Домен (теория колец)

Унитальное кольцо без делителей нуля, отличных от 0; некоммутативное обобщение областей целостности

В алгебре домен — это ненулевое кольцо , в котором ab = 0 подразумевает a = 0 или b = 0. ^[1] (Иногда говорят, что такое кольцо «имеет свойство нулевого произведения » . ) Эквивалентно домен — это кольцо, в котором 0 является единственным левым делителем нуля (или, что эквивалентно, единственным правым делителем нуля). Коммутативная область называется целостной областью . ^{[1] [2]} Математическая литература содержит несколько вариантов определения «области». ^[3]

Примеры и не примеры

• Кольцо не является доменом, поскольку образы 2 и 3 в этом кольце являются ненулевыми элементами с произведением 0. В более общем случае, для положительного целого числа кольцо является доменом тогда и только тогда, когда является простым. ${\displaystyle \mathbb {Z} /6\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$
• Конечная область автоматически является конечным полем согласно малой теореме Веддерберна .
• Кватернионы образуют некоммутативную область. В более общем смысле, любое деление является областью, поскольку каждый ненулевой элемент обратим .
• Множество всех липшицевых кватернионов , то есть кватернионов вида где a , b , c , d — целые числа, является некоммутативным подкольцом кватернионов, следовательно, некоммутативной областью. ${\displaystyle a+bi+cj+dk}$
• Аналогично, множество всех кватернионов Гурвица , то есть кватернионов вида , где a , b , c , d — либо все целые числа, либо все полуцелые числа , является некоммутативной областью. ${\displaystyle a+bi+cj+dk}$
• Кольцо матриц M _n ( R ) при n ≥ 2 никогда не является доменом: если R не равно нулю, то такое кольцо матриц имеет ненулевые делители нуля и даже нильпотентные элементы, отличные от 0. Например, квадрат матричной единицы E ₁₂ равен 0.
• Тензорная алгебра векторного пространства , или, что то же самое, алгебра многочленов от некоммутирующих переменных над полем, является доменом. Это можно доказать, используя упорядочение некоммутативных мономов. ${\displaystyle \mathbb {K} \langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle ,}$
• Если R — домен, а S — расширение Оре R , то S — домен.
• Алгебра Вейля является некоммутативной областью.
• Универсальная обертывающая алгебра любой алгебры Ли над полем является областью. Доказательство использует стандартную фильтрацию на универсальной обертывающей алгебре и теорему Пуанкаре–Биркгофа–Витта .

Групповые кольца и проблема делителей нуля

Предположим, что G — группа , а K — поле . Является ли групповое кольцо R = K [ G ] доменом? Тождество

${\displaystyle (1-g)(1+g+\cdots +g^{n-1})=1-g^{n},}$

показывает, что элемент g конечного порядка n > 1 индуцирует делитель нуля 1 − g в R. Проблема делителей нуля спрашивает, является ли это единственным препятствием; другими словами,

Для данного поля K и группы без кручения G верно ли, что K [ G ] не содержит делителей нуля?

Контрпримеров не известно, но проблема в целом остаётся открытой (по состоянию на 2017 год).

Для многих специальных классов групп ответ утвердительный. Фаркаш и Снайдер доказали в 1976 году, что если G — полициклическая группа без кручения и char K = 0 , то групповое кольцо K [ G ] является областью. Позднее (1980) Клифф снял ограничение на характеристику поля. В 1988 году Крофоллер, Линнелл и Муди обобщили эти результаты на случай разрешимых и разрешимых групп без кручения. Более ранняя (1965) работа Мишеля Лазара , важность которой не была оценена специалистами в этой области в течение примерно 20 лет, касалась случая, когда K — кольцо целых p-адических чисел , а G — p -я конгруэнц-подгруппа группы GL( n , Z ) .

Спектр целостной области

Делители нуля имеют топологическую интерпретацию, по крайней мере в случае коммутативных колец: кольцо R является целостной областью тогда и только тогда, когда оно приведено , а его спектр Spec R является неприводимым топологическим пространством . Первое свойство часто рассматривается как кодирующее некоторую бесконечно малую информацию, тогда как второе является более геометрическим.

Пример: кольцо k [ x , y ]/( xy ) , где k — поле, не является доменом, поскольку образы x и y в этом кольце являются делителями нуля. Геометрически это соответствует тому факту, что спектр этого кольца, представляющий собой объединение прямых x = 0 и y = 0 , не является неприводимым. Действительно, эти две прямые являются его неприводимыми компонентами.

Смотрите также

• Делитель нуля
• Свойство нулевого продукта
• Делитель (теория колец)
• Интегральная область

Примечания

1. Lam (2001), стр. 3
2. Роуэн (1994), стр. 99.
3. Некоторые авторы также считают нулевое кольцо доменом: см. Polcino M. & Sehgal (2002), стр. 65. Некоторые авторы применяют термин «домен» также к rng со свойством нулевого произведения; такие авторы считают n Z доменом для каждого положительного целого числа n : см. Lanski (2005), стр. 343. Но целочисленные домены всегда должны быть ненулевыми и иметь 1.

Ссылки

• Лам, Цит-Юэн (2001). Первый курс по некоммутативным кольцам (2-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-95325-0. МР  1838439.
• Чарльз Лански (2005). Понятия абстрактной алгебры . Книжный магазин АМС. ISBN 0-534-42323-X.
• Сезар Полчино Милиес; Сударшан К. Сехгал (2002). Введение в групповые кольца. Springer. ISBN 1-4020-0238-6.
• Натан Якобсон (2009). Основы алгебры I. Дувр. ISBN 978-0-486-47189-1.
• Луи Холли Роуэн (1994). Алгебра: группы, кольца и поля . AK Peters . ISBN 1-56881-028-8.