_{n}\colon D(I)\subseteq I\}}{I\cdot A_{n}}}.}$

Смотрите также

• гипотеза Якобиана
• гипотеза Диксмье

Примечания

1. Ландсман 2007, стр. 428.
2. Коутиньо 1997, стр. 598–599.
3. Коутиньо 1997, стр. 602–603.
4. Lounesto & Ablamowicz 2004, стр. xvi.
5. Микали, Буде и Хелмстеттер 1992, стр. 83–96.
6. Helmstetter & Micali 2008, стр. xii.
7. Coutinho 1997, стр. 600–601.
8. "Раздел 41.13 (039P): Этальные и гладкие морфизмы — проект Stacks". stacks.math.columbia.edu . Получено 29.09.2024 .
9. "этальный морфизм схем в nLab". ncatlab.org . Получено 29.09.2024 .
10. Гротендик, Александр (1964). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальный этюд схем и морфизмов схем, премьерная партия». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 20 :5–259. ISSN  1618-1913.
11. Коутиньо 1995, стр. 20–24.
12. Коутиньо 1995, стр. 9, Предложение 2.1.
13. Коутиньо 1995, стр. 14–15.
14. Коутиньо 1995, стр. 16.
15. Дирак 1926, стр. 415–417.
16. Коутиньо 1997, стр. 597.
17. Коутиньо 1995, стр. 70.
18. Берест и Уилсон 2000, стр. 127–147.
19. Каннингс и Холланд 1994, стр. 116–141.
20. Лебрейн 1995, стр. 32–48.
21. Коутиньо 1995, раздел 4.4.

Ссылки

• Coutinho, SC (1995). A Primer of Algebraic D-Modules . Кембридж [Англия]; Нью-Йорк, США: Cambridge University Press. doi : 10.1017/cbo9780511623653. ISBN 978-0-521-55119-9.
• Коутиньо, СК (1997). «Множество аватаров простой алгебры». The American Mathematical Monthly . 104 (7): 593–604. doi :10.1080/00029890.1997.11990687. ISSN  0002-9890.
• Дирак, П. А. М. (1926). «О квантовой алгебре». Математические труды Кембриджского философского общества . 23 (4): 412–418. doi :10.1017/S0305004100015231. ISSN  0305-0041.
• Хельмштеттер, Дж.; Микали, А. (2008). Квадратичные отображения и алгебры Клиффорда . Базель; Бостон: Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-8605-4. OCLC  175285188.
• Ландсман, Н. П. (2007). «МЕЖДУ КЛАССИЧЕСКИМ И КВАНТОВЫМ». Философия физики . Elsevier. doi :10.1016/b978-044451560-5/50008-7. ISBN 978-0-444-51560-5.
• Lounesto, P.; Ablamowicz, R. (2004). Алгебры Клиффорда . Бостон: Springer Science & Business Media. ISBN 0-8176-3525-4.
• Микали, А.; Буде, Р.; Хельмштеттер, Дж. (1992). Алгебры Клиффорда и их применение в математической физике . Дордрехт: Springer Science & Business Media. ISBN 0-7923-1623-1.
• de Traubenberg, M. Rausch; Slupinski, MJ; Tanasa, A. (2006). «Конечномерные подалгебры Ли алгебры Вейля». J. Lie Theory . 16 : 427–454. arXiv : math/0504224 .
• Traves, Will (2010). «Дифференциальные операции над многообразиями Грассмана». В Campbell, H.; Helminck, A.; Kraft, H.; Wehlau, D. (ред.). Симметрия и пространства . Прогресс в математике. Т. 278. Birkhäuse. С. 197–207. doi :10.1007/978-0-8176-4875-6_10. ISBN 978-0-8176-4875-6.
• Tsit Yuen Lam (2001). Первый курс по некоммутативным кольцам . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 131 (2nd ed.). Springer. p. 6. ISBN 978-0-387-95325-0.
• Берест, Юрий; Уилсон, Джордж (1 сентября 2000 г.). «Автоморфизмы и идеалы алгебры Вейля». Математические Аннален . 318 (1): 127–147. arXiv : математика/0102190 . дои : 10.1007/s002080000115. ISSN  0025-5831.
• Каннингс, RC; Холланд, MP (1994). «Правые идеалы колец дифференциальных операторов». Журнал алгебры . 167 (1). Elsevier BV: 116–141. doi :10.1006/jabr.1994.1179. ISSN  0021-8693.
• Лебрен, Л. (1995). «Пространства модулей для правых идеалов алгебры Вейля». Журнал алгебры . 172 (1). Elsevier BV: 32–48. doi :10.1006/jabr.1995.1046. ISSN  0021-8693.